平面向量的基本定理及其坐标表示 ppt课件
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(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy) ；
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 ．
高考测点典例研习
平面向量基本定理的应用
例1 [2012·泰州模拟]在△AOB 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD与BC 交于点M，设O→A＝a，O→B＝b，以a，b为基底表示O→M.
2
而C→M＝O→M－O→C＝(m－14)a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a， ∵C、M、B三点共线， ∴m－－1414＝n1，即4m＋n＝1. 联立m4m＋＋2nn＝ ＝11得mn＝＝3717，所以O→M＝17a＋37b.
[规律总结] 平面向量基本定理表明，平面内任意一 个向量都可以用一组基底唯一的表示，也就是利用已知 向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．具体问题 中可结合图形进行思考、分析转化．
∵A→H与A→F共线且a、b不共线，
∴λ1 ＝1－112λ，∴λ＝25，
2 ∴A→H＝25a＋45b.
向量坐标的基本运算
例2
已知点A(－1，2)，B(2，8)以及
A→C
＝
1 3
A→B
，
D→A＝－13B→A，求点C、D的坐标和C→D的坐标．
[思路点拨] 根据题意可设出点C、D的坐标，然
后利用已知的两个关系式，得到方程组，求出坐标．
(4)规定： ①相等的向量坐标相相同同，坐标相相同同的向量是相等的 向量； ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终 点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．
3. 平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y11±±yy22))； (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝(x2－x1，y2－y11)；
思考：4. [2012·黄冈]在平行四边形ABCD
中，E、F分别是BC、CD的中点，DE
交AF于H，记 A→B 、 B→C 分别为a、b，
则A→H＝( )
A. 25a－45b
B. 25a＋Fra Baidu bibliotek5b
C. －25a＋45b
D. －25a－45b
答案：B
解析：A→F＝b＋12a，D→E＝a－12b，设D→H＝λD→E，则 D→H＝λa－12λb，∴A→H＝A→D＋D→H＝λa＋(1－12λ)b，
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■
1. 平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2， 使a＝λ1e1＋λ22e22．其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底．
2. 平面向量的坐标表示 (1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作 O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b 的夹角，当θ＝00°°或180°时，两向量共线，当θ＝90°时，两 向量垂直．
[变式探究3] [2012·衡中调研]已知向量a＝(3cos
α，2)，b＝(3，4sinα)，且a∥b，则锐角α等于______． π
答案： 4
解析：依题意，12cosαsinα－6＝0，sin2α π
＝1，α为锐角，所以α＝ 4 .
课堂小结
1. 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行 四边形法则，将向量进行分解．
(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向 量正交分解． (3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取 与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平 面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi ＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫 做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的 坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
第四章
第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示
考纲传真： 1. 了解平面向量的基本定理及其意义． 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
请注意！ 平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加 法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量 数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也 是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和 数形结合的思想方法．
[思路点拨] 可以用平面向量基本定理设出 O→M ＝ ma＋nb，然后用共线向量的条件列出方程组，确定 m、n的值．
[解] 设O→M＝ma＋nb(m、n∈R)，则 A→M＝O→M－O→A＝(m－1)a＋nb，
A→D＝O→D－O→A＝12b－a， ∵A、M、D三点共线， ∴m－－11＝n1，即m＋2n＝1.
[规律总结] 向量的起、终点坐标、向量坐标可“知 二求一”，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通 过列方程组求解．向量坐标的概念其实质是平面向量基本 定理的具体运用．随着学习的深入对此应有一个深刻的认 识．
平面向量共线的坐标表示
例 3 [2011·北京]已知向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－1)， c＝(k， 3)．若 a－2b 与 c 共线，则 k＝________．
[思路点拨] a－2b 与 c 共线⇒关于 k 的方程⇒k 的值．
[解析] a－2b＝( 3 ，3)，根据a－2b与c共线， 得3k＝ 3× 3，解得k＝1.
[答案] 1
[规律总结] 向量共线的坐标表示既可以判定两向量 平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零 时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
[解] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3，6)， D→A＝(－1－x2，2－y2)，B→A＝(－3，－6)． 因为A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，
所以有xy11－＋21＝＝21，和－2－1－y2＝x22＝1. 解得xy11＝＝40，和xy22＝＝0－2. 所以点C、D的坐标分别是(0，4)、(－2，0)， 从而C→D＝(－2，－4)．
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 ．
高考测点典例研习
平面向量基本定理的应用
例1 [2012·泰州模拟]在△AOB 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD与BC 交于点M，设O→A＝a，O→B＝b，以a，b为基底表示O→M.
2
而C→M＝O→M－O→C＝(m－14)a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a， ∵C、M、B三点共线， ∴m－－1414＝n1，即4m＋n＝1. 联立m4m＋＋2nn＝ ＝11得mn＝＝3717，所以O→M＝17a＋37b.
[规律总结] 平面向量基本定理表明，平面内任意一 个向量都可以用一组基底唯一的表示，也就是利用已知 向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．具体问题 中可结合图形进行思考、分析转化．
∵A→H与A→F共线且a、b不共线，
∴λ1 ＝1－112λ，∴λ＝25，
2 ∴A→H＝25a＋45b.
向量坐标的基本运算
例2
已知点A(－1，2)，B(2，8)以及
A→C
＝
1 3
A→B
，
D→A＝－13B→A，求点C、D的坐标和C→D的坐标．
[思路点拨] 根据题意可设出点C、D的坐标，然
后利用已知的两个关系式，得到方程组，求出坐标．
(4)规定： ①相等的向量坐标相相同同，坐标相相同同的向量是相等的 向量； ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终 点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．
3. 平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y11±±yy22))； (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝(x2－x1，y2－y11)；
思考：4. [2012·黄冈]在平行四边形ABCD
中，E、F分别是BC、CD的中点，DE
交AF于H，记 A→B 、 B→C 分别为a、b，
则A→H＝( )
A. 25a－45b
B. 25a＋Fra Baidu bibliotek5b
C. －25a＋45b
D. －25a－45b
答案：B
解析：A→F＝b＋12a，D→E＝a－12b，设D→H＝λD→E，则 D→H＝λa－12λb，∴A→H＝A→D＋D→H＝λa＋(1－12λ)b，
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■
1. 平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2， 使a＝λ1e1＋λ22e22．其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底．
2. 平面向量的坐标表示 (1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作 O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b 的夹角，当θ＝00°°或180°时，两向量共线，当θ＝90°时，两 向量垂直．
[变式探究3] [2012·衡中调研]已知向量a＝(3cos
α，2)，b＝(3，4sinα)，且a∥b，则锐角α等于______． π
答案： 4
解析：依题意，12cosαsinα－6＝0，sin2α π
＝1，α为锐角，所以α＝ 4 .
课堂小结
1. 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行 四边形法则，将向量进行分解．
(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向 量正交分解． (3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取 与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平 面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi ＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫 做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的 坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
第四章
第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示
考纲传真： 1. 了解平面向量的基本定理及其意义． 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
请注意！ 平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加 法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量 数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也 是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和 数形结合的思想方法．
[思路点拨] 可以用平面向量基本定理设出 O→M ＝ ma＋nb，然后用共线向量的条件列出方程组，确定 m、n的值．
[解] 设O→M＝ma＋nb(m、n∈R)，则 A→M＝O→M－O→A＝(m－1)a＋nb，
A→D＝O→D－O→A＝12b－a， ∵A、M、D三点共线， ∴m－－11＝n1，即m＋2n＝1.
[规律总结] 向量的起、终点坐标、向量坐标可“知 二求一”，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通 过列方程组求解．向量坐标的概念其实质是平面向量基本 定理的具体运用．随着学习的深入对此应有一个深刻的认 识．
平面向量共线的坐标表示
例 3 [2011·北京]已知向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－1)， c＝(k， 3)．若 a－2b 与 c 共线，则 k＝________．
[思路点拨] a－2b 与 c 共线⇒关于 k 的方程⇒k 的值．
[解析] a－2b＝( 3 ，3)，根据a－2b与c共线， 得3k＝ 3× 3，解得k＝1.
[答案] 1
[规律总结] 向量共线的坐标表示既可以判定两向量 平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零 时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
[解] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3，6)， D→A＝(－1－x2，2－y2)，B→A＝(－3，－6)． 因为A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，
所以有xy11－＋21＝＝21，和－2－1－y2＝x22＝1. 解得xy11＝＝40，和xy22＝＝0－2. 所以点C、D的坐标分别是(0，4)、(－2，0)， 从而C→D＝(－2，－4)．