3连续时间动态最优化问题

第三讲连续时间动态最优化问题

一、预备知识

动态最优化问题历来是数学家们关注的热点和难点问题。从17世纪末的伯努利，到20世纪50年代的贝尔曼和庞特里亚金，中间经过拉格朗日、欧拉等一大批数学家的努力，才使动态最优化理论日臻完善。20世纪初，在拉姆齐（1928）的工作之后，动态数学技巧才被广泛地引入到经济学中来，目前，这些技巧已是大多数现代经济学家不可或缺的工具。

上一节，我们探讨了离散时间的动态优化问题，介绍了古典的拉格朗日乘数法和比较现代的贝尔曼方程法。本节我们将在连续时间的动态优化问题中，也介绍两种方法，他们是古典的变分法和比较现代的汉密尔顿最大值原理。下面分别介绍这两种方法。

二、连续时间动态最优化问题的描述

例1．索罗（Solow）新古典经济增长模型的一个明显缺陷是把储蓄率看成是外生给定的。事实表明，储蓄率不是常数。为了将储蓄率内生化，堪斯(Cass，1965)和库普曼斯(Koopmans，1965) 利用拉

姆齐(Ramsey, 1928)倡导的最优化方法，将储蓄率看作是由家庭和企业在竞争市场上追求自身利益最大化的结果，以此证明储蓄率是由模型决定的内生变量。

假设经济包含两个部门，家庭和企业，家庭通过提供劳动服务从企业取得工资，通过提供资产获得利息。家庭收入分成消费和储蓄两部分。家庭在预算约束条件下按照消费效用最大化的原则进行消费和投资决策。家庭生命是无限期的。家庭大小与成年人口数量对应，成年人口按给定（外生）不变的速度增长，为方便其见，人口的变化规律由下式确定： nt e t L =)(

这里，假设初期人口数量为1，然后按等比级数递增，n 为人口增长率。

C(t)表示 t 时刻的消费， c(t)=C(t)/L(t)表示人均消费。 消费者问题是： [][]na c ra w a

dt

e e t c u t c U Max t nt t c --+=⋅⋅=⎰∞

- 0

)

()()(ρ

(1)

此处，u(c)是c 的增函数并满足边际效用递减规律，u(c)满足稻田条件：

∞=→)(lim

'0c u c , 0)(lim '=∞

→c u c 即当c 趋于零时，边际效用趋于无穷大，当c 趋于无穷大时，边际效用趋于零。

U[c(t)]表示家庭的总效用; a(t)=A(t)/L(t)表示人均净资产; r(t)表示资产收益率; w(t)表示工资率;

ρ>0表示时间偏好率, 其含义是，时间越久远，效用的贴现值

越少，ρ也叫做主观贴现率。通常假设ρ>n 以保证家庭总效用在消费给定时是有界的1。

最优化问题(1)的另一种表达形式可以将由第二方程求得的消费c 代入到第一个方程获得：

[][][]dt t a

t a t F dt e e a

na ra w u t c U Max t nt t c ⎰⎰∞

∞

-=⋅⋅--+=0

0)

()(),(,))( ρ (2)

这就是目标函数的泛函表示最优化问题转化为：

[][][]dt t a

t a t F dt e e a

na ra w u t a V Max t nt t a ⎰⎰∞

∞

-=⋅⋅--+=0

0)

()(),(,))( ρ

例2． 乔根森（利润最大化）模型

在乔根森的新古典投资理论中，假设企业利用资本K 和劳动L 进行生产，其生产函数具有新古典生产函数),(L K Q Q =形式。新古典生产函数遵循三个假设，即：（1）边际生产力大于零；（2）边际生产力递减；（3）规模报酬不变。P 表示产品价格；M 表示资本品价格；W 表示劳动力的工资；δ表示资本折旧率。则企业的投资与资本的关

1

注：()t t

t

e e

ρρρ+≈

⎪⎭

⎫

⎝⎛=-111, 因此，贴现因子可以写成e 以为底的指数形式，目的是为了便于计算。

系为

K K I δ+'=

在任意时刻企业的净收益为：

)(),(K K M WL L K PQ δ+'--

如果企业贴现率r, 未来净收益的贴现值可表示为：

[][

]

d t

t K t L t K t F dt

e K K M WL L K PQ L K N t ⎰⎰∞

∞

-=-'--=0

'

0)(),(),(,(),(),(ρδ (3)

是目标泛函F 的广义积分。

[][]

d t

t K t L t K t F dt

e K K M WL L K PQ L K V t t L t K ⎰⎰∞

∞

-=-'--=0

'0

)

(),()(),(),(,(),(),(max ρδ

[]K

K I dt

e MI WL L K PQ L K N t δρ+'=--=⎰∞

-0),(),(

该最优化问题还可以写成：

)

()()())(),(),(,(),(max 0,t K t I t K dt

t I t L t K t F L K N L

K δ-='=⎰∞

(4)

一般来说，泛函积分可以表示为两种方式：一种是将泛函积分表示，如（2）和（3）的表示的最优化问题，目标函数是路径及其导数的函数。另一种表示，如（1）和（4）所示，目标函数是控制变量和状态变量的函数，目标函数受转移动态方程的约束。

三、变分法

3．1 变分问题的一般形式