2012专题：因式定理与因式分解

专题：因式定理与因式分解

1、余数定理与因式定理

通常：

)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，

)(a f 表示这个多项式在a x =时的值。 如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：

r x g c x x f +-=)()()(

即：被除式等于除式乘以商式再加余式

在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(

因此：我们有：

)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。 这个结论我们称余数定理

如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。因此，我们有：

如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。 这个结论通常称为因式定理及其逆

定理。

需要掌握的基本技能：长除法

计算：

3(27)(2)x x x +-÷- 解：332232322226

2027

2222467

612

5x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+

所以，32

27(2)(26)5x x x x x +-=-+++

注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。

例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。

知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。

当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。

即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x

=)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x

例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f

因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。避免分数运算，把2

3-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。

现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式32-x ：

3552)(23-+-=x x x x f =)1)(32(2+--x x x

这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现0)1(=-f ，)2

3(f =0了呢？ 下面讨论这个问题。

2、有理根的求法

如果c x -是)(x f 的因式，则0)(=c f ，那么就是说c x =是0)(=x f 的根；反之，在c 是0)(=x f 的根时，c x -就是)(x f 的因式。问题是如何求出0)(=x f 的根？ 我们假定)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式，又设有理数

q p c =是)(x f =0的根，这里q

p 是既约分数（即q p ,为互质整数）。 由于0)(=c f ，则有 ++--11)()(n n n n q

p a q p a +0)(01=+a q p a 两边同乘n q 得：

00

1111=++++---n n n n n n q a pq a q p a p a 上式p 能整除左边前n 项，q 能整除左边后n 项，又因q p ,互质，因此：

p 能整除0a ，即p 是0a 的约数；q 能整除n a ，即q 是n a 的约数。 因此，可得：

整系数多项式)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- =0的有理根q

p x =

的分子p 是常数项0a 的约数；q 是首项系数n a 的约数。

找到了0)(=x f 的有理根q p x =，那么就找到了)(x f 的一次因式q

p x -. 例3 分解因式 232

3-++x x x 解：0a =-2的因数有2,1±±，n a 的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。

所以)(x f =0的有理根只可能是3

2,312,1±±±±. 经检验可得：0)3

2(==f 所以3

2-x 是)(x f 的因式，从而23-x 也是)(x f 的因式，可得： 2323-++x x x =)23()23()23(222-+-+-x x x x x =)1)(23(2++-x x x

3、字母系数

上述多项式都是常数系数。若遇字母系数多项式呢？

例4 分解因式

abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(2

3 解：常数项abc -的因数为

.,,,,,,abc ca bc ab c b a ±±±±±±±

把a x =代入，可得abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=0

所以a x -是原式的因式，同理c x b x --,也是原式的因式，所以：

abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=))()((c x b x a x ---

小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。达到了降次的目的。如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。

4、二次因式（待定系数法）

例5 分解因式：322

34+-++x x x x 解：原式的有理根只可能是3,1±±，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。

我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是设：

32234+-++x x x x =))((22d cx x b ax x ++++ （其中d c b a ,,,是整数）