黑龙江省大庆市肇源县第四中学2019-2020学年中考数学模拟学业水平测试试题

黑龙江省大庆市肇源县第四中学2019-2020学年中考数学模拟学业水平测试试题
一、选择题
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A ．任意多边形的外角和为360°
B ．在△AB
C 和△A′B′C′中，若AB ＝A′B′，BC ＝B′C′，∠C ＝∠C′＝90°，则△ABC ≌△A′B′C′
C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边
D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等
2．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a
-⎧≤-+⎪⎨⎪+-⎩＞有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程211a y y
+--=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A.﹣2 B.0 C.3 D.6
3．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线分别交AB ，BD 于M ，N 两点．若AM ＝
ON 的长为（ ）
A ．2 B
C ．
D ．
4．菱形ABCD 中，605B AB ∠=︒=，，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．20
5．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AD 、AB 、BC 、CD 的中点，连接EF 、FG 、GH 和HE ．若2=AD AB ，用下列结论正确的是（ ）
A ．EF A
B = B
．2EF AB = C
．EF = D
．2
EF AB = 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点(3,6)A -，(9,3)B --，以原点O 为位似中心，相似比为13，把ABO ∆缩小，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）
A ．(9,1)-或(9,1)-
B ．(3,1)--
C ．(1,2)-
D ．(3,1)--或(3,1) 7．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是
（ ）
A ．中位数31，众数是22
B ．中位数是22，众数是31
C ．中位数是26，众数是22
D ．中位数是22，众数是26
8．如图，DE ∥BC ，CD 平分∠ACB ，∠AED ＝50°，则∠EDC 的度数是（ ）
A ．50°
B ．40°
C ．30°
D ．25° 9．如图，菱形ABCD 的边AB=5，面积为20，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB 、AD 都相切，AO=2，则⊙O 的半
径长等于（ ）
A B C D 10．正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象上一点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为2 : 3，且y 随x 的增大而减小，则k 的值是 ( )
A ．23
B ．32
C ．32-
D ．23
- 11．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a
-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112-＝﹣1，﹣1的差倒数是()111--＝12，已知a 1＝﹣13
，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，以此类推，a 2009的值为( )
A ．﹣13
B ．34
C ．4
D ．43
12．如图，在ABCD 中， 对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点，当E 、F 两点
满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形
( ).
A ．AE ＝CF
B ．DE ＝BF
C ．ADE CBF ∠=∠
D ．AED CFB ∠=∠ 二、填空题
13
．函数y =中，自变量________的取值范围是________． 14．不等式组112(3)33x x x
+⎧⎨+->⎩…的解集是_____． 15．因式分解ab 3-4ab= .
16．n 边形的内角和等于540°，则n=_____．
17．如图，已知直线AB ∥CD ，∠GEB 的平分线EF 交CD 于点F ，∠1=46°，则∠2=______．
18．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD ＝30°，CD ＝
S 阴影＝_____．
三、解答题
19．如图，□ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接DE ，若DE AD =，∠AFD+∠B=180°．
求证：AB AF =．
20．校园安全受到全社会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？
（2）若该中学共有学生1600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．
（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
21．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分BAD ∠.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO.延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若3AE DE ==，求AF 的长.
22．先化简再求值：22211221
x x x x x x x ++--÷++-,其中x=()011260-20162π--︒++- 23．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．点A 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（10，
0）．一条抛物线214y x bx c =++经过O ，A ，B 三点，直线AB 的表达式为152
y x =+，且与抛物线的对称轴交于点Q ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，在A ，B 两点之间的抛物线上有一动点P ，连结AP ，BP ，设点P 的横坐标为m ，△ABP 的面积S ，求出面积S 取得最大值时点P 的坐标；
（3）如图3，将△OAB 沿射线BA 方向平移得到△DEF ，在平移过程中，以A ，D ，Q 为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E 的坐标（点O 除外）；如果不能，请说明理由．
24．图①、图②均为3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，请在图①、图②中各画一个顶点在格点的三角形．要求：（1）所画的三角形为钝角三角形；
（2倍；
（3）图①、图②中所画的三角形不全等．
25．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
三等分任意角问题是数学史上一个著名的问题，直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不能
用尺规完成的．
在探索中，出现了不同的解决问题的方法
方法一：
如图（1），四边形ABCD 是矩形，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，CF 与AB 交于点E ，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ，此时∠ECB ＝
13∠ACB ． 方法二：
数学家帕普斯借助函数给出一种“三等分锐角”的方法（如图（2））：将给定的锐角∠AOB 置于平面直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y ＝1x
的图象交于点P ，以点P 为圆心，以2OP 长为半径作弧交图象于点R ．过点P 作x 轴的平行线，过点R 作y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠AOB ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，过点R 作RQ ⊥PH 于点Q ，则∠MOB ＝
13∠AOB ． （1）在“方法一”中，若∠ACF ＝40°，GF ＝4，求BC 的长．
（2）完成“方法二”的证明．
【参考答案】***
一、选择题
13．2x ≥-且1x ≠
14．0≤x＜3
15．ab （b+2）（b-2）.
16．5
17．157°
18．83
π 三、解答题
19．见解析.
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可证明ADF ∆≌DEC ∆，从而可得结论.
【详解】
在□ABCD 中，AB CD =，AB ∥CD ，AD ∥BC ,
∴180B C ∠+∠=︒，ADF CED ∠=∠
∵180AFD B ∠+∠=︒,
∴C AFD ∠=∠
又∵DE AD =,
∴ADF ∆≌DEC ∆,
∴AF CD =,
∴AF AB =.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握判定与性质是解题的关键.
20．（1）80（2）400（3）
23 【解析】
【分析】
（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）计算出样本中“了解”程度的人数，然后用1600乘以基本中“了解”程度的人数的百分比可估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1）32÷40%＝80（名），
所以在这次活动中抽查了80名中学生；
（2）“了解”的人数为80﹣32﹣18﹣10＝20， 1600×2080
＝400， 所以估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数为400人；
（3）由题意列树状图：
由树状图可知，在 4 名同学中随机抽取 2 名同学的所有等可能的结果有12 种，恰好抽到一男一女（记为事件A ）的结果有8种，
所以P （A ）＝
82123=． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
21．(1)详见解析；【解析】
【分析】
（1）欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠CDO ＝∠CBO ＝90°，由△COB ≌△COD 即可解决问题．
（2）先证明∠BAO ＝∠OAD ＝∠DAE ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AEF 中利用30度性质以及勾股定理即可解决
【详解】
解：（1）如图，连接OD ．
∵BC 为圆O 的切线，
∴∠CBO ＝90°．
∵AO 平分∠BAD ，
∴∠OAB ＝∠OAF ．
∵OA ＝OB ＝OD ，
∴∠OAB ＝∠ABO ＝∠OAF ＝∠ODA ，
∵∠BOC ＝∠OAB ＋∠OBA ，∠DOC ＝∠OAD ＋∠ODA ，
∴∠BOC ＝∠DOC ，
在△COB 和△COD 中，
CO CO COB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴BOC ≌△DOC ，
∴∠CBO ＝∠CDO ＝90°，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）∵AE ＝DE ，
∴AE DE =，
∴∠DAE ＝∠ABO ，
∴∠BAO ＝∠OAD ＝∠ABO
∴∠BAO ＝∠OAD ＝∠DAE ，
∵BE 是直径，
∴∠BAE ＝90°，
∴∠BAO ＝∠OAD ＝∠DAE ＝∠ABO ＝30°，
∴∠AFE ＝90°，
在Rt △AFE 中，∵AE ＝3，∠DAE ＝30°，
∴EF ＝
12AE ＝32， ∴AF
2
=．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角30°，属于中考常考题型．
22．12
x -+,-1 【解析】
先把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，再按分式的加减法化简，然后把x 化简后代入计算即可.
【详解】
22211221
x x x x x x x ++--÷++- =()()()
2112211x x x x x x x +--⨯++-+ =
122x x x x +-++ =12
x x x --+ =12
x -+，
x=()011260-20162π--︒++-
=11122
+ =-1，
当x=-1时，
原式=1=112
---+. 【点睛】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的混合运算.
23．（1）21542
y x x =-+；（2）当S 取得最大值16时，点P 的坐标为（6，6）；（3）以A ，D ，Q 为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E 坐标为：E 1（21，12-
），E 2（15，52-），E 3（311124
,-），E 4（16，﹣3）． 【解析】
【分析】
（1）将点A 的坐标（10，0）．O （0，0）代入抛物线214
y x bx c =
++，解出b ，c ，再代回，即可得抛物线的解析式；
（2）先将直线与抛物线解析式联立，解出点B 坐标，再设出点P 和点G 坐标，用相关点的横纵坐标表示线段长河高，从而可得面积的表达式，再从函数角度即可得解；
（3）利用勾股定理分别表示出AD 2，AQ 2，QD 2，再分AD ＝AQ ，AD ＝QD ，AQ ＝QD ，分别来求解，从而得点D 坐标，再将其横坐标加10，纵坐标不变即可得点E 的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线214
y x bx c =++经过O ，A ，B 三点，点A 的坐标为（10，0）．O （0，0）， ∴210101040b c c
⎧=-⨯++⎪⎨⎪=⎩ ∴520
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+52
x ． （2）由21542152
y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得﹣14x 2+52x ＝152x -+， ∴x ＝2或x ＝10，
∴点B （2，4）．
如图2，作PC ⊥x 轴于C 点，交AB 于点G ，
∵动点P 在抛物线上，直线AB 的表达式为152
y x =-+， ∴设P （m ，﹣14m 2+52m ），G （m ，152
m -+）， ∴PG ＝﹣
14m 2+3m ﹣5， ∴S ＝
12PG （x A ﹣x G ）+12PG （x G ﹣x B ）＝12（﹣14m 2+3m ﹣5）（10﹣2）＝﹣m 2+12m ﹣20＝﹣（m ﹣6）2+16，
∴当m ＝6时，S 最大＝16，
∴P （6，6）
答：当S 取得最大值时点P 的坐标为（6，6）．
（3）∵抛物线的对称轴为x ＝5，点Q 在直线152y x =-
+上， ∴Q 点坐标为（5，52
），D 点在过O 点且平行于AB 的直线y ＝12x 上，设D （a ，12a -）， ∴AD 2＝（10﹣a ）2+14a 2，AQ 2＝25+254＝1254，QD 2＝（a ﹣5）2+215()22
a -- ①当AD ＝AQ 时，（10﹣a ）2+
14a 2＝1254，解得a 1＝11，a 2＝5， ∴D 1（11，12-
），D 2（5，﹣52）； ∴E 1（21，12-），E 2（15，-52
）； ②当AD ＝QD 时，（10﹣a ）2+
14a 2＝（a ﹣5）2+215()22a --，解得a ＝112，
∴D 3（112，114-），E 3（312，114
-）； ③当AQ ＝QD 时，1254＝（a ﹣5）2+215()22
a --，解得a ＝6， ∴D 4（6，﹣3），E 4（16，﹣3） 综上所述，以A ，D ，Q 为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E 坐标为：E 1（21，12-
），E 2（15，52-），E 3（312，114
-），E 4（16，﹣3）．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式、直线与抛物线所形成的三角形面积的最大值问题、图形平移形成等腰三角形后相关点的坐标等问题，综合性比较强，难度较大．
24．见解析
【解析】
【分析】
利用勾股定理作出符合条件的三角形三边，将原三角形扩大两倍即可
【详解】
解：如图所示；
【点睛】
此题考查勾股定理和作图-相似变换，解题关键在于掌握作图法则
25．（1）2；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求出AC 的值再求出∠ACB ，利用三角函数即可解答
（2）设点P 的坐标为（a ，
1a ），点R 的坐标为（b ，1b ），则点Q 的坐标为（a ，1b ），点M 的坐标为（b ，
1a ），求出直线OM 的解析式，得出四边形PQRM 为矩形，设PR 交MQ 于点S ，根据SP ＝SQ ＝SR ＝SM ＝12
PR ，即可解答 【详解】
（1）解：∵∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ，
∴AC ＝AG ＝GF ＝4．
∵∠ECB＝1
3
∠ACB，∠ACF＝40°，
∴∠ACB＝3
2
∠ACF＝60°，
∴BC＝AC•cos∠ACB＝4×1
2
＝2．
（2）证明：设点P的坐标为（a，1
a
），点R的坐标为（b，
1
b
），则点Q的坐标为（a，
1
b
），点M的
坐标为（b，1
a
）．
设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0），
将M（b，1
a
）代入y＝kx，得：
1
a
＝kb，
∴k＝1
ab
，
∴直线OM的解析式为y=1
ab
x．
∵当x＝a时，y＝1
b
，
∴点Q在直线OM上．
∵PH⊥x轴，RQ⊥PH，MP∥x轴，MR∥y轴，∴四边形PQRM为矩形．
设PR交MQ于点S，如图（2）所示．
则SP＝SQ＝SR＝SM＝1
2 PR，
∴∠SQR＝∠SRQ．∵PR＝2OP，
∴PS＝OP＝1
2 PR，
∴∠POS＝∠PSO．∵∠PSQ＝2∠SQR，∴∠POS＝2∠SQR．∵RQ∥OB，
∴∠MOB＝∠SQR，∴∠POS＝2∠MOB，
∴∠MOB＝1
3
∠AOB．
【点睛】
此题考查三角函数值的应用，矩形的判定与性质，解题关键在于利三角函数进行计算。