概率空间(公理化定义)分析

二、概率性质
(1) P ( ) 0. 证明 An ( n 1,2,),
则 An , 且 Ai A j , i j .
n 1

由概率的可列可加性得
P ( ) P An P ( An ) n1 n1
P (wk.baidu.com ) n 1 P ( ) 0. P ( ) 0


m lim P Bk m k 1
lim P( Am ).
m
三、事件概率计算
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值.
1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8 解 (1) 由图示得 P ( B A) P ( B), 1 A B 故 P ( B A) P ( B ) . 2 ( 2) 由图示得 1 1 1 B A P ( B A) P ( B ) P ( A) . 2 3 6
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况－一般加法公式
P ( A1 A2 An )
P ( Ai )
(4)设 A 是 A 的对立事件, 则 P( A) 1 P( A).
证明
因为 A A S , A A , P ( S ) 1,
所以 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A) . P ( A) 1 P ( A).
(5) (一般加法公式) 对于任意两事件A, B 有 P( A B) P( A) P( B) P( AB).
令： B1 A1, B2 A2 A1,, Bm Am Am1,
而A1 A2 A1 A3 A2 Am Am1 Am ,
m P( A) P P( Bm ) lim P( Bk ) Am P Bm m m1 m1 m1 k 1
（6）概率的连续性：
若A1 A2 , A Am , 则 : P( A) lim P( Am );
m 1 m

若A1 A2 , A Am , 则 : P( A) lim P( Am ).
证： A
m 1
A

m 1
m
m
A1 A2 A1 A3 A2 两两互不相容 。
由概率的可列可加性得
k 1
P ( A1 A2 An ) P ( Ak ) P ( Ak ) P ( Ak ) 0
k 1 k 1

n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
( 3) 设 A , B 为两个事件,且 A B,则 P ( A) P ( B ), P ( B A) P ( B ) P ( A).
柯氏公理体系是现代概率论的基石.
定义(概率)：设(Ω,F) ，对 A F 定义在F上的实值集函数P(A), 若满足 1) 非负性：对 A F, 0 P A 1; 2) 规范性:P(Ω) = 1; 3) 可列可加性,对 Ai F i 1,2,, Ai A j , i j , 有 P A P A i i i 1 i 1 则称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A 的概率. 三元体(Ω,F, P)称为概率空间.
证明
由图可得 A B A ( B AB),
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB).
且 A ( B AB) ,
又由性质3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
A AB
B
因此得 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB). 推广 三个事件和的情况
证明 因为 A B,
所以 B A ( B A).
又 ( B A) A ,
B
A
得 P ( B ) P ( A) P ( B A) . 于是 P ( B A) P ( B ) P ( A).
又因 P ( B A) 0,
故 P ( A) P ( B ).
1.4 概率空间
一、概率的公理化定义 二、概率性质 三、事件概率计算
一、概率的公理化定义
在学习几何和代数时，知道公理是数学体系的基础. 数 学上的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后 以此为基础，推演出所讨论对象的进一步内容.
1933年，前苏联数学家柯尔莫 哥洛夫给出了概率的公理化定义.
通过规定概率应具备的基本性质来 定义概率.



(2)若 A1 , A2 , , An 是两两互不相容的事件,则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
概率的有限可加性 令 An1 An 2 ,
证明
Ai Aj , i j , i , j 1,2,.
i 1
n
P ( Ai Aj ) 1 i j n

1 i j k n
n1 P ( A A A ) ( 1 ) P ( A1 A2 An ). i j k
右端共有 2 n 1 项. n n 推论：概率具有次可加性 P Ai P Ai . i 1 i 1