定积分的简单应用精选

定积分的简单应用

海口实验中学陈晓玲

一、教材分析

“定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。

二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标）

1、知识与技能目标：

（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；

（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。

2、过程与方法目标：

通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

3、情感态度与价值观目标：

通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。

三、教学重点与难点

1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。

四、教学用具：多媒体

五、教学设计

教学环节教学设计师生

互动

设计意图

一、创设情境引出新课1、生活实例：

实例1：国家大剧院的主题构造

类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？

边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算

曲边梯形的面积实现。

实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的

路程？

2、复习回顾：

如何计算曲边梯形的面积？

3、引入课题：

定积分的简单应用

学生:

观察。

教师：

启发，

引导

学生：

思考，

回忆。

学生：

疑惑，

思考，

感受。

教师：

启发，

引导。

学生：

复习，

回忆

数学源于生活，又服

务于生活。

通过对国家大剧院的

观察，创设问题情境，体

验数学在现实生活中的

无处不在，激发学生的学

习热情，引导他们积极主

动的参与到学习中来。

启发学生把物理问题

与数学知识联系起来，训

练学生对学科间的思维

转换和综合思维能力。

学生感受定积分的工

具性作用与应用价值。

在生活实例的启发

下，引导学生把所学知识

与实际问题联系起来，回

忆如何计算曲边梯形面

积。

这是这节课的知识基

础。

哎呀，里程表坏了，你

能帮我算算我走了多

少路程吗?

x

y

o

y f(x)

=

a b

A

⎰=b

a

dx

x

f

A)

(

方法总结：

求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤： （1） 做出示意图（找到所求平面图形） （2） 求交点坐标（确定积分上、下限） （3） 确定被积函数 （4） 列式求解

练习1：计算由直线y x 4,=-曲线y 2x =以及X 轴所围图形的面积S.

（课堂练习，由于学生思维的特点，此题可能会出现不同的解法，教师对学生给与肯定和赞扬。）

图一

学生：解

决例1。 学生：回顾、小结解题思路。 教师：归

纳总结。 学生：运用所学知识解

决问题。 老师：展示不同

解法，

分析，讲解。 学生：交流，讨

论，体会。

重点，化解如何把平

面图形的面积问题化归为定积分问题这一难点。变灌注知识为主动获取知识，从而使学生真正成为课堂教学活动的主体。

整个过程充分体现

数形结合和化归思想的数学思想方法。 通过对方法的总结，使学生知识系统化，解题

过程规范化，再一次突出重难点，加强学生对这一方法使用的意识。

循序渐进，巩固知识。 这是一道随堂练习题，是例1的深入和扩展，学生在课堂上给予思考，解决。考虑到学生思维各有特点，所以对问题解决的方法可能会有所不同。有可能直接面积相

减而得，也有可能把所求面积分两部分相加而得。

教师对学生主要出现的不同解法进行投影分析，并进行比较，学生体会这两种方法的区别及联系，加强

y x 4

=-2=

y x

图2

对重难点的化解。学生运用新知识解决问题，可以获得极大的成就感，既提高了学习兴趣，又加强学生使用数学知识的意识。突出应用这一主题。

三、学科综合延伸扩展1、变速直线运动的路程问题：

作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数

V=V(t)(V(t)≥0),在时间区间[]

a,b上的定积分.

()

b

a

s v t dt

=⎰

例2:一辆汽车的速度曲线如图所示,求汽车在这1min行驶的

路程。

（在物理实际问题中的应用，通过对知识的复习和之前的学

习，学生可以自己思考解决问题的方法）

练习2：一物体沿直线以v=2t+3(t的单位:s,v的单位:m/s)

的速度运动,求该物体在3～5s间行进的路程

（学生随堂练习，强化知识）

学生：思

考，回

忆，说出

看法。

教师：总

结，给出

式子。

教师：给

出例2。

学生：思

考解决

问题的

方法。

教师：引

导学生

解决问

题。

加强学科整合，体现

数学知识魅力

这节课的核心是对

定积分的使用，这种使用

不仅可以体现在求平面

图形的面积，还可以运用

于其他学科。

所以，引入物理学

中变速直线运动的路程

问题，即加强学生对之前

所学知识的进一步应用，

又能让学生掌握如何将

实际问题化归为定积分

的问题并加以解决，化解

本节课的难点，让他们体

验到数学的魅力所在。

灵活运用，通过相应

的练习，强化对难点的化

解，学会运用所学知识解

决实际问题，将数学知识

运用到生活中来。

O 10 20 30 40 50 60

40

30

20

10

t/s

v/m/s