高等数学第九章
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z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
（二） 平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为
它的底为
于是，
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是，立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一） 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域，
间的关系：
x=rcos , y=rsin ，
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成．
大学高数第九章知识点总结
大学高数第九章知识点总结本章的内容可以分为多元函数的导数、方向导数和全微分、隐函数与参数方程、复合函数的偏导数等四个部分。
下面我将对第九章的主要知识点进行总结和归纳。
一、多元函数的导数1、定义：假设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)附近有定义，当自变量x和y分别以x=x0,y=y0为自变量时，关于z的增量Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)与增量Δx,Δy之间的比值分别为：(1) 当Δx≠0,Δy=0时，称为f对x的偏导数，记为fx(x0, y0)，即f对x的偏导数是指在y=y0时，f对x的导数。
fx(x0, y0)=lim(Δx→0){f(x0+Δx, y0)-f(x0,y0)}/Δx;(2) 当Δx=0,Δy≠0时，称为f对y的偏导数，记为fy(x0, y0)，即f对y的偏导数是指在x=x0时，f对y的导数。
fy(x0, y0)=lim(Δy→0){f(x0, y0+Δy)-f(x0,y0)}/Δy.2、几何意义：函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,f(x0,y0))处沿着x轴、y轴的方向导数。
3、求导法则：多元函数的导数具有以下性质：（1）线性性：若z=f(x,y)可导，则对任何常数α、β，函数αf(x,y)+βg(x,y)也可导，并且有（αf(x,y)+βg(x,y))' = αf'(x,y) + βg'(x,y)；（2）乘积法则：如果z=u(x,y) v(x,y)可导，则z' = u(x,y) v'(x,y) + u'(x,y) v(x,y)；（3）复合函数的求导法则：如果z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都可导，则z' = f_u(x,y) u' +f_v(x,y) v'。
二、方向导数和全微分1、方向导数：函数z=f(x,y)在点P(x0, y0)处沿任一方向l=(α,β)的方向导数是函数f在这一方向上的变化率，其定义为：D_uf(x0,y0)=fa(x0, y0)α+fb(x0,y0)β;2、全微分：若z=f(x,y)在点P(x0, y0)可导，Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)近似等于其全微分：df(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.三、隐函数与参数方程1、隐函数存在定理：若z=f(x,y)在点(x0,y0)邻域内连续且fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在且至少有一个不为0，则z=f(x,y)=0在此点邻域内确定一个连续且具有连续导数的隐函数。
高等数学第9章偏导数全微分
x0
x
则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 或
y y0
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
例如，极限(1)可以表示为
fx (x0 ,
y0 )
lim
x0
f (x0
x, y0 ) x
解
f ( x,1) x 2 ,
df ( x,1) f x ( x,1) dx 2x;
f x (2,1) 4
(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例5
xy
设
f
( x,
y)
x2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解 当( x, y) (0,0)时,
A ( x x )( y y ) xy
y x x y x y
ΔA称为面积函数A=xy的全增量， 由两局部组成：
y x xy Δx，Δy的线性局部
x y 当(Δx,Δy) →(0,0)时，是一个比
( x )2 ( y )2 高阶无穷小。
一、全微分
定义 设函数z f ( x, y )在点(x，y)的某个邻域内 有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内， 如果函 数 z f ( x, y )在点（x，y）的全增量
3 )( x 2 2
y2
5
z2 )2
2x
1 r3
3x2 r5
.
由于函数关于自变量的对称性，所以
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
高等数学-第9章---(方向导数与梯度)
u
1 (6 x 2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n
的方向
z
导数.
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx
故
Pn 4Fx xP,
4, Fy ,
Fy Fz
P
6 y P 6,
4, 6, 2,
Fz P
2z P
2,
n
42 62 22 2 14,
方向余弦为
cos 2 , cos 3 ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例 3 设n 是曲面2 x2 3 y2 z2 6 在点
P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
高数第九章知识点总结
高数第九章知识点总结第九章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
数列和级数是数学中研究数值规律和求和的重要工具，具有广泛的应用价值。
下面将对第九章的知识点进行总结。
一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用一个公式或递推关系来表示。
2. 数列的分类：数列可以分为等差数列和等比数列，其中等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两项之比为常数。
3. 数列的通项公式：对于等差数列，可以通过求出公差和首项来得到通项公式；对于等比数列，可以通过求出公比和首项来得到通项公式。
4. 数列的性质：数列可以进行加法、乘法、递推等运算，可以通过这些性质来研究数列的规律和性质。
二、级数的概念和性质1. 级数的定义：级数是将数列的各项相加所得到的和，可以用求和符号来表示。
2. 部分和数列：级数的部分和数列是指将级数的前n项相加所得到的和，可以用Sn表示。
3. 级数的收敛与发散：如果级数的部分和数列Sn的极限存在，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
4. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列是有界的，且任意两个部分和之间的差值可以任意小。
5. 收敛级数的判定：通过级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法可以判断级数的收敛性。
三、数列和级数的应用1. 数列的应用：数列可以应用于等差数列和等比数列的求和问题，常见的应用有求等差数列和等比数列的前n项和，求解等差数列和等比数列的最大值和最小值等。
2. 级数的应用：级数可以应用于求解无穷级数的和问题，常见的应用有求解几何级数的和，求解幂级数的收敛区间等。
以上就是高数第九章的主要知识点总结。
掌握数列和级数的概念和性质，对于理解高等数学的整体框架和解题思路具有重要作用。
在实际应用中，数列和级数也有广泛的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
因此，我们要认真学习和掌握这些知识点，提高数学素养和解题能力。
高等数学基础第九章
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9.2偏导数—二元函数的偏导数
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9.2偏导数—二元函数的偏导数
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9.2偏导数—高阶偏导数
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9.3全微分—全微分的定义
返回9.3全微分—全微分的 Nhomakorabea义返回
9.3全微分—全微分在近似计算中的应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 复合函数的微分法
返回
9.4复合函数与隐函数的微分法— 复合函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 隐函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.5多元函数的极值
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9.5多元函数的极值－多元函数的最值
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9.5多元函数的极值－条件极值
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高等数学基础
第九章 多元函数微分学
主讲:
多元函数微分学
多元函数的极限与连续性 偏导数 全微分 复合函数与隐函数的微分法 多元函数的极值
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9.1多元函数的极限与连续性—多元函数
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9.1多元函数的极限与连续性—多元函数
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9.1多元函数的极限与连续性— 二元函数的极限
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9.1多元函数的极限与连续性— 二元函数的连续性
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
高等数学-第9章 - (多元复合函数的求导法则)PPT课件
v y
f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 分线相加,连线相乘 : •精选PPT课件
•13
例
设 z xsinx , 求 d z .
dx
解 令 z xy , ysinx, 则
x
dz z z dy dx x y dx
且作微分运算的结果对自变量的微分 d,xd,yd,z
来说是线性的，从而为解题带来很多方便，而 且也不易出错。
•精选PPT课件
•25
例 设 zeusinv, uxy, vxy,
应用全微分形式不变性求 z ， z 。 x y
解
dzzduzdv u v
与
dz
z d x z d y 比较, 得 x y
eusivn (ydxxdy)eucov(sdxdy)
e x[y ysix n y ) (co x y s)d (]x
e x[y xsix n y ) (co x y s)d (]y
z exy[ y sin( x y) cos(x y)] x
•精选PPT课件
•26
例
设 zeusinv, uxy, vxy,
•精选PPT课件
•3
• 第九章 多元函数微分学
▫ 9.1 多元函数的基本概念 ▫ 9.2 偏导数 ▫ 9.3 全微分 ▫ 9.4 多元复合函数的求导法则 ▫ 9.5 隐函数的求导公式 ▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用 ▫ 9.7 方向导数与梯度 ▫ 9.8 多元函数的极值 ▫ 9.9 综合例题
w , f1 , f2
解: 令u x y z , v xyz , 则
高等数学第九章第八节多元函数的极值及其求法课件.ppt
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10 2
设拉格朗日函数 F (x 3y 10)2 (1 x2 y2 )
94
2(x 3y 10) 2 x 0
9
解方程组
6(x 3y 10) 2 y 0
4 1 x2 y2 0
94
得驻点 x
3 ,y 5
4 , 对应面积 5
S 1.646
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
而 SD 2, SE 3.5, 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大.
Ex: 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则 x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
存在
高等数学第九章习题答案
高等数学第九章习题答案高等数学第九章习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，涵盖了广泛的数学知识和技巧。
第九章是高等数学中的一个重要章节，主要涉及到微分方程和级数。
本文将为大家提供高等数学第九章习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解微分方程dy/dx = 2xy。
首先，我们可以将该微分方程转化为变量分离的形式。
将dy/dx移项得到dy/y = 2xdx。
对两边同时积分，得到ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。
再对等式两边取指数，得到|y| = e^(x^2 + C)。
由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到y = ±e^(x^2 + C)。
因此，该微分方程的通解为y = Ce^(x^2)，其中C为任意常数。
2. 求解微分方程dy/dx = y^2 - 1。
同样地，我们将该微分方程转化为变量分离的形式。
将dy/dx移项得到dy/(y^2 - 1) = dx。
对两边同时积分，得到∫(1/(y^2 - 1))dy = ∫dx。
对左边的积分进行分解，得到∫(1/[(y+1)(y-1)])dy = ∫dx。
通过部分分式的方法，我们可以将左边的积分化简为∫[(1/2)/(y-1) - (1/2)/(y+1)]dy = ∫dx。
继续进行积分，得到(1/2)ln|y-1| - (1/2)ln|y+1| = x + C，其中C为常数。
再对等式两边取指数，得到|y-1|/|y+1| = e^(2x+2C)。
由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到(y-1)/(y+1) = e^(2x+2C)。
进一步化简得到y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))。
因此，该微分方程的通解为y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))，其中C为任意常数。
3. 求解级数∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2]。
首先，我们可以对级数进行变形，得到∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2] = ∑(n=1到∞) [1/n - 1/n^2]。
高等数学-第九章 三重积分及应用
( R > 0 )的公共部分.
D 2z
z R
R
2
提示: 被积函数缺 x , y
D1z
o x
y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1z
R R
z2 dz
2
dxdy
D2z
0R2z2(2Rzz2)dzR R2z2(R2z2)dz
59 R5
480
3、柱坐标代换
14dz (x2y2)dxdy 21 D z
1 21 4dz0 2d02zr3dr21
4
1
Dz
oy x
小结：
重积分计算的基本方法 —— 累次积分法 1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法
x2 y2
11
x2 y2
原式 dxdy z dz d x d y z d z
Dxy
0
1 x 2
0
2、 截面法 (“先重后单” “先二后一”)
z { ( x ,y ,z ) |a z b ,( x ,y ) D z }b
f(x,y,z)dv
b
z a
adzD Zf(x,y,z)dxdy
x
适用范围：
Dz
y
积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;
在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求
例(截面法): 计算积分 z2dxdydz, 其中是两个球
x2y2z2R2及 x2y2z22R z
高等数学第九章第七节方向导数与梯度课件.ppt
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
思考与练习
1. 设函数
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
高等数学下册第九章课件.ppt
f x, y A
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
高等数学第九章第三节全微分课件.ppt
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
3. 已知 答案:
Ex:
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy
x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
3. 已知 答案:
Ex:
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy
x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
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虚数单位
无穷大，如1/0 0/0，inf/inf不
定值的结果
MATLAB赋值语句的一般格式为：变量=表达式。
在指令窗口，当某一语句输入完成后，按回车键，计算机就 执行该指令。如果该语句的最后没输入其他符号或输入了逗号， 将显示结果；如果句末输入了分号，将不显示结果；如果语句中 省略了变量和等号，那么计算机将结果赋值给预定义变量ans。
(3)如果一个是标量，另一个是矩阵,那么按标量的运算法则 把标量与矩阵的每个元素逐一比较，最终输出结果为一个与原矩 阵同维的矩阵,它的元素由0或1组成。
4. MATLAB 逻辑运算
MATLAB提供了3种逻辑运算符:&(与)、∣(或)、~(非)。 逻辑运算符的运算法则如下：
(1)参与逻辑运算的量称为逻辑量,非零逻辑量为“真”，用1表示； 零逻辑量为“假”，用0表示。
A=[ 1 2 3；4 5 6；7 8 9 ]
%采用逐个元素输入法构造矩阵
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
这样在工作空间就建立了一个矩阵A。
在MATLAB中冒号是一个重要的运算符，利用它可以通过 “步长”设定，生成行向量。冒号生成法的格式是：
x=a : inc : b
其中a，b分别为初始值和终止值，inc为步长。冒号生成法可
(3)两个同维数的矩阵A，B的乘方“A.^B”表示两矩阵对 应元素进行乘方运算。
例如： X=[1 ,2 ,3]； Y=[2 ,3 ,4]； Z=X.^Y 输出：Z=1 8 81
点运算是MATLAB很有特色的运算符，在本节的绘图实验中 有很重要的应用，下面再通过一组命令来加深理解点运算。
x=0:0.2:1； y=sin(x).* x.^2 0.8，1处的函数值 输出：y=0 0.0079
含选项的plot函数调用格式为
plot(x1，y1，选项1，x2，y2，选项2，…，xn，yn，选项n)
例9.1.3 在同一坐标系中绘制 y excosx 和 y 10e0.5xsin 2x
05 0 00 9
(2)两个同维数的矩阵A，B的除法“A./B”或“B.\A”的运 算结果相同，表示A 矩阵除以B矩阵的对应元素。
例如： A=[1 , 2 , 3 ; 4 , 5 , 6 ; 7 , 8 , 9]； B=[1 , 3 , 2 ; 3 , 2 , 1 ; 2 , 3 , 1]； C=A./B 输出：C= 1.0000 0.6667 1.5000 1.3333 2.5000 6.0000 3.5000 2.6667 9.0000
图9-1
MATLAB集成环境的上层铺放着4个最常用的界面：指令 窗口(CommandWindow)、历史指令(CommandHistory)窗口、工 作空间(Workspace)窗口和当前目录(CurrentDirectory)窗口。此 外，在MATLAB主窗口的左下角还有一个“开始(Start)”按钮。
(2)如果参与逻辑运算的两个量 a，b 都是标量，那么：
a & b 当a 与b 全为非零时，运算结果为“1”，否则为“0”。
a | b a 与b 中只要有一个非零，运算结果为“1”，否则为“0”。
~a
当a 是零时，运算结果为“1”，否则为“0”。
(3)如果参与逻辑运算的两个量 a，b 是相同维数的矩阵，那么 就按标量的运算法则，对a，b 的对应元素进行运算，最后的输出结 果为一个与 a (或 b )同维的矩阵，它的元素由0或1组成。
以产生一个以a开始到b结束，以步长inc自增的行向量。例如:
x=0 : 0.1 : 10
%冒号生成法生成的行向量
MATLAB中还可以用 linspace 函数产生行向量，称为定数线 性采样法。该法是在设定“总点数”下，均匀采样产生行向量。 定数线性采样法的格式是：
x= linspace (a, b, n) 其中a，b分别是生成向量的第一个和最后一个元素，n是采样总数。
plot(x1，y1，x2，y2，…，xn，yn)：作出多组数据折线图， 把多条曲线画在同一坐标系下。
例9.1.2 在 0<x „ 区域内，绘制曲线 y sin 。 x
解
程序如下：
x = linspace(0，1，100000)； %定数采样法生成行向量
y = sin(1./x)；
%矩阵元素运算需要加“.”
9.1.2 MATLAB操作界面
在 Windows桌面，单击“开始”菜单选择“程序”菜单项 命令,然后选择“MATLAB”程序选项，可以启动MATLAB系统； 或单击Windows桌面快捷方式图标也可以打开MATLAB集成环境， 如图 9-1所示。要退出MATLAB，可以单击主窗口右上角的关闭 按钮，或直接在指令窗口输入Exit或Quit命令，也可以在主窗口 File菜单中选择ExitMATLAB命令。
例如：
x= linspace (0, 2*pi, 10)
%定数采样法生成行向量
x= Columns 1 0 Columns 6 3.4907
through 5 0.6981 1.3963
through 10 4.1888 4.8869
2.0944 5.5851
2.7925 6.2832
9.1.4 MATLAB数据运算
模运算 向零方向取整
不大于自变量的 最大整数 不小于自变量的 最小整数 四舍五入到最邻 近的整数
符号函数 最大公因子 最小公倍数
例如，要计算y sin ，可直接在指令窗口输入y=sin(pi/6)，得 6
y=0.5000。
如果我们输入：x= linspace (0 , 2*pi , 4)；
y= sin(x)
含义 反双曲正切函数
平方根函数 自然对数函数 常用对数函数
log2 以2为底对数函数
exp
自然指数函数
pow2
abs angle real imag
2的幂
绝对值函数 相角(弧度) 复数的实部 复数的虚部
函数名 conj rem mod fix floor
ceil
round sign ged lcm
含义 复数共轭运算 求余数或模运算
工作空间窗口是MATLAB集成环境的重要组成部分,该窗口 用于显示工作空间中所有变量的名称、取值和变量类型说明，可 对变量进行观察、编辑、保存和删除。
学会使用help命令是学习MATLAB的有效方法，在指令窗口 输入help命令并回车可以出现在线帮助总览。例如，要想知道 MATLAB中数学函数sin的用法，可以在指令窗口输入“helpsin” 并回车即可，如图9-1中指令窗口所示。
颜 符号 b
g
r
色 含义 蓝 绿
红
c
m
y
kw
青 品红
黄
黑白
符号 . 。
x
+
*
标 含义 点 圆圈 叉号 加号 星号 记
符 符号 s d
v
^
<
号
含义
方块 符
菱形 符
朝下三 角符
朝上三 角符
朝左三 角符
>
朝右三 角符
ph
五角 六角 星符 星符
每一个线型、颜色和数据点标记符号都可以单独使用，也可 以组合使用。
1.MATLAB基本算术运算 MATLAB的基本算术运算符如表9-2所示。
运算符
+(加) -(减) *(乘)
表9-2
MATLAB表达 式
运算符
A+B
/(右除)
A-B
\(左除)
A*B
^(幂)
MATLAB表达 式
A/B
A\B A^n
MATLAB提供了许多数学函数，可以通过help查询。表9-3列 出了一些常用的数学函数。
9.1.3 MATLAB变量与操作
在MATLAB中，变量由字母、数字和下划线组成。第一个字 符必须是字母，并区分大小写。表9-1是MATLAB中常用的系统 预定义变量。
表9-1
预定义变量
ans eps pi
含义
计算结果默认 赋值变量
机器零阈值
圆周率π
预定义变量
含义
i或j inf或lnf NaN或nan
%分别计算出x在0，0.2，0.4，0.6， 0.0623 0.2033 0.4591 0.8415
3. MATLAB关系运算
在程序流控制中，逻辑推理都需要对一类是非问题作出“是 真，是假”的回答。为此，MATLAB提供了6种关系运算符。如 表9-4所示。
表9-4Βιβλιοθήκη 运算符含义运算符
含义
<
小于
>=
大于等于
<=
小于等于
==
等于
>
大于
~=
不等于
关系运算符的运算法则如下： (1)当两个标量进行比较时，直接比较两数的大小。若关系式 成立，输出值为1；否则输出值为0。
(2)如果两个比较量是相同维数的矩阵，那么就按标量的运算 法则，对两个标量的对应元素进行运算，最终输出结果为一个维 数与原矩阵同维的矩阵，它的元素由0或1组成。
第9章 数学实验
本章内容
1函数与绘图实验 2函数极限实验 3函数求导及导数应用实验 4积分实验 5常微分方程实验
9.1 函数与绘图实验
9.1.1 实验目的
了解MATLAB操作界面，熟悉MATLAB变量与操作， 掌握MATLAB数值运算，掌握MATLAB绘图命令绘制二维及 三维图形，掌握绘制图形的辅助操作。
(4)如果参与逻辑运算的 a 是标量、b 是数组，那么就按标量 的运算法则，将a 与 b 的每个元素进行运算，最后的输出结果为 一个与 b 同维的矩阵，它的元素由0或1组成。
(5)逻辑“非”是一个一元运算符，也服从矩阵运算规则。