汉诺塔问题的算法分析及C语言实现
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4 结束语
其实，递归算法的执行过程分为 递推和回归两个阶段。在递推阶段，把 较为复杂的问题（如规模为 N）的求 解推到比原问题简单一些的问题 （规 模小于 N）的求解。例如上面分析过程
中，为求解 han （int n，char one，char two ，char three），推到计算 han（int n－1，char two，char one，char three）。
最后，通过经典“汉诺塔”问题移 动过程的分析、解决以及最后 C 语言 编程的实现，从而掌握了解决此类问 题的方法，对递归算法也有了更加深 刻的理解。
参考文献
[1] 王春森． 程序员教程． 北京：清华大学 出版社，2001－05．
[2] Lesley A R． 程序设计基础． 北京：高 等教育出版社，2003．
gh the realization, the learners could clearly address the issue of observing the entire process． Keyword: Hanoi Algorithm Recursive
1 问题描述
问题提出： 有三个塔（分别为 A 号，B 号和 C 号）。开始时，有 n 个圆形盘以从下到 上、从大到小的次序叠置在 A 塔上。现 要将 A 塔上的所有圆形盘，借助 B 塔，全部移动到 C 塔上，且仍按照原来 的次序叠置。移动的规则如下：这些圆 形盘只能在 3 个塔间进行移动，一次 只能移动一个盘子，且任何时候都不 允许将较大的盘子压在比它小的盘子 的上面。要求如下：从键盘输入初始圆 形盘子个数 n，用 C 语言实现 n 个盘 子最佳移动的全过程。
2 算法分析
此题的目的是设计一个盘子移动 的方案，使得 A 号塔上的所有盘子借 助于 B 号塔按照原来的次序移动到 C 号塔上，并且，要给出完整的最佳的盘 子移动的方案。
从实际的、具体的盘子的移动过 程来分析，找出问题内在的规律。经分 析，无论盘子的个数有多少，是 1、2、3 ……或 n 个，也不管怎么去移动盘子 （当然是按规则来移动），但在移动的 过程中，将始终会出现这样的状态情 况：（n－1）个盘子将会以从下到上、从 大到小的次序叠置在 B 塔上，这时，A 塔上第 n 个盘子就能被轻而易举地叠
200 9 年 10 月
电脑学习
第5期
汉诺塔问题的算法分析及 C 语言实现
周 敏*
摘 要 ： 本文对经典的汉诺塔问题进行了详细的分析，给出了实现的算法，并用 C 语言实现。通过该问题的 C 语言实现，可使 学习者清晰地观测到解决该问题的全过程。
关 键 词 ： 汉诺塔 算法 递归 中图分类号： TP311 文献标识码： A 文章编号：1002－2422（2009）05－0138－02
第二步：将剩下的第 N 个盘子 （也就是最底下的一个） 直接从 A 塔 叠放到空着的 C 塔上。
第三步：用第一步的方法，再次将 B 塔上的所有盘子叠放到 C 塔上。同 样，这一步实际上也是由一系列更小 的符合规则的移动盘子的操作组成 的 。 用 han （int n －1，char two，char one，char three）调用递归方法，注意： 这里是借助于 A 塔，将（N－1）个盘子 从 B 塔移动到 C 塔，B 是源塔，C 是目 标塔。
关 键 词 ： 数据挖掘 关联规则 Apriori 算法 位图 中图分类号： TP311 文献标识码： A 文章编号：1002－2422（2009）05－0139－03
Discussion on Advanced Apriori Algorithm
Wang Xiao Zhao Jun Abstract: the paper introduces the basic concept of mining association rules, analyzes the classical Apriori algorithm and raises
现在，严格按照递归算法来解决
问题。先定义递归方法 han （int n， char one，char two ，char three），按如 下步骤进行解题 （设初始盘子个数为 N）：若 A 塔上仅仅只有一个盘子（N＝ 1），则直接从 A 移动到 C，问题完全解 决。若 A 塔上有一个以上的盘子（N＞ 1），则需要考虑以下三个步骤。
收稿日期：2009－06－08 *王晓 张家口教育学院计算机系助教（河北张家口 075061）。
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Байду номын сангаас
3 算法实现
依据上述分析可知，汉诺塔问题 符合实现递归的条件，而 C 语言又可 解决递归问题，据此，用 C 语言来实现 对汉诺塔问题的求解，用 han 函数来 实现原问题转化为新问题的操作 （问 题分析的一、三步），用 move 函数实 现递归边界的操作 （问题分析的第二 步），用 main 主函数提出问题，确定需 移动盘子的数目，现编写程序如下： void move（char x，char y） ／觹 将一个盘子从 x 移动到 y觹／ 邀 printf（″％c－－＞ ％c／ n″，x，y）； 妖 void han （int n，char one，char two ，char three） ／觹 将 n 个盘子 从 one 借 助 于 tow 移 动 到 three觹／ 邀
这 个 算 法 达 到 了 预 期 的 目 标 ，即
收稿日期：2009－09－01 *周敏 黑龙江农业经济职业学院信息工程系讲师（157041）。
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200 9 年 10 月
电脑学习
第5期
浅论 Apriori 算法的改进
王 晓* 赵 军
摘 要 ： 本文介绍了关联规则挖掘的基本概念，分析了经典的 Apriori 算法，提出一种改进的关联规则挖掘算法，解决了挖掘课 程相关性关联规则的问题。改进算法的基本思想：① 采用位图数据格式；② 系统中会永久保留支持度为 0 的候选 1 项集和候选 2 项集，当系统需要运行时，首先采用数据库的过滤技术，可以很快得到频繁 2 项集。突破了这一瓶颈，系 统运行速度将得到较大的提升。将该算法应用于课程相关性分析，实验结果表明改进的算法性能优于 Apriori 算法。
Hanoi Problem Analysis and Algorithm Realization of C Language
Zhou Min Abstract: The paper in detail analyzes the classic Hanoi problem, and gives out the realization algorithm in C language． Throu－
第一步：把（N－1）个盘子从 A 塔 经过移动，叠放到 B 塔上。在不违反规 则情况下，所有（N－1）个盘子不能作 为一个整体一起移动，而是要符合要 求地从一个塔移到另一个塔上。用 han （int n －1，char one，char two ，char three）调用递归方法，注意：这里是借 助于 C 塔，将（N－1）个盘子从 A 塔移 动到 B 塔，A 是源塔，B 是目标塔。
放到 C 塔上；接着，再把 B 塔上的共 （n－1）个盘子移动到 C 塔上，问题好 像已经解决。
但，B 塔上（n－1）个盘子怎么移 动到 C 塔上呢 芽 这是要解决的第二个 问题。同样，不管我们怎么移动，也将 会出现这样的状态情况：（n－2） 个盘 子将会以从上到下、从大到小的次序 叠置在 A 塔上，这时，B 塔上第 （n－ 1） 个盘子就能被轻而易举放到 C 塔 上；接着，把 A 塔上的共（n－2）个盘子 移动到 C 塔上。
if （n＝＝1） move（one，three）； else 邀 han（n21，one，three，two）； move（one，three）； han（n21，two，one，three）； 妖 妖 main（） 邀 int n； printf （″ Please enter the number of diskes：″） ； scanf（″％d″，＆n）； printf（″The step to moving ％d diskes：／n″， n）； han（n，＇A＇，＇B＇，＇C＇）； 妖
这 样 ，不 断 深 入 ，不 断 细 小 化 ，最 终 ，将 到 达 仅 有 一 个 盘 的 情 形 ，这 时 ， 递归也就终止了，问题也得到了解决。 通过以上分析，这里有很明显的递归 关系。
由此，想到了采用递归算法来解 决该问题，因为递归算法有这样的特 征描述：为了求解出规模为 N 的问题 的解，先设法将它分解成一些规模较 小的问题，然后从这些较小问题的解 能方便地构造出大问题的解，并且这 些规模较小的问题也能采用同样的方 法分解，分解成规模更小的问题，并能 从这些更小的问题的解构造出规模稍 大问题的解。特别地是，当规模 N＝1 时，能直接得到解。
在回归阶段，当获得最简单情况 的解后，逐级返回，依次获得稍复杂问 题的解。在这里的“汉诺塔”问题中， 有特别的地方，回归的过程当中，还要 涉及到递推。另外，在编写递归方法时 要注意的是：每次调用递归方法，方法 中的参数只是局限于当前调用层的， 当递推进入“简单问题”层时，原来层 次上的参数便被隐藏起来。在一系列 “简单问题”层，都各有自己的参数。
an advanced mining association rules algorithm which solves the problem of mining data． The main idea is① it uses bitmap； ② The candidate 1－itemsets and candidate 2－itemsets whose support degree is 0 can be kept in the system permanently． When the system is running, the paper firstly adopts the database filter technique, which can get the f－ requent 2－itemsets quickly． With the breaking of this bottleneck, the system running speed can be raised largely． Th－ rough the reasearch, The results show that the improved algorithm is much more efficient than the Apriori algorithm． Keyword: Data Ming Association Rules Apriori Algorithm Bitmap
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在 C 塔上按正确的次序叠放了所有的 圆形盘子。有了前面问题算法分析的 基础，继而，就可以用 C 语言来实现算 法。
其实，递归算法的执行过程分为 递推和回归两个阶段。在递推阶段，把 较为复杂的问题（如规模为 N）的求 解推到比原问题简单一些的问题 （规 模小于 N）的求解。例如上面分析过程
中，为求解 han （int n，char one，char two ，char three），推到计算 han（int n－1，char two，char one，char three）。
最后，通过经典“汉诺塔”问题移 动过程的分析、解决以及最后 C 语言 编程的实现，从而掌握了解决此类问 题的方法，对递归算法也有了更加深 刻的理解。
参考文献
[1] 王春森． 程序员教程． 北京：清华大学 出版社，2001－05．
[2] Lesley A R． 程序设计基础． 北京：高 等教育出版社，2003．
gh the realization, the learners could clearly address the issue of observing the entire process． Keyword: Hanoi Algorithm Recursive
1 问题描述
问题提出： 有三个塔（分别为 A 号，B 号和 C 号）。开始时，有 n 个圆形盘以从下到 上、从大到小的次序叠置在 A 塔上。现 要将 A 塔上的所有圆形盘，借助 B 塔，全部移动到 C 塔上，且仍按照原来 的次序叠置。移动的规则如下：这些圆 形盘只能在 3 个塔间进行移动，一次 只能移动一个盘子，且任何时候都不 允许将较大的盘子压在比它小的盘子 的上面。要求如下：从键盘输入初始圆 形盘子个数 n，用 C 语言实现 n 个盘 子最佳移动的全过程。
2 算法分析
此题的目的是设计一个盘子移动 的方案，使得 A 号塔上的所有盘子借 助于 B 号塔按照原来的次序移动到 C 号塔上，并且，要给出完整的最佳的盘 子移动的方案。
从实际的、具体的盘子的移动过 程来分析，找出问题内在的规律。经分 析，无论盘子的个数有多少，是 1、2、3 ……或 n 个，也不管怎么去移动盘子 （当然是按规则来移动），但在移动的 过程中，将始终会出现这样的状态情 况：（n－1）个盘子将会以从下到上、从 大到小的次序叠置在 B 塔上，这时，A 塔上第 n 个盘子就能被轻而易举地叠
200 9 年 10 月
电脑学习
第5期
汉诺塔问题的算法分析及 C 语言实现
周 敏*
摘 要 ： 本文对经典的汉诺塔问题进行了详细的分析，给出了实现的算法，并用 C 语言实现。通过该问题的 C 语言实现，可使 学习者清晰地观测到解决该问题的全过程。
关 键 词 ： 汉诺塔 算法 递归 中图分类号： TP311 文献标识码： A 文章编号：1002－2422（2009）05－0138－02
第二步：将剩下的第 N 个盘子 （也就是最底下的一个） 直接从 A 塔 叠放到空着的 C 塔上。
第三步：用第一步的方法，再次将 B 塔上的所有盘子叠放到 C 塔上。同 样，这一步实际上也是由一系列更小 的符合规则的移动盘子的操作组成 的 。 用 han （int n －1，char two，char one，char three）调用递归方法，注意： 这里是借助于 A 塔，将（N－1）个盘子 从 B 塔移动到 C 塔，B 是源塔，C 是目 标塔。
关 键 词 ： 数据挖掘 关联规则 Apriori 算法 位图 中图分类号： TP311 文献标识码： A 文章编号：1002－2422（2009）05－0139－03
Discussion on Advanced Apriori Algorithm
Wang Xiao Zhao Jun Abstract: the paper introduces the basic concept of mining association rules, analyzes the classical Apriori algorithm and raises
现在，严格按照递归算法来解决
问题。先定义递归方法 han （int n， char one，char two ，char three），按如 下步骤进行解题 （设初始盘子个数为 N）：若 A 塔上仅仅只有一个盘子（N＝ 1），则直接从 A 移动到 C，问题完全解 决。若 A 塔上有一个以上的盘子（N＞ 1），则需要考虑以下三个步骤。
收稿日期：2009－06－08 *王晓 张家口教育学院计算机系助教（河北张家口 075061）。
· 139 ·
Байду номын сангаас
3 算法实现
依据上述分析可知，汉诺塔问题 符合实现递归的条件，而 C 语言又可 解决递归问题，据此，用 C 语言来实现 对汉诺塔问题的求解，用 han 函数来 实现原问题转化为新问题的操作 （问 题分析的一、三步），用 move 函数实 现递归边界的操作 （问题分析的第二 步），用 main 主函数提出问题，确定需 移动盘子的数目，现编写程序如下： void move（char x，char y） ／觹 将一个盘子从 x 移动到 y觹／ 邀 printf（″％c－－＞ ％c／ n″，x，y）； 妖 void han （int n，char one，char two ，char three） ／觹 将 n 个盘子 从 one 借 助 于 tow 移 动 到 three觹／ 邀
这 个 算 法 达 到 了 预 期 的 目 标 ，即
收稿日期：2009－09－01 *周敏 黑龙江农业经济职业学院信息工程系讲师（157041）。
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电脑学习
第5期
浅论 Apriori 算法的改进
王 晓* 赵 军
摘 要 ： 本文介绍了关联规则挖掘的基本概念，分析了经典的 Apriori 算法，提出一种改进的关联规则挖掘算法，解决了挖掘课 程相关性关联规则的问题。改进算法的基本思想：① 采用位图数据格式；② 系统中会永久保留支持度为 0 的候选 1 项集和候选 2 项集，当系统需要运行时，首先采用数据库的过滤技术，可以很快得到频繁 2 项集。突破了这一瓶颈，系 统运行速度将得到较大的提升。将该算法应用于课程相关性分析，实验结果表明改进的算法性能优于 Apriori 算法。
Hanoi Problem Analysis and Algorithm Realization of C Language
Zhou Min Abstract: The paper in detail analyzes the classic Hanoi problem, and gives out the realization algorithm in C language． Throu－
第一步：把（N－1）个盘子从 A 塔 经过移动，叠放到 B 塔上。在不违反规 则情况下，所有（N－1）个盘子不能作 为一个整体一起移动，而是要符合要 求地从一个塔移到另一个塔上。用 han （int n －1，char one，char two ，char three）调用递归方法，注意：这里是借 助于 C 塔，将（N－1）个盘子从 A 塔移 动到 B 塔，A 是源塔，B 是目标塔。
放到 C 塔上；接着，再把 B 塔上的共 （n－1）个盘子移动到 C 塔上，问题好 像已经解决。
但，B 塔上（n－1）个盘子怎么移 动到 C 塔上呢 芽 这是要解决的第二个 问题。同样，不管我们怎么移动，也将 会出现这样的状态情况：（n－2） 个盘 子将会以从上到下、从大到小的次序 叠置在 A 塔上，这时，B 塔上第 （n－ 1） 个盘子就能被轻而易举放到 C 塔 上；接着，把 A 塔上的共（n－2）个盘子 移动到 C 塔上。
if （n＝＝1） move（one，three）； else 邀 han（n21，one，three，two）； move（one，three）； han（n21，two，one，three）； 妖 妖 main（） 邀 int n； printf （″ Please enter the number of diskes：″） ； scanf（″％d″，＆n）； printf（″The step to moving ％d diskes：／n″， n）； han（n，＇A＇，＇B＇，＇C＇）； 妖
这 样 ，不 断 深 入 ，不 断 细 小 化 ，最 终 ，将 到 达 仅 有 一 个 盘 的 情 形 ，这 时 ， 递归也就终止了，问题也得到了解决。 通过以上分析，这里有很明显的递归 关系。
由此，想到了采用递归算法来解 决该问题，因为递归算法有这样的特 征描述：为了求解出规模为 N 的问题 的解，先设法将它分解成一些规模较 小的问题，然后从这些较小问题的解 能方便地构造出大问题的解，并且这 些规模较小的问题也能采用同样的方 法分解，分解成规模更小的问题，并能 从这些更小的问题的解构造出规模稍 大问题的解。特别地是，当规模 N＝1 时，能直接得到解。
在回归阶段，当获得最简单情况 的解后，逐级返回，依次获得稍复杂问 题的解。在这里的“汉诺塔”问题中， 有特别的地方，回归的过程当中，还要 涉及到递推。另外，在编写递归方法时 要注意的是：每次调用递归方法，方法 中的参数只是局限于当前调用层的， 当递推进入“简单问题”层时，原来层 次上的参数便被隐藏起来。在一系列 “简单问题”层，都各有自己的参数。
an advanced mining association rules algorithm which solves the problem of mining data． The main idea is① it uses bitmap； ② The candidate 1－itemsets and candidate 2－itemsets whose support degree is 0 can be kept in the system permanently． When the system is running, the paper firstly adopts the database filter technique, which can get the f－ requent 2－itemsets quickly． With the breaking of this bottleneck, the system running speed can be raised largely． Th－ rough the reasearch, The results show that the improved algorithm is much more efficient than the Apriori algorithm． Keyword: Data Ming Association Rules Apriori Algorithm Bitmap
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在 C 塔上按正确的次序叠放了所有的 圆形盘子。有了前面问题算法分析的 基础，继而，就可以用 C 语言来实现算 法。