导数在代数中的应用

导数在代数中的应用

导数在代数中的应用

1.1 判断函数的单调性

函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.

例1.求函数()cos sin f x x x x =-的单调区间.

分析：这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些。在这个题目中，我们还要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质。我们先对()f x 求导，得到'()sin f x x x =-；再令'()0f x >或'()0f x <，通过解关于x 的不等式，得到()f x 的单调递增（减）区间。然后根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上。 解：'()cos sin cos f x x x x x =-- =sin x x - 令'()sin 0f x x x =->

解得 ((21),2)x k k ππ∈-或(2,(21))(1,2,)x k k k ππ∈--+=⋅⋅⋅

∴

当((21),2)(2,(21))(1,2,)x k k k k k ππππ∈-⋃--+=⋅⋅⋅时，()f x 是增

函数.

再令'()0f x <

解得 (2,(21))x k k ππ∈+或(2,(21))(0,1,2,)x k k k ππ∈--+=⋅⋅⋅

∴

当(2,(21))(2,(21))x k k k k ππππ∈+⋃--+时，()f x 是减函数.

∴ ()f x 的单调递增区间是((21),2)(2,(21))k k k k ππππ-⋃--+；

单调递减区间是(2,(21))(2,(21))k k k k ππππ+⋃--+.

1.2 求函数最值

最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点。它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径。用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握。

例2．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23

x =-与1x =时都取得极值，

（1）求,a b 的值；（2）若对[]1,2,()x f x c ∈-<恒成立，求c 的取值范围.

分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，根据极值点处导数为零，再结合韦达定理就可以求出待定系数,a b 。第二小题的实质是确定新构造函数()g x 的最大值。 解：（1）由题意知，当23

x =-或1x =时，'()0f x =

Q 2'()32f x x ax b =++∴2320x ax b ++=的根为2,13

x x =-= 由韦达定理可知 1,22

a b =-=-. （2）令32()g x x ax bx =++ 则

321

()22

g x x x x =--

故对任意[]21,2,()x g x c c ∈-<-恒成立.

2'()32(1)(32)g x x x x x =--=-+Q

当x 变化时，(),'()g x g x 的变化情况如下表

x

2(,)3

-∞-

23-

2(,1)3

- 1

(1,)+∞

'()g x

+ 0 - 0 + ()g x

极大值

极小值

(),(2)2317

g g -==Q

∴

对任意[]1,2,()x y g x ∈-=的最大值为(2)2g =.

22c c ∴<- (,1)(2,)c ∴∈-∞-⋃+∞.

1.3 证明不等式 例3.求证：1(0)x e x x >+>

分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数

()1x f x e x =--；再对()f x 进行求导，得到'()f x ；然后观察得到当0

x >时，'()0f x >，即()f x 在0x >时是增函数；最后可得当0x >时，

()(0)0f x f >=，即1x e x

>+[6]

.

解：令()1x f x e x =-- 则：

'()10x f x e =->

()f x ∴在(0,)+∞上是增函数. ∴

当0x >时，()(0)0f x f >=

即1(0)x e x x >+> 1.4 证明组合恒等式

例4.求证：1231232

n n n n n n c c c nc n -+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯ 分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式(1)n x +；然后对二项式

进行求导，得到112321(1)23n n n n n n n n x c c x c x nc x

--+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+；最后令1x =，就可以得到我们要证的等式.

证明：012233(1)n n n n n n n n x c c x c x c x c x +=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

对上面等式两边求导，得

112321

(1)23n n n n n n n n x c c x c x nc x

--+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 令1x =，得1123223n n n n n n n c c c nc -⋅=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

原题得证.

1.5 解决数列中的问题

例5.求和2123(0,)n n s x x nx x n N +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠∈

分析：当1x =时，n s 是等差数列1，2，⋅⋅⋅⋅⋅⋅的和；当1x ≠时，n s 可看

作2

m

n T x x x =++⋅⋅⋅+的导数，而n T 是等比数列，易知1

1n n x x T x

+-=-，最后

再对n T 求导即可得到n s [4].

解：当1x =时，112(1)2

n s n n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+

当1x ≠时，由1

2

1n n

x x x x x x

+-++⋅⋅⋅+=-，得

12

'

'

()()1n n x x x x x x

+-++⋅⋅⋅+=-

即11

2

1(1)12(1)

n n n n n x nx s x nx

x +--++=++⋅⋅⋅+=- 1.6 讨论方程解的个数

例6.a R ∈，讨论关于x 的方程ln x ax =的解的个数.

分析：这道题可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线y kx =，求出k 的值；再根据a 的取值范围，讨论方程ln x ax =的解的个数.

解：如图，方程ln x ax =的解的个数就是直线y ax =与曲线ln y x =的交