案例11运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程
维纳过程和伊藤引理
Wiener Processes and Itô’s Lemma
维纳过程和伊藤引理
1
Stochastic Processes 随机过程
Describes the way in which a variable such as a stock price, exchange rate or interest rate changes through time 描述变量（例如股价、汇率、利率）随时间变化的方 式。
5
Weak-Form Market Efficiency
市场弱式有效
This asserts that it is impossible to produce consistently superior returns with a trading rule based on the past history of stock prices. In other words technical analysis does not work. 这表明不可能利用基于历史股价的交易规则来获取持续的超额 收益
Is the process followed by the temperature at a certain place Markov? 某个地方的温度服从马尔科夫过程吗
We assume that stock prices follow Markov processes 我们假设股票价格服从马尔科夫 维纳过程
Define f(m,v) as a normal distribution with mean m and variance v 定义f(m,v) 为均值为m，方差为v 的正态分布 A variable z follows a Wiener process if 一个变量z服从维纳过程如果满足如下条件
布朗运动、伊藤引理、BS公式（后篇）
布朗运动、伊藤引理、BS公式（后篇）1 前文回顾本系列的前篇从布朗运动出发，介绍了布朗运动的性质并解释了为什么使用几何布朗运动来描述股价是被投资界广泛接受的。
此外，前文给出了伊藤引理的最基本形式，它是随机分析的基础，为分析衍生品定价提供了坚实的武器。
作为本系列的后篇，本文将从扩展伊藤引理出发，并用它求解几何布朗运动，然后推导BS 微分方程以及BS 公式（也称Black-Scholes-Merton 公式）。
在介绍 BS 公式时，论述的重点会放在衍生品定价中的一个核心方法，即风险中性定价理论。
此外，我们会花一定的笔墨来解释 BS 公式中的两个核心要素（即 N(d_1) 和 N(d_2) 的业务含义），明白它们对理解 BS 公式至关重要。
阅读提示：下文中将涉及大量数学公式，对阅读体验造成影响，我们表示歉意。
我们当然不是在写学术论文，但是必要的数学推导对于理解期权定价模型至关重要。
如果你对阅读大数学实在不感兴趣，可以跳过第二、三两节，从第四节开始看。
在那之前，先来点轻松的，看看 Black，Scholes 和 Merton 三位大咖长什么样子。
Scholes 和Merton 因在衍生品定价方面的杰出工作于 1997 年获得诺贝尔经济学奖。
Black 没有在列的原因是他不幸地于1995 年去世，而诺贝尔奖不追授给颁奖时已故6 个月以上的学者。
2 伊藤引理的一般形式在前篇中，我们介绍了带有漂移（drift）和扩散（diffusion）的布朗运动有如下形式的随机微分方程。
在这里，μ 和σ 被假定为常数。
更一般的，漂移和扩散的参数均可以是随机过程X(t) 以及时间t 的函数。
假设我们令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和扩散参数（则在上面这个例子中，a(X(t),t) = μ 而b(X(t),t) = σ）。
我们称满足如下随机微分方程（stochastic differential equation，或 SDE）的随机过程为伊藤漂移扩散过程（Itō drift-diffusion process，下称伊藤过程）：令 f(X(t), t) 为 X(t) 的二阶连续可导函数（并对 t 一阶可导），由伊藤引理可知（省略自变量以简化表达）：将 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 带入上式，并且略去所有比 dt 更高阶的小量，最终可以得到伊藤引理的一般形式：由 f 的 SDE 可知，作为 X 和 t 的函数，f 本身也是一个伊藤过程。
布朗运动和伊藤引理的运用备课讲稿
布朗运动和伊藤引理的运用布朗运动与伊藤引理的运用唐雨辰 3112352013 统计2107一、引言1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。
1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。
如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。
在柯朗研究所著名数学家H.P.McKean的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。
1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。
哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。
二、相关概念和公式推导1、 布朗运动介绍布朗运动（Brownian Motion ）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。
然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳（Winener ）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。
（1）、标准布朗运动设t ∆代表一个小的时间间隔长度，z ∆代表变量z 在t ∆时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ∆具有的两种特征：特征1：z ∆和t ∆的关系满足下式：z ∆=其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔t ∆，z ∆的值相互独立。
第13章 维纳过程和伊藤引理
曹培慎
Chapter 13 Wiener Processes and Itô’s Lemma 维纳过程和伊藤引理
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
Weak-Form Market Efficiency
This asserts that it is impossible to produce consistently superior returns with a trading rule based on the past history of stock prices. In other words technical analysis does not work. A Markov process for stock prices is consistent with weak-form market efficiency
13.2.2 广义维纳过程 Generalized Wiener Processes
漂移率 方差率 A Wiener process has a drift rate (i.e. average change per unit time) of 0 and a variance rate of 1 In a generalized Wiener process the drift rate and the variance rate can be set equal to any chosen constants
23
Taking Limits . . .
布莱克-舒尔斯模型
2、下面我们来考查符合标准布朗运动的变量z在一段较长时 间T中的变化情形： 令z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量，显然该变量又可 被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量，其中 N=T/ Δt 。
很显然，这是 n 个相互独立的正态分布的和：z (T ) − z (0) = ∑ ε i ∆t
dS = µ Sdt + σ Sdz
两边同除以S得： dS = µdt + σdz S 该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S 表示证券价格， μ表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收 益率）， 表示证券收益率瞬间的方差， 表示证券收益率 σ σ2 瞬间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz表示 标准布朗运动。 其中，μ和σ的时间度量单位一般都采用年。几何布朗运动的离 ∆S 散形式为： = µ∆t + σε ∆t S
期权价格的影响因素
期权价格的影响因素主要有六个，它们通过影响期权的内在 价值和时间价值来影响期权的价格。 （一）标的资产的市场价格与期权的协议价格 （二）期权的有效期 （三）标的资产价格的波动率 （四）无风险利率 （五）标的资产的收益 （六）红利
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的 影响。因此期权定价使用的是相对定价法，即相对于证券 价格的价格，因而要为期权定价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价 格与合约执行价格之间的预期差异变化。 而证券价格的变化还要受到市场的影响，也就是说市 场状况使所有证券价格发生变化的基础和环境。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
µ
:
1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无 µ 风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观 因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下 文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 µ 是无关的。 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于µ − σ 2 / 2 < µ ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是 较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率 则是算术平均的结果。
(完整版)《金融工程学》各章学习指南
第一章 金融工程概述学习指南1. 主要内容 金融工程是一门融现代金融学、工程方法与信息技术于一体的新兴交叉性学科。
无套利定价与风险中性定价是金融工程具有标志性的分析方法。
尽管历史不长，但金融工程的发展在把金融科学的研究推进到一个新阶段的同时，对金融产业乃至整个经济领域都产生了极其深远的影响.本章主要对金融工程的定义，发展历史以及基本方法进行了介绍2. 学习目标掌握金融工程的定义、根本目的和主要内容;熟悉金融工程产生和发展的背景、金融产品定价的基本分析方法和运用的工具；了解金融工程的主要技术手段、金融工程与风险管理之间的关系3。
本章重点（1）金融工程的定义及主要内容（2） 掌握金融工程的定价原理（绝对定价法和相对定价法,无套利定价原理，风险中性定价法，状态价格定价法)（3） 衍生证券定价的假设4。
本章难点（1) 用积木分析法给金融工程定价（2） 三种定价方法的内在一致性5。
知识结构图6. 学习安排建议本章是整个课程的概论，介绍了有关金融工程的定义、发展历史和背景、基本原理等内容，是今后本课程学习的基础，希望同学们能多花一些时间理解和学习，为后续的学习打好基础。
● 预习教材第一章内容；● 观看视频讲解；● 阅读文字教材;● 完成学习活动和练习，并检查是否掌握相关知识点,否则重新学习相关内容。
● 了解感兴趣的拓展资源。
第二章 远期与期货概述学习指南 1。
主要内容远期是最基本、最古老的衍生产品。
期货则是远期的标准化.在这一章里，我们将了解远期和期货的基础知识，包括定义、主要类型和市场制度等，最后将讨论两者的异同点2. 学习目标掌握远期、期货合约的定义、主要种类;熟悉远期和期货的区别；了解远期和期货的产生和发展、交易机制3。
本章重点(1) 远期、期货的定义和操作（2） 远期、期货的区别4. 本章难点远期和期货的产生和发展、交易机制5. 知识结构图6. 学习安排建议本章主要对远期和期货的基础知识进行介绍，是之后进行定价、套期保值等操作的基础，建议安排1课时的时间进行学习。
补充：伊藤引理与维纳过程
02
维纳过程简介
维纳过程的定义
维纳过程是一种数学模型，用于描述随机波动现象，如金融 市场价格的变动、气候变化等。它是一种连续时间、连续状 态的随机过程，具有独立同分布的增量。
维纳过程是布朗运动的数学描述，布朗运动是微观粒子在液 体中由于受到周围分子的无规则热运动撞击而发生的随机运 动。
VS
该定理由日本数学家伊藤清于1951 年首次发表，因此被称为伊藤引理。
伊藤引理的应用领域
金融数学
伊藤引理在金融数学中有着广泛的应用，特别是在衍生品 定价和风险管理中。它提供了对资产价格动态的数学建模 和定价的基础。
统计学
在统计学中，伊藤引理被用于分析统计模型的随机扰动， 以及随机误差对估计量的影响。它为统计推断提供了理论 基础。
维纳过程的应用领域
01
金融领域
维纳过程被广泛应用于金融衍生品定价、风险管理等领域。通过模拟金
融市场价格的波动，可以对期权、期货等金融产品进行定价和风险评估。
02
物理领域
在物理学中，维纳过程可以用来描述粒子的扩散、热传导等现象。
03
生物领域
在生物学中，维纳过程可以用来描述物种繁衍、基因突变等现象，也可
伊藤引理涉及到的是一种特定的随机微分方程，而维纳过程描述的是更一般的随 机波动现象。
伊藤引理与维纳过程的应用案例
1
在金融工程中，伊藤引理被用于计算股票价格和 期权价格的期望值和方差，从而为投资决策提供 依据。
2
在物理学中，维纳过程被用于描述气体分子的随 机碰撞和扩散现象，以及电路中的噪声等。
3
补充：伊藤引理与维纳过程
∆������ = ������∆������ + ������������ ∆������ ������~������ 0,1 • 因此∆������ 具有正态分布 ∆������ 的均值为������∆������ ∆������ 的标准差为������ ∆������ ∆������ 的方差为������ 2 ∆������
2
• 从而有
������������������������ − ������������������0 ~������
1 2 ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
•即
1 2 ������������������������ ~������ ������������������0 + ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
• 那么������ ������, ������ =������������，������ ������, ������ = ������������
布朗运动和伊藤引理的运用
布朗运动与伊藤引理的运用一、引言1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。
1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。
如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。
在柯朗研究所着名数学家的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。
1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了着名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。
哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。
二、相关概念和公式推导1、布朗运动介绍布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。
然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳（Winener）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。
（1）、标准布朗运动设t∆代表一个小的时间间隔长度，z∆代表变量z在t∆时间内的变化，遵循标准布朗运动的z∆具有的两种特征：特征1：z∆和t∆的关系满足下式：z∆=(2.1) 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔t ∆，z ∆的值相互独立。
从特征1可知，z ∆本身也具有正态分布特征，其均值为0t ∆。
从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。
第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
8
根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
5
第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
6
本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
Wiener过程
(
)
Itô引理和Itô公式 Itô引理和Itô公式
于是
S (t ) = exp µ − 1 σ 2 t + σ z (t ) S (0) 2
{(
)
}
}
即
S (t ) = S (0) exp µ − 1 σ 2 t + σ z (t ) 2
{(
)
所以只要S(0)是正的，则S(t)就是正的。由此，{S(t), t 是正的， 就是正的。 所以只要 就是正的 由此，{ ≥0}称为几何Brown运动。 称为几何Brown运动。
T
Wiener过程的性质 Wiener过程的性质
设{z(t), t ≥0}是一个Wiener过程，根据特征1， 是一个Wiener过程，根据特征1 可以知道 1. 对固定的t>0， z(t)是一个0均值，方 t 是一个0 差为t 差为t的正态随机变量，即 z(t)~ N(0, t)。 2. 当∆t →0时， ∆z(t) 可以写成dz(t)， z z 这时 dz(t) = ε (dt)1/2 z
2 dY (t ) = ∂G + ∂G a ( X (t ), t ) + 1 ∂ G b 2 ( X (t ), t ) dt + ∂G b( X (t ), t ) dZ (t ) ∂t ∂x 2 ∂x 2 ∂x
Itô引理和Itô公式 Itô引理和Itô公式
∂G + ∂G a()x(t ), t ) + 1 ∂ 2G b 2 ( x(t ), t ) dt + ∂G b( x(t ), t )dz (t ) (dy (t ) = ∂t ∂x 2 ∂x 2 ∂x
Stochastic Processes随机过程 Processes随机过程
BS期权定价模型及其应用
其中：
ln(S / K ) (r 2 / 2)(T t)
d1
(T t)
d2
ln(S
/
K)
(r
2
T t
/
2)(T
t)
d1
T t
此即 Black-Scholes 期权定价公式。
17
如何理解B-S期权定价公式
（1） SN (d1) 可看作证券或无价值看涨期权的多头； 可看K作er(KTt份)N (现d2 )金或无价值看涨期权的多头。
：股价收益率的瞬间标准差
3
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
s
1 n 1
n i 1
(ui
u )2
4 波动率估计 ˆ s
给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3, 无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元. 公司负债价值D=V-E=7176万元。
26
（2）确定贷款担保价值或担保费用
假设某银行为公司发行的债券提供了信用担
保。 1年之后，若公司价值VT大于债券面值时， 银行无须支付；若公司价值VT小于债券面值时, 银行须支付 VT – B。这相当于银行出售了一个欧 式put, 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券 面值B。
券的期望收益率等于无风险利率）
15
用风险中性方法对欧式 Call 定价
假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
欧式 Call 到期时的期望收益为： Eˆ[max(ST K , 0)]
布朗运动与伊藤公式课件
在某些情况下，投资者可以利用布朗运动的特性进行趋势跟踪。通过分析市场走势，投资 者可以尝试捕捉长期趋势，并采取相应的投资决策。然而，这种策略也存在一定的风险， 因为市场波动可能导致趋势的突然逆转。
波动率管理
波动率是衡量金融市场不确定性的重要指标。投资者可以利用布朗运动的特性进行波动率 管理，通过制定相应的风险管理策略来应对市场波动。例如，利用期权等衍生品进行对冲 或套利交易，以降低波动率对投资组合的影响。
THANKS。
03
其他衍生品定价
伊藤公式还可应用于其他金融衍生品 的定价，如期货、互换等，通过模拟 标的资产价格的变动过程，可以得到 这些衍生品的合理价格。
伊藤公式定价的优缺点分析
优点
伊藤公式基于随机过程和概率论，为金 融衍生品定价提供了一种系统的方法， 能够处理标的资产价格变动的随机性和 不确定性。此外，伊藤公式为多种衍生 品定价提供了一致的框架，方便进行比 较和选择。
04
伊藤公式在金融衍生品定价中 的应用
金融衍生品的定价原理
无套利原则
金融衍生品的定价应遵循无套利 原则，即不存在通过买卖衍生品 获取无风险利润的机会。
风险中性定价
风险中性定价假设下，衍生品的 预期收益与特定的风险中性概率 测度下的预期收益相等，便于计 算和比较。
未来现金流折现
金融衍生品的价值可通过对未来 现金流的折现来计算，现金流的 确定和折现率的选取是关键。
交叉学科应用
探索布朗运动与伊藤公式在不同学科领域的交叉应用，如生物信息学、神经科学、社会 科学等，以促进跨学科交流和合作。
高维问题研究
随着维数增加，布朗运动与伊藤公式的性质变得更加复杂，未来研究将致力于解决高维 问题，揭示高维随机系统的内在规律。
案例111运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
2
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值 ( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
2
市场有效理论与随机过程
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
6
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可 以得到 dx a(x, t)dt b(x, t)dz
这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个 标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率 为a，方差率为b2。
7
对于标准布朗运动来说：设 t 代表一个小 的时间间隔长度，z 代表变量z在 t 时间内的 变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特征： 特征1：z 和 t 的关系满足：
伊藤过程求解几何布朗
伊藤过程求解几何布朗伊藤过程是一种随机微分方程，由日本数学家伊藤清于1944年引入。
它在数学金融学、物理学和其他科学领域中有广泛的应用。
而几何布朗运动是伊藤过程的一种特例，它描述了一个粒子在连续时间和连续空间中的随机运动。
本文将介绍如何求解几何布朗过程的伊藤方程。
伊藤过程的一般形式可以表示为：dX(t) = μ(X(t), t)dt + σ(X(t), t)dW(t)其中，X(t)是随机过程，μ(X(t), t)是随机过程的漂移项，σ(X(t), t)是随机过程的扩散项，W(t)是维纳过程（也称布朗运动）。
几何布朗过程是一种特殊的伊藤过程，它的漂移项μ(X(t), t)恒为零，扩散项σ(X(t), t)为常数。
因此，几何布朗过程的伊藤方程可以简化为：dX(t) = σdW(t)求解几何布朗过程的伊藤方程可以使用伊藤引理，该引理可以将一个随机过程的函数的微分表示为漂移项和扩散项的线性组合。
对于几何布朗过程来说，漂移项为零，只需考虑扩散项。
根据伊藤引理，对于一个函数f(X(t), t)，它的微分可以表示为：df(X(t), t) = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂X)dX(t) + (1/2)(∂²f/∂X²)(dX(t))²对于几何布朗过程来说，漂移项为零，上式中的第二项可以化简为：dX(t) = σdW(t)将其代入上式，可以得到几何布朗过程的伊藤方程的简化形式：df(X(t), t) = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂X)σdW(t) + (1/2)(∂²f/∂X²)(σdW(t))²对于一个给定的函数f(X(t), t)，我们可以使用伊藤方程来求解几何布朗过程。
首先，我们需要计算∂f/∂t、∂f/∂X和∂²f/∂X²的值。
然后，将这些值代入伊藤方程的右侧，再对方程两边进行积分，即可得到解。
下面举个例子来说明如何求解几何布朗过程的伊藤方程。
案例11运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
11
案例11.1 运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程 假设变量S服从 dS Sdt Sdz 其中μ和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？ b( S , t ) S的伊藤过程，我们可 由于μ和σ是常数，S显然服从 a(S , t ) S， 以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。
z (T ) z (0) i t
i 1
3
为何使用布朗运动？
正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续
复利收益率近似地服从正态分布 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维纳过程是 一个马尔可夫随机过程
维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分
（Quadratic Variation）不为零的性质，与股票收益率 在时间上存在转折尖点等性质也是相符的
G 1 2 G 1 G G ln S，则 , 2 2 , 0 令 S S S S t
dG ( 代入式 G G 1 2 G 2 G a b ) dt bdz 我们就可得到 G ln S x t 2 x 2 x
所
遵循的随机过程为 dG d ln S (
6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
15
7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
dS Sdt Sdz 由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
其在一个小的时间间隔 t中，S的变化值 S 为：S St Sz 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据 f f 1 2 f 2 2 f 伊藤引理可得： df ( S S )dt Sdz
f 1 2 f 2 2 ( S )t t 2 S 2
累计期权定价与风险估值研究——以中信泰富为例
累计期权定价与风险估值研究——以中信泰富为例1 研究背景从2007年起，中信泰富开始购买澳元的累计外汇期权合约进行对冲（Accumulator）。
2008年10月20日，中信泰富发布公告称，为对冲澳大利亚铁矿项目汇率风险，该公司自2007年底起签订了多份累计杠杆式外汇买卖合约，该澳元累计目标可赎回远期合约，因澳元大幅贬值，已经确认155亿港元亏损。
此项亏损将达其净资产600亿港元的近1/4。
公告一出，市场哗然，投资者纷纷抛售该股票。
到10月29日，由于澳元的进一步贬值，该合约亏损已接近200亿港元。
11月12日，中信泰富再次发布公告，与母公司中信集团达成初步重组协议，其一是中信集团以强制性可转债方式，向中信泰富注资15亿美元。
其二是以“外科手术”般的方式将部分衍生品交易合约从上市公司剔除，中信集团将协助中信泰富分两步重组现存的87亿澳元合约。
按照公告，中信集团希望在12月30日前完成重组。
此次衍生产品巨额亏损事件阶段性地告一段落。
2008年12月2日，中信泰富在港交所发布的股东通函首次披露公司与花旗银行、汇丰银行等13家银行签订的外汇累计期权合约细节。
通函显示，中信泰富2007年8月至2008年8月间，分别与汇丰银行、花旗银行、摩根士丹利资本、美国银行、巴克莱银行、瑞信国际、法国巴黎银行等13家银行签订24份外汇累计期权合约，合约币种涉及澳元、欧元及人民币。
股东通函还显示，由于澳元进一步走低，中信泰富外汇衍生合约变现亏损及公平价定值亏损总额已由11月12日公告中的168亿港元，扩大至186亿港元。
2 累计期权定价原理由于奇异期权本身结算方式的复杂性，目前很难、甚至不能给出它定价的理论表达式，不能用布莱克-斯科尔斯公式求出解析解。
此时利用计算机编程进行数值计算是目前为这样的奇异期权定价的最有效的方法，而蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)是应用最广泛的方法。
此外还有离散化方法(Discretization method)以及马尔可夫链蒙特卡罗方法(Markov chain-Monte Carlo method)等也有重要应用。
金融工程维纳过程与伊藤引理PPT教案
19960709
19980629
20000626
20020628
第16页/共47页
12.4 Ito’s Lemma
➢ Ito’s Lemma
假设存在一个伊藤过程：x a(x,t)t b(x,t)z
如果G是x和t的函数，即：G=G(x,t)
那么：
G
G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
t
G x
(
2 2
)(T
t),
T t]
➢ 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变
量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明ST服从对数正态分布。
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S 2e2(T t)[e 2 (T t) 1]
➢ 这正好与μ作为预期收益率的定义相符。
➢ 蒙特卡罗方法
任何涉及随机采样的数值方法 不仅仅用于有关随机的问题
• 估计 圆周率 π • 优化问题 40年代美国Los Alamos 实验室的科学家用于核武器的研究 代表人物：冯诺依曼
第31页/共47页
32
经济和金融中的模拟方法
➢ Monte Carlo 方法 在计量经济学里，如果我们对某种估计方法的统计性质不 是很了解，而又要用到该种方法时，可以用Monte Carlo 方法来解决. 在计量经济学中的例子: 1. 对联立方程偏误的定量研究. 2. 确定Dickey-Fuller 检验的临界值. 3. 确定在自相关检验中样本大小对检验功效的影响.
➢ 股价行为模型第通7页/共常47页用布朗运动来 描述。
8
维纳过程（ Wiener Process ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
1965年，法玛（Fama）提出 了著名的效率市场假说。该假 说认为，证券价格对新的市场 信息的反应是迅速而准确的， 证券价格能完全反应全部信息。
有效 市场 三个 层次
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
根据众多学者的实证 研究，发达国家的证券 市场大体符合弱式效率 市场假说。一般认为， 弱式效率市场假说与马 尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来 刻画股票的这种特征。
2t
G G １ 2G 2 2 G x t b t 2 x t ２ x
E ( ) 0 E ( 2 ) [ E ( )]2 1 E ( 2 ) 1
由于 ~ (0,1)
因此 E ( 2 t ) t 而t的方差 与t 2同阶，可以忽略，因此
9
G G 1 2G 2 G x t b t 2 x t 2 x
取极限
Taking limits Substituting We obtain G G 2G 2 dG dx dt ½ 2 b dt x t x dx a dt b dz G G 2G 2 G dG a ½ 2 b dt b dz t x x x This is Ito's Lemma
忽略比 t高阶的项
在常微分中，我们得到
G
在随机微分中我们得到： 因为最后一项的阶数为t
G G x t x t
G G 1 2G 2 G x t ( x ) x t 2 x 2
8
将x代入
将x =a t +b t 代入最后一项， 并忽略比 t高阶的项,则
z (T ) z (0) i t
i 1
3
为何使用布朗运动？
正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续
复利收益率近似地服从正态分布 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维纳过程是 一个马尔可夫随机过程
维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分
（Quadratic Variation）不为零的性质，与股票收益率 在时间上存在转折尖点等性质也是相符的
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执 行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下， 期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影 响期权价格的最根本因素。
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化 规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制 期权，并以此为依据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确 定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反 响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经 济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地 介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-SM模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
5
标准布朗运动的扩展：普通布郎运动，令漂移率为a，方差率为b2，： dx adt bdz or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程： adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间为a； bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音，使变量x围 绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。 普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然，Δx也 具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t ，方差为 b 2 t
1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为b T ，方差为b2T。 2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。
6
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂 移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到 dx a( x, t )dt b( x, t )dz t t bdz x(t ) x0 0 ads 0 这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个标准 布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方 差率为b2。 在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导 出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下 过程： 2
dG ( G G 1 G 2 G a b ) dt bdz 2 x t 2 x x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
7
泰勒展开式
G G 2G G x t ½ x 2 2 x t x 2G 2G 2 x t ½ t 2 xt t
2
布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学家 布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
标准布朗运动两大特征： 特征1 z t (正态分布) 特征2：对于任何两个不同时间间隔 ，z 的值 相互独立。(独立增量）
维纳过程的性质 n
[z (T ) – z (0)]也是正态分布 均值等于 0 方差等于T 标准差等于 T 方差可加性
伊藤引理的运用
如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可
以推导出G (x, t )遵循的随机过程。
由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数，
因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。
10
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： dS Sdt Sdz 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。