二次函数与实际问题

二次函数与实际问题
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
二次函数与实际问题2
1.某企业决定投资生产某种产品，已知投资生产该产品的有关数据如下：其中年固定成本与生产的件数无关，另外年销售x件该产品时需上交0.05x2万元的特别关税（1）若产销该产品的年利润分别为y万元，每年产销x件，直接写出y与x的函数关系式（2）问年产销多少件产品时，年利润为370万元（3）当年产销量为多少件时，获得最大年利润？最大年利润是多少万元？
2.某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为x（吨）时，所需的费用y （万元）与（x2+60x+800）成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p（单位：万元）由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价是固定不变的，浮动价与x成正比例，比例系数为﹣．在营销中发现年产量为20吨时，所需的全部费用是240万元，并且年销售利润W最大
值为55万元．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）（1）求y（万元）与x（吨）之间满足的函数关系式；（2）求年销售利润W与年产量x（吨）之间满足的函数关系式；（3）当年销售利润最大时，每吨的售价是多少万元？
3.某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为x（件），其中x＞0．若在甲地销售，每件售价y（元）与x之间的函数关系式为y=﹣x+100，每件成本为20元，设此时的年销售利润为w
甲
（元）（利润=销售额﹣成本）．若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元（a为常数，18≤a≤25 ），每件售价为98元，销售x（件）每年还
需缴纳x2元的附加费．设此时的年销售利润为w
乙
（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加
费）．（1）当a=18，且x=100是，w
乙= 元；（2）求w
甲
与x之间的函数关系式（不必写出x
的取值范围），当w
甲
=15000时，若使销售量最大，求x的值；（3）为完成x件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大
4.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，（即出厂价=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元．（利润=出厂价﹣成本价）（1）求一张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；（2）求一张薄板的利润p与边长x之间的函数关系式；（3）若一张薄板的利润是34元，且成本最低，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长为多少时，所获利润最大，求出这个最大值
5.某公司对工作五年及以上的员工施行新的绩效考核制度，现拟定工作业绩W=P+1200，其中P的大小与工作数量x（单位）和工作年限n有关（不考虑其他因素）．已知P由部分的大小与工作数量x（单位）和工作年限n有关（不考虑其他因素）．已知P由两部分的和组成，一部分与x2成正比，另一部分与nx成正比，在试行过程中得到了如下两组数据：①工作12年的员工，若其工作数量为50单位，则其工作业绩为3700元；②工作16年的员工，若其工作数量为80单位，则其工作业绩为6320元．（1）试用含x和n的式子表示W；（2）若某员工的工作业绩为4080元，工作数量为40单位，求该员工的工作年限；（3）若员工的工作年限为10年，若要使其工作业绩最高，其工作数量应为多少单位？此时他的工作业绩为多少元？
6.在建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，某市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
y=（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为26元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x
（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款n万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
7.某市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元），年销售量为y万件），年获利为w万元）．（年获利=年销售额﹣生产成本﹣节电投资）（1）直接写出y与x间的函数关系式；（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
二次函数与实际问题2答案
1.分析：（1）根据年利润=每件产品的利润×每年的销售量﹣固定成本﹣关税，即可解答；（2）将y=370代入（1）中的函数解析式中，解一个一元二次方程即可；（3）根据二次函数的最大值的求法求出（1）中函数解析式的最大值即可
解：（1）y=（18﹣8）x﹣50﹣0.05x2=10x﹣50﹣0.05x2，x为整数，0＜x≤110；（2）10x﹣50﹣
0.05x2=370，解答，x
1=60，x
2
=140，因为0＜x≤110，∴当x=60时，年利润为370万元；（3）
y=10x﹣50﹣0.05x2=﹣0.05（x﹣100）2+450，当x=100时，y最大，最大年利润为450万元
2.分析：（1）设y=k（x2+60x+800），由待定系数法建立方程求出k值即可；（2）设基础价为a，则p=a﹣x，根据年利润=年销售额﹣全部费用就可以表示出W与x的关系式；（3）根据
（2）的结论把a、x的值代入p=a﹣x，求出p即可
解（1）设y=k（x2+60x+800），由题意，得240=k（202+60×20+800），解得：k=，∴
y=x2+6x+80；（2）设基础价为a，则p=a﹣x，∴W=px﹣y=（a﹣x）x﹣（x2+6x+80）=
﹣[x﹣×10（a﹣6）]2+×5（a﹣6）2﹣80．∵W最大值为55万元，∴×5（a﹣6）2﹣
80=55，解得：a
1=15，a
2
=﹣3（舍去），∴W=﹣[x﹣10（15﹣6）]2+×5（15﹣6）2﹣80=﹣
（x﹣30）2+55；（3）∵W=﹣（x﹣30）2+55，∴当x=30（吨）时，年销售利润最大，∴p=a ﹣x=15﹣×30=13.5（万元/吨），∴当年销售利润最大时，每吨售价是13.5万元
3.分析：（1）根据“乙地销售利润=每件利润×销售量﹣附加费用”列式计算可得；（2）根据“销售总利润=每件利润×销售量”列方程解之可得；（3）先根据（1）中相等关系列出w
乙
与x
之间的函数关系式，再作差得出w
甲﹣w
乙
=（a﹣18）x，结合a的取值范围即可判断．
解：（1）当a=18，且x=100时，w
乙
=（98﹣18）×100﹣×1002=7000（元），故答案为：
7000；（2）w
甲=x（y﹣20）=x（﹣x+100﹣20）=﹣x2+80x，当w
甲
=15000时，﹣
x2+80x=15000，解得：x
1=300、x
2
=500，由于使销售量最大，故x=500；（3）∵w
乙
=﹣x2+
（98﹣a）x，∴w
甲﹣w
乙
=﹣x2+80x﹣[﹣x2+（98﹣a）x]=（a﹣18）x，∵18≤a≤25，且x＞
0，∴w
甲﹣w
乙
＞0，即w
甲
＞w
乙
，∴应选择在甲地销售
4.分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；（2）首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：W=y﹣mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；（3）利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则
y=kx+n，由表格中数据得，解得∴，y=2x+10；（2）设它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y﹣mx2=2x+10﹣mx2，将x=40，p=26代入p=2x+10﹣mx2中，得26=2×40+10﹣m×402．解得：m=．所以p=﹣x2+2x+10．（3）当P=34时，﹣x2+2x+10=34，解得：x
1
=20，
x
2
=30（舍去），所以一张薄板的利润是34元，且成本最低时薄板的边长为20cm；∵p=﹣
x2+2x+10=﹣（x﹣25）2+35，∴当薄板的边长为25cm时，所获利润最大，最大值35元
5.分析：（1））根据P由两部分的和组成，一部分与x2成正比，另一部分与nx成比，设
w=k
1x2+k
2
?nx+1200，利用待定系数法求得两个比例系数后即可确定有关w的函数关系式；（2）
代入w=4080，x=80求得n的长即可；（3）代入n=10后得到有关w与x的二次函数求得最值即可．
解：（1）∵P由两部分的和成，一部分与x2成正比，另一部分与nx成比，∴设
w=k
1x2+k
2
?nx+1200，
∵工作12年的员工，若其工作数量为50单位，则其工作业绩为3700元；工作16年的员工，若其工作数量为80单位，则其工作业绩为6320元，∴，解得：，∴w=﹣x2+5nx+1200；（2）由题意得：4080=﹣×402+5n×40+1200，解得：
n=16，∴该员工的工作年限为16年；（3）当n=10时，w=﹣x2+5×10x+1200=﹣（x﹣125）
2+4325，所以若员工的工作年限为10年若要使其工作业绩最高，其工作数量应为125单位，此时他的工作业绩为4325元．
6.分析：（1）因为25＜26＜30，所以把x=26代入y=40﹣x即可求出该产品的年销售量为多少万件；
（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，得到w和x的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利或亏损情况；（3）由题目的条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，由w≥67.5，分别求出对应x 的范围，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围．
解：（1）∵25≤26≤30，y=，∴把x=26代入y=40﹣x得，y=14（万
件），答：当销售单价定为26元时，该产品的年销售量为14万件；（2）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，故当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣
x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；
综上，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损
是12.5万．（3）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+61x﹣862.5≥67.5，﹣x2+61x﹣862.5≥67.5，化简得：x2﹣61x+930≤0解得：30≤x≤31，当两年的总盈利不低于67.5万元时，x=30；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣
x2+35.5x﹣547.5≥67.5，化简得：x2﹣71x+1230≤0解得：30≤x≤41，当两年的总盈利不低于
67.5万元时，30＜x≤35，答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．
7.分析:（1）分段讨论当100＜x≤200和当200＜x≤300的函数关系式，（2）由年获利=年销售额﹣生产成本﹣节电投资分别列出当100＜x≤200和200＜x≤300的利润关系式，求出最大利润，（3）依题意可知，当100＜x≤200时，写出第二年w与x关系为式，由两年的总盈利为1842万元，解得单价x．
解：（1）当100＜x≤200，y=20﹣×0.8，∴，当200＜x≤300，把x=200代入y=﹣x+28，得：y=12，∴y=12﹣×1，；（2）当100＜x≤200时，w=（x﹣40）y﹣（1520+480）=，=﹣，=∵
,x=195，w
最大
=﹣78当200＜x≤300时，w=（x﹣40）y﹣（1520+480）
=，=，=，当x=180时，不在200＜x ≤300范围内，∵，∴当在200＜x≤300时，y随x的增大而减小，∴w＜﹣80是亏损的，最少亏损为78万元．（3）依题意可知，当100＜x≤200时，第二年w与x关系为
当总利润刚好为1842万元时，依题意可得整
理，得x2﹣390x+38000=0解得，x
1=190，x
2
=200∴要使两年的总盈利为1842万元，销售单价可定
为190元或200元．∵对，y随x增大而减小∴使销售量最大的销售单价应定为190元。