2012专题：因式定理与因式分解

专题：因式定理与因式分解
1、余数定理与因式定理
通常：
)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，
)(a f 表示这个多项式在a x =时的值。

如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。

设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：
r x g c x x f +-=)()()(
即：被除式等于除式乘以商式再加余式
在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(
因此：我们有：
)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。

这个结论我们称余数定理
如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。

反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。

因此，我们有：
如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。

反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。

这个结论通常称为因式定理及其逆
定理。

需要掌握的基本技能：长除法
计算：
3(27)(2)x x x +-÷- 解：332232322226
2027
2222467
612
5x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+
所以，32
27(2)(26)5x x x x x +-=-+++
注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。

例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。

知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。

当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。

这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。

即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x
=)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x
例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f
因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。

避免分数运算，把2
3-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。

现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式32-x ：
3552)(23-+-=x x x x f =)1)(32(2+--x x x
这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现0)1(=-f ，)2
3(f =0了呢？ 下面讨论这个问题。

2、有理根的求法
如果c x -是)(x f 的因式，则0)(=c f ，那么就是说c x =是0)(=x f 的根；反之，在c 是0)(=x f 的根时，c x -就是)(x f 的因式。

问题是如何求出0)(=x f 的根？ 我们假定)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式，又设有理数
q p c =是)(x f =0的根，这里q
p 是既约分数（即q p ,为互质整数）。

由于0)(=c f ，则有 ++--11)()(n n n n q
p a q p a +0)(01=+a q p a 两边同乘n q 得：
00
1111=++++---n n n n n n q a pq a q p a p a 上式p 能整除左边前n 项，q 能整除左边后n 项，又因q p ,互质，因此：
p 能整除0a ，即p 是0a 的约数；q 能整除n a ，即q 是n a 的约数。

因此，可得：
整系数多项式)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- =0的有理根q
p x =
的分子p 是常数项0a 的约数；q 是首项系数n a 的约数。

找到了0)(=x f 的有理根q p x =，那么就找到了)(x f 的一次因式q
p x -. 例3 分解因式 232
3-++x x x 解：0a =-2的因数有2,1±±，n a 的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。

所以)(x f =0的有理根只可能是3
2,312,1±±±±. 经检验可得：0)3
2(==f 所以3
2-x 是)(x f 的因式，从而23-x 也是)(x f 的因式，可得： 2323-++x x x =)23()23()23(222-+-+-x x x x x =)1)(23(2++-x x x
3、字母系数
上述多项式都是常数系数。

若遇字母系数多项式呢？
例4 分解因式
abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(2
3 解：常数项abc -的因数为
.,,,,,,abc ca bc ab c b a ±±±±±±±
把a x =代入，可得abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=0
所以a x -是原式的因式，同理c x b x --,也是原式的因式，所以：
abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=))()((c x b x a x ---
小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。

达到了降次的目的。

如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。

4、二次因式（待定系数法）
例5 分解因式：322
34+-++x x x x 解：原式的有理根只可能是3,1±±，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。

我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是设：
32234+-++x x x x =))((22d cx x b ax x ++++ （其中d c b a ,,,是整数）
比较两边x x x ,,23的系数及常数项，得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++=+3
121bd ad bc ac d b c a （一般来说，这样的方程不容易解！但别忘了d c b a ,,,是整数！）
从3=bd 入手，可得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==3131d b d b 或，或⎩
⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==1313d b d b 或； 将3,1==d b 代入可解得：2,1=-=c a
因此：32234+-++x x x x =)32)(1(22+++-x x x x
根据因式分解的唯一性，其他几组不必再试了。

思考：136--x x 能否分解为两个整系数的三次因式的积？（可用待定系数法）
下面看两个综合题
例6 若
3235x hx x k +-+恰好能被3x +整除，被1x +除余数为4，求,h k ，并将多项式3235x hx x k +-+进行因式
分解。

解：记32
()35f x x hx x k =+-+，则 (3)0(1)4f f -=⎧⎨-=⎩代入得9662h k h k +=⎧⎨+=⎩
解得8,6h k ==-
所以32
()3856f x x x x =+--
由于()f x 必有因式3x +，设其商式为2ax bx c ++则 23232()(3)()
(3)(3)33856
f x x ax bx c ax b a x c b x c x x x =+++=+++++=+--
比较系数可以得到3383536
a b a c b c =⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪=-⎩解得312a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
即2
()(3)(32)(3)(1)(32)f x x x x x x x =+--=+-+
例7 设c b a ,,是三个不同的实数，)(x P 是实系数多项式。

已知
（1）)(x P 除以（a x -）得余数a ；
（2）)(x P 除以（b x -）得余数b ；
（3）)(x P 除以（c x -）得余数c ；
求多项式)(x P 除以))()((c x b x a x ---所得的余式。

（意大利数奥题）
解：根据余数定理，)(x P 被（a x -）除，余数为)(a P ，所以)(a P =a . 从而x x P -)(，在a x =时，值为0。

同理，在b x =、c 时，值也为0。

所以x x P c x b x a x ----)())()((，即)(x P 除以))()((c x b x a x ---，余式为x .
5、因式定理在轮换式分解中的运用
对称式 如果把多项式中任何两个字母互换，所得的式子与原多项式恒等，这样的多项式叫做关于这些字母的对称式。

如z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，y z x z x y z y z x y x 222222+++++，xyz ，┅┅
轮换式 一个含有多个字母的多项式中，如果将所有字母顺次轮换后，所得到的多项式恒等，则称原多项式是关于这些字母的轮换式。

如：z y x ++，2
22z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，x z z y y x 222++，222zx yz xy ++，xyz ，┅┅
显然，关于z y x ,,的对称式一定是轮换式。

但是，关于z y x ,,的轮换式不一定是对称式。

如：x z z y y x 2
22++。

对于次数低于3的轮换式都是对称式。

两个轮换式（或对称式）的和、差、积、商（假定整除）仍然是轮换式（或对称式）。

关于x ，y 的齐次对称式的一般形式是：
一次对称式：()y x l +； 二次对称式：(
)mxy y x l ++2
2； 三次对称式：()().33y x mxy y x l +++； 关于x ，y ，z 的齐次轮换式的一般形式是： 一次齐次轮换标准式：()z y x l ++； 二次齐次轮换标准式：(
)()zx yz xy m z y x l +++++222； 三次齐次轮换标准式：()()()()[]nxyz y x z x z y z y x m z y x
l +++++++++2
22333；
……
（其中，l ，m ，n 均为常数）.
例8 分解因式：
()()()y x z x z y z y x -+-+-333.
解：()()()y x z x z y z y x -+-+-3
33是关于z y x ,,的轮换式 如果把它看成x 为主元的多项式，
当y x =时，原式()()()03
33=-+-+-=y y z y z y z y y .则原式有因式y x -。

同样原式还有因式z y -，x z -.
所以()()()x z z y y x ---是原式的因式。

但原式是关于z y x ,,的四次式，所以还应当有一个一次因式。

因原式是四次齐次轮换式，所以这个一次因式也是关于z y x ,,的一次齐次轮换式。

设为()z y x l ++，
从而有：()()()()()()()x z z y y x z y x l y x z x z y z y x ---++=-+-+-3
33.比较3x 的系数，得()z y l z y --=-.求得1-=l .
故()()()()()()()x z z y y x z y x y x z x z y z y x ---++-=-+-+-3
33.
例9 分解因式 555)
()()(y x x z z y -+-+- 解：用上面的方法易知原式有因式))()((x z z y y x ---. 因原式是五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式。

我们设：
555)()()(y x x z z y -+-+-=))()((x z z y y x ---[]
)()(222zx yz xy m z y x l +++++ 比较两边系数可确定l 、m 。

也可用特殊值法确定l 、m 。

取0,1,2===z y x ，得：)25(21321m l +-=+-，即1525=+m l
再取1,0,1-===z y x ，得：)2(21321m l --=+-，即152=-m l
可解得：5,5-==m l
于是可得： 555)()()(y x x z z y -+-+-=5))()((x z z y y x ---)(222zx yz xy z y x ---++.
思考题：因式分解abc c b a 3333-++
解：如果把它看成a 为主元的多项式， 当)(c b a +-=时，有abc c b a 33
33-++=0 所以c b a ++是abc c b a 3333-++的因式。

因为abc c b a 3333-++是关于c b a ,,的三次齐次轮换式，则还得有一个二次齐次轮换因式。

我们设：
abc c b a 3333-++=)(c b a ++[]
)((222ca bc ab m c b a l +++++ 比较3
a 的系数得：1=l ，比较abc 的系数得：1-=m
所以：abc c b a 3333-++=)(c b a ++)(2
22ca bc ab c b a ---++
例10 n 是大于1的自然数，证明：
n n n n n n n z y x y x x z z y z y x 2222222)()()()(++++-+-+-++ （*）
能被4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++ （**）整除
证明：在0=x 时，（*）式的值为0，因此x 是（*）式的因式。

在)(z y x +-=时，（*）式的值为0，因此z y x ++是（*）式的因式。

由于（*）是轮换式，所以z y ,也是它的因式，即)(z y x xyz ++是它的因式。

特别当2=n 时，)(z y x xyz ++也是（**）的因式。

而
4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++和)(z y x xyz ++都是四次式，因此它们至多相差一个常数。

所以（*）式也能被（**）式整除。

例11 分解因式：
))(()())(()())(()(444d c b a d c b a d b a c d b a c d a c b d a c b ----++----++----+解：原式是a 、b 、c 的轮换式，易验证b a =时，原式为0，所以有因式b a -。

同理，有因式a c c b --,；因此它有因式：))()((a c c b b a ---。

另一方面，把原式看成d 的多项式，易知a d =时，它的值为0，因此有因式a d -。

同理，它也有因式c d b d --,，于是：
))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------ 是原多项式的因式。

因原多项式是6次式，两者最多相差一个倍数关系。

我们设
原式=k ))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------
用特殊值法确定k 值。

取2,1,0,1=-===d c b a ，得：k =16.
即：原式=16))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------.
思考题：分解因式：)2()()2()()2()(333c b a b a b a c a c a c b c b -+-+-+-+-+- 注：易验证b a a ==和0时，原式的值为0。

因此)(b a a -是它的因式。

由于轮换式，所以：))()((a c c b b a abc ---是原多项式的因式。

但))()((a c c b b a abc ---是6次式，而原式的次数≤4，因此原式必为0。

因式分解应当分解到“底”，就是应当将多项式分解为既约多项式的积。

什么才算是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解。

有理数集？实数集？复数集？ 如：7322+-x x 在实数集内就是既约多项式，但在复数集内可得：
7322+-x x =)4
473)(4473(2i x i x --+- 为虚其中i (数单位） 代数基本定理：在复数集内，对于任意多项式
)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(n 为正整数)，一定有复数c
使得)(c f =0（即c 是)(x f =0的一个根）。

根据代数基本定理和因式定理，每个x 的次数大于1的多项式)(x f 都有一次因式c x -。

也就是说在复数集内只有一次多项式才是既约多项式。

如此，易知n 次多项式)(x f 必有：
)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- =)())((21n n x x x x x x a ---
这就是)(x f 在复数集内的分解式。

（不展开讲了！）
在有理数集内，如何判定一个多项式是否既约？下面只讨论一元的情形。

6、艾森斯坦判别法
又称艾氏判别法：
设)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式.
如果存在一个质数p 满足以下条件：
（1）p 不整除n a ；
（2）p 整除其余的系数（1210,,,-n a a a a ）
（3）2p 不整除0a .
那么，)(x f 在有理数集内不可约。

证明：假设多项式)(x f 满足条件而且可约，设)(x f =)()(x V x U ⨯。

由于p 整除其余的系数（1210,,,-n a a a a ），所以有)(x f ≡n n x a )(mod p ，则有)(x f ≡
)()(x V x U ⨯≡n n x a )(mod p 。

于是设U 和V 取模p 后分别为k n k cx
bdx -和，满足c b a n ⨯=，也就是)()(x V x U ⨯除了最高项系数以外，其余系数都是p 的倍数。

这表示U 和V 的常数项均可被p 整除，所以f 的常数项0a 可以被2p 整除，这与f 系数的设定矛盾。

所以定理得到证明。

例12 证明：对于任意的自然数n ，2-n x 在有理数集内不可约。

证明：取2=p ，则p 整除1210,,,-n a a a a ，p 不整除n a ，2p 不整除0a .根据艾氏判别法，2-n x 是有理数集内的既约多项式。

例13 证明：1234++++x x x x 在有理数集内不可约。

证明：艾氏判别法不能直接使用。

但可令 1+=y x ，
则：1234++++x x x x =1
15--x x =y y 1)1(5-+=55105234++++y y y y 取5=p ，根据艾氏判别法，55105234++++y y y y 在有理数集内不可约，从而1234++++x x x x 在有理数集内不可约。

思考：证明126++x x 在有理数集内不可约。

（注：令 1+=y x ，126++x x =39182115623456++++++y y y y y y ）。