二一般形式的柯西不等式

柯西不等式教学设计
曾辉
三角形式
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示根
向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

一般形式
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

上述不等式等同于图片中的不等式。

推广形式
(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
不小于各列元素之和的几何平均之积。

（应为之积的几何平均之和)
概率论形式
√E(X) √E(Y)≥∣E(XY)∣
二维形式的证明
(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)
=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²－2abcd+b²·c²
=(ac+bd)²+(ad－bc)²
≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明
√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]
证明：[√(a²+b²)+√(c²+d²)]²=a²+b²+c²+d²+2·√(a²+b²)·√(c²+d²)
≥a²+b²+c²+d²+2|ac+bd|
≥a²+b²+c²+d²+2(ac+bd)
=a²+2ac+c²+b²+2bd+d²
=(a+c)²+(b+d)²
两边开根号即得√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]
注：| |表示绝对值。

向量形式的证明
令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m,n>
∵cos<m,n>≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)
注：“√”表示平方根。

一般形式的证明
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
证明：
等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项
等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项
用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证
其中，当且仅当ai : bi = aj : bj(i, j∈[1, n])
推广形式的证明
推广形式为(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)
证明如下
记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*A n)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*A n)]^(1/n)
……
上述m个不等式叠加得
1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…
即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…
即A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
因此，不等式(*)成立.
（注：推广形式即为卡尔松不等式）
代数形式
设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数
则(a1b1+a2b2+...+anbn)①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立。