函数的基本性质单调性与最大(小)值

1.3 函数的基本性质

1.3.1. 单调性与最大（小）值

知识结构梳理: 一、知识点扫描

1.一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都有1()f x 2()f x ，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数.

2. 一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都有1()f x 2()f x ，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.

3.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有 ，区间M 称 .

4.在单调区间上，增函数的图象是 ，减函数的图象是 .

5.一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的

x I ∈，都有()f x m ≥.（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =.那么称m 是函数()f x 的

最小值. 一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的

x I ∈，都有 .（2）存在0x I ∈，使得 .那么称m 是函数()f x 的最大值.

6.如果函数()f x 在定义域内某个闭区间[],a b 上递增，那么函数在闭区间[],a b 的最大值是 ，最小值是 .

如果函数()f x 在定义域内某个闭区间[],a b 上递减，那么函数在闭区间[],a b 的最大值是 ，最小值是 .

二、要点点拨

1.应用定义证明（判断）单调性的步骤是：取值－作差－变形－定号－判断.

2.复合函数单调性的判断： （1）求出复合函数的定义域.

（2）将复合函数分解为若干个常见的基本函数，分别判断其单调性. （3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围. (4)根据复合函数的单调性规律判断其单调性：

对于函数()y f u =和()u g x =，如果()u g x =在区间(),a b 上是具有单调性，当(),x a b ∈时，(),u m n ∈且()y f u =在区间(),m n 上区间也具有单调性，则

复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性：

典型例题解析:

例1.下列命题正确的是（ ）

A. 定义在(),a b 上的函数()y f x =，若存在12,x x (),a b ∈，使得12x x <时，有12()()f x f x <，那么()y f x =在(),a b 上为增函数.

B. 定义在(),a b 上的函数()y f x =，若有无穷多对12,x x (),a b ∈，使得12x x < 时，有12()()f x f x <，那么()y f x =在(),a b 上为增函数.

C. 若()y f x =在区间1I 上为减函数，在区间2I 上也为减函数，那么()y f x = 在

12I I 上也一定为减函数.

D. 若()y f x =在区间I 上为增函数且12()()f x f x <（12,x x I ∈）,那么

12x x <.

思维分析：根据单调性定义逐一判断，特别注意定义中“任意”“都有”表达的含意. 解：A 错误，12,x x 只是区间(),a b 上的两个值，不具有任意性；B 错误，无穷并不代表所有，任意；C 错误，例如函数1

1

y x =

-在()1,+∞和(),1-∞上分别递减，但不能说1

1

y x =

-在()(),11,-∞+∞ 上递减；D 正确，符合单调性的定义.故答案为D. 方法点拨:函数单调性的定义是作此类题的依据. 变式训练：

1. 如果函数()y f x =在[],a b 上是增函数，对于任意的[]1212,,()x x a b x x ∈≠，下列结论中不正确的是（ ） A.

1212

()()

0f x f x x x ->- B. []1212()()()0x x f x f x -->

C. 12()()()()f a f x f x f b <<<

D.

12

120()()

x x f x f x ->-

例 2.定义在R 上的函数()y f x =对任意两个不等的实数,a b ，总有

()()

0f a f b a b

->-成立，则必有（ ）

A.函数()y f x =是先增后减函数

B.函数()y f x =是先减后增函数

C. ()y f x =在R 上是增函数

D. ()y f x =在R 上是减函数 思维分析：从条件

()()

0f a f b a b

->-分析,a b 的大小与()f a 、()f b 大小的联系.

解： 当a b >时，()()0f a f b ->，()(),f a f b ∴>故()y f x =为增函数； 当a b <时，()()0f a f b -<，()(),f a f b ∴<故()y f x =为增函数.故答案为C. 方法点拨：12,x x 的三个特征一定要予以重视.函数的单调性定义中12,x x 一任意性、二有大小、三是同属一个单调区间，三者缺一不可. 变式训练：

2.若函数()y f x =是在区间(],a b 上的增函数，也是区间[],b c 上的增函数，则函数()y f x =在区间(),a c 上（ ）

A.必是增函数

B.必是减函数

C. 不是增函数也不是减函数

D.可能是增函数也可能是减函数

例3. 证明函数1

()f x x x =+

在()0,1上是减函数. 思维分析：证明1

()f x x x

=+为减函数，即在121x x 0<<<前提下，证明

12()()f x f x >.

解：设121x x 0<<<，则212121

11()()()()f x f x x x x x -=+

-+ 1221212121212121

()(1)

1()()1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---=-+

=--= ⎪⎝⎭ 已知121x x 0<<<，则212110,()()0.x x f x f x -<-<

即12()()f x f x >.即1

()f x x x

=+在()0,1上是减函数. 方法点拨：我们可以用同样的方法证明1

()f x x x

=+在()0,1上和[)1,0-分别是减函数.

但根据1

()f x x x =+的图象可以看到函数在()[)0,11,0- 上并不是单调递减的.今

后，遇到形如(0)p

y x p x

=+>的函数可以类似考虑.

变式训练：