高中数学 《变化率与导数》教案 新人教A版选修11
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[教学目的]
1.了解导数形成的背景、思想和方法;正确理解导数的定义、几何意义;
2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率,建立导数的概念;掌握用导数的定义求导数的一般方法
3.在教师指导下,让学生积极主动地探索导数概念的形成过程,锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 [教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发,自学演练。 [授课类型]:新授课
[课时安排]:1课时
[教 具]:多媒体、实物投影仪
[教学过程]
一、复习提问(导数定义的引入)
1.什么叫瞬时速度?(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度?
在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在关系()105.69.42
++-=t t t h ,那么我们就会计算任意一段的平
均速度v ,通过平均速度v 来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少? (2)新课
我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ,请同学们完成表格1左边部分,(事先准备好的),再完成表格的右边部分〉
表格1
表格2
0<∆t 时,在[]2,2t ∆+这段时间内
0>∆t 时,在[]t ∆+2,2这段时间内
()()()1
.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=
∆+-∆+-=t t
t t t t h h v ()()()1
.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=
-∆+-∆+=t t
t t t h t h v 当-=∆t 0.01时,-=v 13.051; 当=∆t 0.01时,-=v 13.149; 当-=∆t 0.001时,-=v 13.095 1; 当=∆t 0.001时,-=v 13.104 9; 当-=∆t 0.000 1时,-=v 13.099 51; 当=∆t 0.000 1时,-=v 13.100 49; 当-=∆t 0.000 01时,-=v 13.099 951;
当=∆t 0.000 01时,-=v 13.100 049;
当-=∆t 0.000 001时,-=v 13.099 995 1; 当=∆t 0.000 001时,-=v 13.100 004 9; 。。。。。。
。。。。。。
问题:1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?(表格2) 关于这些数据,下面的判断对吗?
2.当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是t 从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。
3. 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度; 4. 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度; 5. -13.1表示在2秒附近,运动员的速度大约是-13.1s m /。
分析:2=t 秒时有一个确定的速度,2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度,所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理,比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理,因此,运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /。
这样,我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1s m /,现在我们一起回忆一下是如何得到的:
首先,算出[]t ∆+2,2上的平均速度
()()t
h t h ∆-∆+22=1.139.4-∆-t ,接着观察当t ∆趋近
于0时,上式趋近于一个确定的值-13.1,这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便,我们用
()()1.1322lim 0
-=∆-∆+→∆t h t h t 表示“当2=t ,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于确定值-13.1”。
思考:当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势?
结论:当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.
从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便,我们用0(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-”
小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近
似值过渡到瞬时速度的精确值。
3.函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率如何表示? 导数的定义(板书)
函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x
x f x x f x f
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim
0000,
我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()0'
x f 或0|'x x y =,
即()0'
x f
=x
x f x x f x
f
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim
000
。例如:2秒时的瞬时速度可以表示为
()1.132'-=h 或1.13|'2-==t y 。
附注:①导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率;
②定义的变化形式:()x f
'
=x
x x f x f x y
x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim
0000
; ()x f
'
=00)()(lim )(lim
00x x x f x f x y x x x
x --=∆∆→→;()x f '
=x
x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000; 0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000
()()
()lim
x f x f x f x x x ∆→-'=-