湘教版九年级上册数学正弦和余弦

3 2
2
1 2
2
1
考虑
对于任意角α是不是总有
sin2 cos2 1.
探究
sin2 cos2 1(0＜＜90)
设是任意一锐角，求证sin2 cos2 1.
分析：构造一直角三角形
证明： Q sin a , cos b ,
c
c
sin 2
a2 c2
, cos2
b
c
Ca B
复习回顾
特殊角（30°，45 °，60 °）的正弦值与余弦值
30° 45° 60°
1
sin
2
3
22
2
cos 3
21
222
点拨：特殊角（30°，45 °，60 °）的正弦值与余弦值的记忆方法：
（1）借助几何图形；
（2）从数的变化去理解记忆；
3 ①正弦值：
分母都为2，分子由 1 ，增大到 2 ，再增大到
(3)
sin 300
cos 600
sin 600 cos 450 sin 450 cos 300
拓展练习
6、(提高题)：如图所示，已知VABC，B 900, C 300,点D是BC的中点，求DAC的正弦值。
A E
B
D
C
布置作业
1、计算：
(1)1 sin 600 2 sin 450 2 cos 450 gsin 300
。
3 ②余弦值：
分母都为2，分子由
，减小到 2 ，再减小到 1 。
发现：（1）锐角 的正弦值随着 的增大而增大， （2）锐角 的余弦值随着 的增大而减小。
复习回顾
互余两锐角的正弦值与余弦值的关系
对于任意锐角α，有
cos＝sin 90- ，
任意锐角的余弦值等于 它的余角的正弦值；
sin＝cos90 ． 任意锐角的正弦值等于
（１）sin2 30 cos2 30; （２） sin2 45 cos2 45;
（３） sin2 60 cos2 60.
解 （１）sin2 30 cos （２） sin2 45 cos2
2 30
45
1 2
2 2
2 2
2
3
2 2 2
2
1 1
（３）sin
2
60
cos2
60
b2 c2
,
A
sin 2
a2 c2
, cos2
b2 c2
,
sin 2 cos2
a2 c2
b2 c2
a2 b2 c2
,
又在RtVABC中，C＝90,
由勾股定理，得
a2 b2 c2
sin 2 cos2 a2 b2 c2 1.
c2
c2
B c
a
bC
做一做
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=5，
8
8
C
A
3 ．求下列各式的值．
（１） sin 30gcos 30,
（２） sin 60gcos 60,
（３） sin 45gcos 45.
解 （１）sin 30gcos 30 1 g 3 3 . 22 4
（２） sin 60gcos 60 3 g1 3 . 22 4
（３）sin 45gcos 45 2 g 2 1 . 22 2
拓展练习
1、已知三角形ABC中，C＝90,sin A 1 , 3
a 2,求 cos A,b, c的值.
拓展练习
2、已知三角形ABC中，C＝90, a : b 2 : 3, 求A的正弦与余弦值.
拓展练习
3、已知等腰三角形ABC中，AB＝AC=10cm, BC 12cm,求sin A ,cos A的值.
（4）已知sin67º18’=0.9225,求cos 2_2__º_4_2_’=0.9225。
巩固练习
(1)已知 900，
若sin =0.4321,则cos = 0.4321
(2)若0＜A＜45, cos(45 A) 1 ，
则sin(45 A) 1
2
2
利用互余关系实现互化
课前练习
求下列各式的值
2
2
(2) 8 2( 2012)0 4sin 450 (1)3 (1)1
布置作业
2、如图，在RtVABC中，C 900,sin B 3 , 5
点D在BC边上，且ADC 450, AC 6,
求sin BAD的值.
A
E
B
D
C
布置作业
3、如图，在RtVABC中，C 900, AD BD,
B 150, AC 2 3,
求BC的值.
A
C
D
B
(90°﹣ α)的诱导公式 它的余角的余弦值；
同一个锐角的正弦值与余弦值的关系
sin2 cos2 1(0＜＜90)
例题讲解： (1) 已知sinA= 1 且∠B=90º—∠A,求cosB;
2
(2) 已知sin35º=0.5736,求cos55º;
(3) 已知cos47º6’=0.6807,求sin42º54’.
22
拓展练习
4、计算：
(1)2cos450 sin 600 2
(2) 2gsin 45O 1 cos 300 2
(3)
1
1
sin 600 cos 450 sin 450 cos 300
拓展练习
5、计算：
(1)cos300 1 (sin 450 cos450 ) 1 2
(2)cos450 gcos 30O sin 450 gsin 300
复习回顾 正弦的定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即: sin
角的对边
斜边
.
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB ＝c, AC ＝b, BC ＝a. A
则
sinA ＝
BC a AB c
sinB ＝ AC b AB c
b
c
sin 的取值范围 0＜sin ＜（ 1 0＜＜90）
Ca B
复习回顾 余弦的定义
在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α
的余弦， 记作 cos，
即:
cos
角的邻边
斜边
.
A
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB ＝c, AC ＝b, BC ＝a.
则 cos A AC b AB c
cos B BC a AB c
cos 的取值范围 0＜cos＜（ 1 0＜＜90）
AB=6．求 sin A ，sin B 的值．
B
答案：
sin A 5 , sin B 11
5
6
6
C
6 A

2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=7，B=8．求
cos A, cos B, sin A，sin B 的值．
B
答案：
cos A
15 ,
8
cos B 7 , 8
7
8
sin A 7 , sin B 15 .