主成分进行综合评价 综合评价主成分分析方法与因子分析方法的比较

主成分进行综合评价综合评价主成分分析方法

与因子分析方法的比较

统计研究

主成分分析方法和因子分析方法都是寻求从高维空间到低维空间的映射的方法，其目的是起到降维的效果，以便于用几个较少的综合指标来综合所研究总体各方面的信息，且这几个指标所代表的信息不重叠，也就是说从高维空间到低维空间的映射仍保持高维空间的“序”的结构。但这两种综合评价方法往往易混淆，本文从这两种方法的统计依据、数学模型、计算方法、综合指标的选取等方面比较它们的异同，以供初学者参考。

１、统计依据不同。主成分分析方法的统计问题：依Ｐ个指标戈ｌ，ｘ２，Ａ，戈Ｐ的／７，个观察值矩阵Ｘ＝Ｇ０帅，能否找到能较好地综合反映这个Ｐ

、二

指标的线性函数Ｙ＝乞ａｔｘｔ，即

ｉ＝１

找到这个主成分的方法就是主成分分析方法。

因子分析方法的统计问题仍

口由Ｐ个指标戈。，戈：，Ａ，却的几个观钱道察信息阵Ｘ＝ＧＦ）忡，用有限个不翠

可观测的潜在变量来解释原始变量间的相关性或协方差关系，寻求这几个公因子的方法就是因子缉含汗价士气分析劣珐乡图分奸劣珐的火仪

分析法。它的原理源于已知信息的指标向量戈＝０。，戈：，Ａ，菇Ｐ）’，总存在正交变换戈＝Ｑｙ使得记ｘ＝Ａｚ，这里正交阵Ｑ是Ｘ＝Ｇ０。巾的

协方差阵ｙ的特征向量排成的，ｙ的各分量是不相关的，若茹的方差集中在少数几个变量三，，Ａ，缸上，即ｙ的特征值Ａ，，Ａ，Ａ。较大，后几个特征值Ａ㈨，Ａ，Ａ。很小几乎为零，于是就有因子模型算＝４厂＋ｓ。寻求公因子、厂及因子载荷阵Ａ的方法就是因子分析法。

，

２、数学模型不同。主成分分析的数学模型：Ｙ＝Ｅａｔ、、ｒｉ，

１＝１

即主成分是原始指标的线性函数。因子分析的数学模型：戈＝４厂＋￡，Ａ为因子载荷阵。厂为公因子向量，￡为随机误差项，Ｖｎｒｏｑ＝Ｉ。，Ｖａｒ＝ｏ，Ｖａｒ

Ｉ３０圈羹堑绻过丝Ｑ丝生皇塑万

方数据＝Ｄ。从形式上看二者的模型不同，但主成分分析又为因子分析中因子的寻求提供了一个有效的途径。主成分分析与因子分析法最易混淆的地方在于，将主成分分析方法与因子分析

方法中估计公因子及因子载荷阵的主分量法混为一谈。求解因子模型的方法有多种，也就是说因子模型的解不惟一，主分量法仅仅是其中的一种参数估计方法。

３、计算方法不同。因子分析的主分量法：为估计

模型石气伊￡的Ａ及、厂＇设样本协方差阵ｙ的特征值为

Ａ１＞－－Ａ：≥Ａ≥Ａ，≥０，相应的特征向量为ｅ，，ｅ２，Ａ，ｅ，，若前

ｏ、

个特征值的和与总方差上４的比大于，则

ｌｏＩ

ＶｚＡｇｌｅ：＋人＋丸已。ｅｍ７＋Ｄ

ｆ√五彳１ｆ《

１

＝，砰＝％一∑彳，，

ｔ＝ｌ

由这种方法得到因子模型的一个解Ａ及Ｄ就是因子模型的主分量解。因子载荷阵Ａ中的第Ｊ列的元素与

Ｄ

主成分分析中第，个主成分乃＝∑唧＾的系数啕仅相差

ｒ－

Ｉｄ

√＾倍，因子分析的主分量解也是因此而得名。因子

载荷阵Ａ，舻＝ｂ２１怕刍＋Ａ，坛＋研，即

ｂ；反映了因子、五载荷了施的方差的量。故我们在求

解因子模型时，可将因子作旋转，使因子载荷阵中每一行的值尽可能两极化，使其因子更具实际意义，这样就有了因子旋转的方法求解因

子模型。石＝Ａｐ８＝ＡＰｌ盼８，令ｇ＝可，Ｂ＝ＡＰｌ，则髫＝

则为斜交变换。曰为因子模型的又一解。

４、综合评价的指标不同。因子得分是公因子的估归分析中的参数估计，因为公因子是潜在因素，事先无法度量和观察的。有了因子得分，它们的加权组合就得到综合评价指标Ｅ。即、ｆ个因子的得分为向量

《旁

丑、

，∑一

羔Ａ。。

盼￡，若Ｐ为正交阵，则上述变换ｇ＝可为正交变换，否

计值。可用最小二乘回归的方法估计，但它又不同于回

统计研究

出相应的研究结果。

“旧房房价收入比”是指某一整体内上市旧房上市交易的平均价格与居民家庭户均收入的比例，这一指标与新房房价收入比

对照，可用于评估该整体内的旧房折旧程度，也可以比较居民家庭对新旧住房的需求情况，从而得出研究结果。

在计算新房房价收入比与旧房房价收入比基础上，再按上市住房总蜃中新房所占的比例和旧房所占的比例作为新房房价收入比和旧房房价收入比的权重，加权计算整体房价收入比，公式为：房价收入比＝∑新房房价收入比×新房占上市住房的比例。

三、按照居民是否拥有自有住房细分计算房价收入比

目前，我国大多数城市居民家庭拥有自有住房。他们如要进入市场，绝大多数是卖掉原有住房，再去买大些好些的住房，以改善居住条件。对于拥有住房的家庭户，购买新建商品房，其住房消费承受能力不能按新建商品房销售价格与家庭收入的比较来衡量。因为这部分居民可以通过销售自有住房所得来支付购买新建商品房房款÷’，也可以出租自有住房所得来支付银行按揭购房的按揭款。如果考虑这一因素，对这一部分居民家庭购房的房价收入比可以按以下公式计算：有房户房价收入比＝÷拥有自有住房居民家庭户均收入。

计算公式的这一改变对房价收入比的计算方法起到了补充和扩展作用，因为它考虑了我国经济发展水平和多数居民拥有自有住房的特点，能够较好的衡量城市居民购买住房的实际承受能力。这一公式计算结果会降低某一区域的房价收入比指标值，在政策与舆论导向上会提高居民购房的心理承受能力。实际上，我国大多数城市房地产业发展很快，房价涨幅较高，主要因素是居

民的住房消费需求大于住房供给的结果。城市中，除了最低收入者外，大多数拥有住房的家庭，都具有一定的购买更大更好住房的能力或是具有置换住房的能力。

上

对于没有住房的居民家庭，情况也不一样，大体可以分为三类：第一类是自身有较高收入或可以得到家庭支持的无房户，实际上有较高的购房能力；第二类是中等收入者无房户，其中年轻人占的比重最大，政府应鼓励他们购房，用人单位给予一定的补贴；第三类是低收人者无房户，应通过政府的廉租屋政策来解决居住问题，不参加买方行列，使他们能享受政府福利，享受改革开放的成果。对第一类与第二类无房户，房价收入比可以按市场平均房价与它们的平均收入之比计算。

在分别计算有房户与无房户的房价收入比基础上，同样也可以用有房户和无房户占总家庭户数的比例作为它们各自房价收入比的权重，计算某地区的综合房价收入比，公式为：房价收入比＝∑有房户的房价收入比×有房户家庭户数占总家庭房数的比例。

总之，为了正确的衡量广大居民住房消费的能力，制定科学合理的政策，引导房地产市场的健康发展，需要不断的深化研究房价收入比的计算方法。前面介绍的房价收入比指标从不同的角度反映居民住房消费承受能力，而且每种角度计算都会使得整体的房价收入比指标值比现行计算的房价收入比指标值要小，也就