离散数学第1章集合映射运算
离散数学课本定义和定理
第1章集合集合的基本概念1. 集合、元元素、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义子集：给定集合A和B,如果集合A的任何一个元都是集合B中的元,则称集合A包含于B或B包含A,记为或,并称A为B的一个子集;如果集合A和B满足,但B中有元不属于A,则称集合A真包含于B,记为,并且称A为B的一个真子集;4. 定义幂集：给定集合A,以A的所有子集为元构成的一个集合,这个集合称为A的幂集,记为或集合的运算定义并集：设A和B是两个集合,则包含A和B的所有元,但不包含其他元的集合,称为A和B 的并集,记为.定义交集：A和B是两个集合,包含A和B的所有公共元,但不包含其他元的集合,称为A和B 的交集,记为.定义不相交：A和B是两个集合,如果它们满足,则称集合A和B是不相交的;定义差集：A和B是两个集合,属于A而不属于B的所有元构成集合,称为A和B的差集,记为.定义补集：若A是空间E的集合,则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集,记为. 定义对称差：A和B是两个集合,则定义A和B的对称差为包含排斥原理定理设为有限集,其元素个数分别为,则定理设为有限集,其元素个数分别为,则定理设为有限集,则重要例题P11 例第2章二元关系关系定义序偶：若和是两个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个序偶;※对于序偶和,当且仅当并且时,才称和相等,记为定义有序元组：若是个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个有序元组简称元组;定义直接积：和是两个集合,则所有序偶的集合,称为和的直接积或笛卡尔积,记为.定义直接积：设是个集合,,则所有元组的集合,称为的笛卡尔积或直接积,记为.定义二元关系若和是两个集合,则的任何子集都定义了一个二元关系,称为上的二元关系;如果,则称为上的二元关系;定义恒等关系：设是上的二元关系,,则称是上的恒等关系;定义定义域、值域：若是一个二元关系,则称为的定义域;为的值域;定义自反：设是集合上的关系,若对于任何．．,都有即则称关系是自反的;定义反自反：设是集合上的关系,若对于任何,都满足,即对任何都不成立,则称关系是反自反的;定义对称：设是集合上的关系,若对于任何,只要,就有,那么称关系是对称的;定义反对称：设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,那么称关系是对称的;定义传递设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,则称关系是传递的;定理设是集合上的关系,若是反自反的和传递的,则是反对称的;关系矩阵和关系图定义无定理无关系的运算定义连接：设为上的关系,为上的关系,则定义关系称为关系和的连接或复合,有时也记为.定义逆关系：设为上的关系,则定义的逆关系为为上的关系：.定理设和都是上的二元关系,则下列各式成立12345定理设为上的关系,为上的关系,则闭包运算定义自反闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小自反关系,则称是关系的自反闭包,记为.定义对称闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小对称关系,则称是关系的对称闭包,记为.定义传递闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小传递关系,则称是关系的传递闭包,记为或.定理设是集合上的二元关系,则（1）是自反的,当且仅当.（2）是对称的,当且仅当.（3）是传递的,当且仅当.定理设是集合上的二元关系,则. “恒等关系”定理设是集合上的二元关系,则. “逆关系”定理设是集合上的二元关系,则. “幂集”定理设是一个元集,是上的二元关系,则存在一个正整数,使得.等价关系和相容关系定义覆盖、划分：是一个集合,,如果,则称是的一个覆盖;如果,并且,则称是的一个划分,中的元称为的划分块;定义等价关系：设是上的一个关系,如果具有自反性、对称性和传递性三个性质,则称是一个等价关系;设是等价关系,若成立,则称等价于.定义等价类：设是上的一个等价关系,则对任何,令,称为关于的等价类,简称为的等价类,也可以简记为.定义同余：对于整数和正整数,有关系式：如果,则称对于模同余的,记作定义商集：设是上的一个等价关系,由引出的等价类组成的集合称为集合上由关系产生的商集,记为. “等价类的集合”定理若是上的一个等价关系,则由可以产生唯一的一个对的划分; “商集”定义相容关系：设是上的一个关系,如果是自反的和对称的,则称是一个相容关系;相容关系可以记为.所有的等价关系都是相容关系,但相容关系却不一定是等价关系;定义最大相容块：设是一个集合,是定义在上的相容关系;如果,中的任何两个元都有关系,而的每一个元都不能和中所有元具有关系,则称是的一个最大相容块;偏序关系定义偏序关系：是定义在集合上的一个关系,如果它具有自反性、反对称性和传递性,则称是上的一个偏序关系,简称为一个偏序,记为.更一般地讲,若是一个集合,在上定义了一个偏序,则我们用符号来表示它,并称是一个偏序集;定义全序/链：是一个偏序集,对任何,如果或这两者中至少有一个必须成立,则称是一个全序集或链,而称是上的一个全序或线性序;定义盖住：是一个偏序集,,若,并且不存在,使并且,则称盖住. “紧挨着”定义最小元、最大元：是一个偏序集,如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最小元;如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最大元; 定义极小元、极大元：是一个偏序集,如果,而中不存在元,使,则称是的极小元;如果,而中不存在元,使,则称是的极大元;定义上界、下界、上确界、下确界：是一个偏序集,,如果对于所有的,都有,则称是的一个上界;如果对于所有的,都有,则称是的一个下界;如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最小上界上确界. 如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最大下界下确界.定义良序集：设是一个偏序集,对于偏序,如果的每个非空子集都具有最小元,则称是一个良序集,而称是上的一个良序;每个良序集都是全序集;第3章函数和运算函数定义映射、象：关系定义在上,如果对于每一个．．．．．,使,．．．,都有唯一的一个则称是从到的一个函数或映射,记为.称为函数的变元,称为变元在下的值或象,记为.注意：（1）定义域,而不是.（2）每一个,有唯一的,使. 多值函数不符合定义（3）值域.定义受限、扩展：若是从到的一个函数,,则也是一个函数,它定义于到,我们称它是在上的受限;如果是函数的一个受限,则称是的一个扩展;★定义映上、映内、一对一、一一对应：若,则的值域时,称函数是映上的或满射;如果的值域时,则称函数是映内的;如果,则有,则称是一对一的单射即时,有.如果映上的,又是一对一的,则称是一一对应的或双射;定义复合运算：若,则定义和的复合运算为：即.注：逆函数若要存在需要满足以下条件：1函数是映上的2函数必须是一对一的定义恒等函数函数称为恒等函数;定理,则的充分必要条件是,并且运算定义二目运算：若是一个集合,是从到的一个映射函数,则称为一个二目运算;一般地,若是从到的一个映射是正整数,则称是一个目运算;运算的封闭：运算的结果总是集合中的一个元,因此这个定义保证了运算的施行,这种情况又称为集合对于该种运算是封闭的;定义可交换：若是一个运算,对于任何,都有,则称运算是可交换的或者说,服从交换律.定义可结合：若是一个运算,对于任何,都有,则称运算是可结合的或者说,服从结合律.定义可分配：若是一个运算,是一个运算,对于任何,都有,则称运算对于运算是可分配的或者说,对于服从分配律定义左单位元、右单位元：设是上的一个运算,如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的左单位元；如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的右单位元;定理若是上的一个运算,和分别是它的左、右单位元,则,并且是唯一的因此,称为运算的单位元.定义左零元、右零元：设是上的一个运算,如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的左零元；如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的右零元.定义等幂：若是上的一个运算,,对于运算,有,则称元对于运算是等幂的;定义左逆元、右逆元：若是上的一个运算,它具有单位元,对于任何一个,如果存在有元,使,则称是的左逆元；如果存在有元,使,则称是的右逆元；定理若是上的一个运算,它具有单位元,并且是可结合．．．的,则当元可逆时,它的左、右逆元相等,并且唯一的此时称之为的逆元,并且记为.定义可消去：若是上的一个运算,对于任何,如果元满足：则；或则,则称元对于运算是可消去的;第4章无限集合基数★定义等势：若和是两个集合,如果在和之间可以建立一个一一．．．．对应关系,则称集合和等势,并记为;定理令是由若干个集合为元所组成的集合,则上定义的等势关系是一个等价关系;定义有限集、无限集：若是一个集合,它和某个自然数集等势,则称是一有限集,不是有限集的集合称为无限集;定理有限集的任何子集都是有限集定理有限集不与其任何真子集等势定理自然数集是无限集可列集定义可列集：若是一个集合,它和所有自然数的集合等势,则称是一个可列集;可列集的基数用符号表示;定理若是一个集合,可列的充分必要条件是可以将它的元排列为的序列形式;定理任何无限集必包含有可列子集;定理可列集的子集是有限集或可列集记为：定理若是可列集,是有限集,并且,则是可列集记为：.定理若和都是可列集,并且,则是可列集记为：推论设都是可列集,则是可列集记为：定理设都是可列集,并且,则是可列集记为：推论设都是可列集,则是可列集.定理所有有理数的集合是可列集;不可列集定理区间中所有实数构成的集合是不可列的;定义连续基数：开区间中所有数组成集合的基数记为,具有基数的集合称为连续统,称为连续基数;推论：集合的基数也是.定理所有实数的集合是不可列的,它的基数是.定理对于任何数,若,则区间,以及都具有连续基数定理一个无限集和一个可列集作并集时,并集的基数等于集的基数;推论一个无限集和一个有限集的并集,其基数等于集的基数;基数的比较定义设集合的基数是.如果与的真子集等势,而和不等势,则称的基数小于的基数,记为.定理：是两个集合,若与的某一子集等势,与的某一子集等势,则.定理：是任意两个集合,的基数为,的基数为,则下列三个关系：中必有一个且只有个成立;定理：若是有限集的基数,则.定理：若是无限集合,则定理：若是可列个互不相交的集合,它们的基数都是,则的基数是记为：定理：可列集的幂集,其基数是记为：定理：若是一个集合,是的幂集,则.此定理说明：不存在最大的基数;补充：第5章形式语言文法和语言定义产生式：一个产生式或重写规则是一个有序对,通常写成,其中,是一个符号,而是一个符号的非空有限串,是这个产生式的左部,而是产生式的右部.产生式将简称为规则;定义非终极符号、字母表、终极符号、开始符号：一个文法是一个四元组.其中,是元语言的语法类或变元的集合,它生成语言的串,这些语法类或变元成为非终极符号,是符号的非空有穷集合,称为字母表,的符号称为终极符号.是之一,是词汇表的一个识别元素,称为开始符号.是产生式的集合;定义直接产生、直接推导,直接规约：设是一个文法,如果,而中有规则,就称串直接产生串,或称是直接推导出来的,或直接规约到,记为.定义产生、规约到、推导：设是一个文法,如果存在产生式序列,使得,而,就说产生规约到,或是的推导,记为.定义句型：令是一个文法,如果串可从开始符号推导出来,即如果,则称为一个句型;补充：若,则,其中是空串,不含空串文法的类型定义0-型文法：在上的0-型文法由以下组成：（1）不在中的不同符号的非空集合,称为变量表,它包含一个纲符号,称为开始变量; （2）产生式的有限集合;由产生的所有字集称为由产生的语言;定义0-型语言：在上可由某一0-型文法产生的字集称为0-型语言;定义1-型文法：如果在0-型文法中,对于中的每个产生式,要求,则这文法称为1-型文法或上下文敏感文法.定义2-型文法：设文法,对于中的每一个产生式有且有的人要求,则此文法叫2-型文法或前后文无关文法;定义3-型文法：设为一文法,又设中的每一个产生式都是或,其中和都是变量,而为终极符号,而此文法为3-型文法或正规文法;第1章代数系统代数系统的实例和一般性质定义代数系统：若是序偶,是一个非空集合,是定义在上的某些运算的非空集合,则称是一个代数系统,或称代数;代数系统的类型：（1）代数系统的类型是,其中代表目运算符; （2）,分别为目运算符,则的类型为.同态和同构定义同态象、同态映射:和是两个同类型的代数系统,映射和也构成一一对应.如果对于任意目运算,及其对应的运算,当时,都有,则称代数是的同态象,称是从到的一个同态映射;定义同态象、同态映射：若和是两个同类型的代数系统,和都是二目运算,映射.如果对于任何,都有,则称是的一个同态象,称是从到的一个同态映射;注：如果就是,则映射是从到它自身;当上述条件仍然满足时,我们就称是的一个自同态映射;定义同构、同构映射、自同构映射：如果和是同态的,映射不仅是同态映射,而且是一一对应．．．．的,则称和同构,称是从到的一个同构映射;如果就是,则称是上的一个自同构映射定义同余关系：设是一个代数系统,是上的一个等价关系,如果存在,当时,成立,则称是上的一个同余关系;定理：设～是上的一个等价关系,如果存在同态映射,使得当时,当且仅当,则～是上的同余关系;商代数与积代数定义子代数：设是一个代数系统,在运算下封闭的,则称是的一个子代数;定义直接积：设到是两个同类型的代数系统,如果对任意的和,定义运算于,称是和的直接积,称和为的因子;第2章半群和群半群和有幺半群定义半群、有幺半群：是一个非空集合,如果中定义了一个二目运算,对于任何,都有,则称是一个半群.如果半群中具有单位元,使得对任何,都有,则称是一个有幺半群;1是一个由有限个符号组成的集合,其中的元称为字母;表示所有的字构成的集合,表示非空串组成的集合;2自由半群：半群的各元相互间没有任何关系;说明：半群是一个定义了二目运算,并且服从结合律的代数系统;有幺半群则是具有单位元的半群;群和循环群定义群：在代数系统中,如果二目运算满足1对于任何,有；2中存在单位元,对任何,有；3对于任何,存在有逆元,使则称是一个群;注：对于群来说,单位元是唯一的,每个元的逆元也是唯一的;“存在逆元的有幺半群叫做群”定义阶数：若是一个群,当是有限集时,则称中元的个数为群的阶数,记为.定理若是一个群,,则,其中即.定义幂：是一个群,,则记个的积为,称为幂,记为表示单位元;定理指数律：若和是整数,则.定理若则定义次数：若是一个群,,使的最小正整数,称为元的次数;定理若是一个群,,的次数为,则都是中不同的元;定义循环群、生成元：由一个单独元素的一切幂所组成的群称为循环群,称为这个群的生成元;定理在阶数为的循环群,由生成元所产生的元次数为,即是生成元的充分必要条件是和互质;定理若和不是互质的,则的次数是,其中的是和的最小公倍数;定义阿贝尔群：如果群中的元对于运算满足交换律,则称这个群是一个阿贝尔群; “满足交换律的群叫做阿贝尔群”循环群是一个阿贝尔群;定理若和都是有限的阿贝尔群,定义则是一个阿贝尔群;最简单的一个阿贝尔群是群,为按位加二面体群、置换群二面体群是从图形的变换中到处,这些图形都是比较正规的图形;定理更一般地讲,定义置换：若是一个非空的有限集合,则上任何一个到它自身的一一对应的映射,都称为上的置换;定理两个置换的乘积仍是一个置换,并且置换的乘积服从结合律;的恒等映射也是一个置换称为单位置换;上所有置换的集合,对于置换乘法构成一个群,这个群称为对称群,记为,是中元的个数;定义阶置换群若是非空有限集合,是上的个置换所构成的群,则称是一个阶置换群; 定理任何一个阶群都同构于一个阶置换群;子群、群的同态定义子群：是一个群,,如果1单位元2若,则的逆元3若,则则称是的一个子群;定理是一个群,,是一个子群的充分必要条件是：若,则定义同态象、群同态映射：和是群,.若对任何,有群的同态映射具有下列性质：1将单位元映射为单位元2将逆元映射为逆元3对运算封闭,即对任何,有定理若和是群,是一个群同态映射,则将的子群映射为的子群;定义同态核：若是一个群同态映射,是的单位元,则中所有满足的元的集合,称为同态核,记为.定理同态核是一个子群;定理若是群的子群,则定义了上的一个划分因而也定义了上一个等价关系. 群子集：假定都是群中的元构成的集合称之为群子集,定义特别地,当是一元集时,我们简记为,则定理若是群的子群都是群的子群,则是一个群的充分必要条件是.陪集、正规子群、商群定义左陪集：若是群的子群,对于,称称为的一个左陪集. 定理若是群的子群,则的所有左陪集构成的一个划分;定理拉格朗日定理每个左陪集的元和中的元都是一样多;推论子群中元的个数一定是群中元的个数的因子;定义正规子群：若是群的子群,对于任何,都满足,则称是群的一个正规子群.一个阿贝尔群的任何子群都是正规子群;当是群的正规子群时,对于关于的陪集.定义运算为考虑所有关于的陪集组成的集合和运算构成的系统为一个群;这个群称为关于的商群,记为.定理若是从群到群的映上的同态映射,则核是正规子群,商群同构于.群同态基本定理：商群是由陪集构成的群,也是同余类的集构成的群,所以它同构于象代数,即同构于.如果群没有真正的正规子群,则该群为单群;正规群的任何子群都是正规子群;第3章格和布尔代数格定义格：表示一个偏序集,如果对于中的任何两个元和,在中都存在一个元是它们的上确界,存在一个元是它们的下确界,则称是一个格;对于中的元,它们的上确界常常记为,它们的下确界常常记为,前者又称为和析取或和或,后者又称为和的合取或积或或;定理若是一个格,则对于任何,有（1）的充分必要条件是.（2）的充分必要条件是.定理保序性若是一个格,则对于任何,当时,有引理若是一个格,,则定理分配不等式：若是一个格,则对于任何,定理模数不等式若是一个格,则对于任何,的充分必要条件是定理若是一个代数系统,和是上的二目运算,它服从交换律、结合律和吸收律.则是一个格.定义子格是一个格,,当且仅当对于运算和是封闭的,运算结果和在中相同时,则称代数系统是的一个子格;定义直接积若和是两个格,则称为这两个格的直接积,其中的运算和定义为：对于任何的,定义同态映射设和是两个格,.如果对任何,有则称是到的一个同态映射.特别地,当是一个一一对应时,称是一个同构映射,并且称格和同构的;如果是格上一个同态映射,则称是一个自同态映射.如果是一个同构映射,则称是一个自同构映射.定义完备：对于一个格,如果它的每一个非空子集在格中都具有一个上确界和下确界,则这个格称为完备的;显然每个有限的格都是完备的;对于一个格,它的上确界和下确界如果存在,我们称它们为这个格的边界,并分别记为1和0,因此有时这种格称为有界格;定义补元：是一个有界格,,如果存在元,使且,则称为的补元;定义补格：中的每个元都至少具有一个补元,则称这个格是一个补格;定义分配格：是一个格,如果对任何,有则称是一个分配格;定理任何两个分配格的直接积是分配格;定理若是一个分配格,则对于任何,如果,并且,则推论如果一个格是分配格,同时又是补格,则它的每一个元都具有唯一的一个补元;布尔代数定义布尔代数一个既是补格,又是分配格的格,称为布尔代数;定义对偶命题如果是一个布尔代数,是关于中变元的一个命题,它可以由中变元元通过运算来表示.如果对的表示式进行下列代换：代换为；代换为；代换0；0代换为1,则这样代换后也将得到一个命题,它成为命题的对偶命题,简称为对偶;定理对偶原理如果是一个命题,它在任何一个布尔代数中都成立,并且可以由运算来表示,则对它的对偶命题也在任何一个布尔代数中成立;定理对偶原理如果是一个命题,它在任何一个布尔代数中都成立,并且可以由运算和关系来表示,则将中的运算代换为；代换为；0代换为1,代换0；换为,换为,所得到的对偶命题也在任何一个布尔代数中成立;定理若和是两个布尔代数,是一个同态映射,则在中的同态象是的一个子布尔代数;定义基元：是一个布尔代数,,如果中不存在元,使,则称是的一个基元;如果对于任何都存在有基元,则称这个布尔代数是基元的; 定理若是一个布尔代数,,则下列命题是等价的;1是一个基元2对于所有的,若,则或3对于所有的,推论若和是不同的基元,定理是一个基元的布尔代数,是其基元的集合,对任一令,则,并且作为基元的析取式,这个表达式是唯一的;定理若是一个非空有限的布尔代数,是它的所有基元构成的集合,则同构.推论一个有限的布尔代数具有个元,其中的是它的基元的个数;推论对于任意正整数,具有个元的布尔代数是同构的;其他代数系统定义环若代数系统满足下列条件：1对于二目运算是一个可交换的加法群;2对于二目运算即乘法是封闭的;3乘法结合律成立,即对中任何三个元和,有4分配律成立,即对中任何元和,有则称是一个环;定义交换环一个环中的任何两个元,如果都满足,则称是一个交换环;定义逆元、零元一个环中如果存在有元,使得对中任何一个元都有,则称是的一个单位元;定义逆元、零元在一个有单位元的环里,如果和是环中的元,满足,则称是。
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
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满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
高等数学教学ppt离散数学_集合论_映射_关系
2.1相关定义
• 定义9：函数复合，不同函数对原像的多重 映射。
2.2练习
•determin whether each of these functions is a bijection from R to R a)f(x)=-3x+4 b)f(x)=-3x^2+7 c)f(x)=(x+1)/(x+2) d)f(x)=x^5+1
• 定义6：对于共域(codomain)中的每一个元 素，都能在定义域(domain)找到它的原像， 这样的函数 被称为满射
• 定义7：如果函数既是单射也是满射，那么 他被称为双射(或一一映射)
• 定义8：一一映射f的反函数就是以共域中的 元素为原像，映射到f的定义域中的唯一元 素的函数，记做： f 1 （用y表示x，然后 变量替换即可）
• 定义6：有序n元组就是由n个有序元素组成 的结构（排列与组合）
• 定义7：集合A与集合B的笛卡尔积记为 AxB(结果是一个集合，集合元素是一个二 元组，不满足交换律)
1.2集合的相关操作
• 并集 • 交集 • 差集：A-B，在A中并且不在B中的元素 • 德摩根律： ------------- --- ---
集合与映射
1.1相关定义
• 定义1：一组无序，不重复的元素的集合 • 定义2：如果集合包含元素完全相同，那么
集合相等；反之也成立 • 定义3：如果集合A的任意一个元素都是集
合B的元素，那么A是B的子集 • 定义4：集合有n个不同的元素（n>=0），
集合被称为有限集且集合的基数为n
1.1相关定义
• 定义5：集合S的幂集(power set)，就是集 合所有子集的集合，用P(S)表示
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结（仅供参考）1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤：首先应是陈述句；其次要有唯一的真值。
例：（1）我正在说谎。
不是命题。
因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎，则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。
这其实是一个语义上的悖论。
悖论不是命题（2）x-y ＞2。
不是命题。
因为x, y的值不确定，某些x, y使x−y＞2为真，某些x, y使x−y＞2为假，即x−y＞2的真假随x, y的值的变化而变化。
因此x−y＞2的真假无法确定，所以x−y＞2不是命题。
2.命题可以分为两种类型：原子命题（不能再分解为更简单命题，又可称为简单命题）；复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题）3.命题常元：一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元命题变元：如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元注：当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派4.联接词：（1）否定联接词：﹁假为真，真为假；还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并不”等多种方式表示否定（2）合取联接词：∧一个为假就为假还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等多种方式表达合取（3）析取联接词：∨一个为真就为真；一般用或表示注：联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。
但自然语言中的“或”既可以是“排斥或”也可以是“可兼或”。
例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。
（排斥或）例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。
（可兼或）例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。
（既不表示“可兼或”也不表示“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结词，故例1.8是原子命题。
离散数学 集合
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
12
离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
2
离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学教案
滁州学院计算机与信息工程学院课程教案课程名称：离散数学授课教师：赵欢欢授课对象：11级网络工程专业3、4班授课时间：2012年9月-2012年12月滁州学院计算机科学与信息工程学院2012年8月《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematic）课程代码：学时：48 学分：3一、课程简介本大纲根据2009版应用型人才培养方案制订。
（一）教学对象：网络工程、计算机科学与技术专业本科学生（二）开课学期：第三学期（三）课程类别：专业基础课（四）考核方式：考试（五）参考教材：《离散数学》第2版邓辉文清华大学出版社2010.主要参考书目：[1]邵学才,叶秀明. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2009.[2]邵志清,虞慧群. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2003.[3]屈婉玲. 离散数学习题解析[M].北京大学出版社，2008.本课程的先修课程是高等数学、线性代数，后续课程包含数据结构、数据库原理及应用、操作系统、数字逻辑、人工智能、算法分析与设计等。
二、教学基本要求与内容安排（一）教学目的与要求离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的学科,它在各学科领域特别在计算机科学领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。
本课程的教学目的旨在通过对离散数学的教学，让学生不但可以掌握处理如集合、代数结构和图等离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且为学生今后提高专业理论水平，从事计算机行业的实际工作提供必备的抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
（教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）三、实验内容本课程无实验制订人（签字）：审核人（签字）：教学进度表系主任签名：院长签名：年月日年月日说明：1．本教学进度表由主讲教师负责填写，于每学期开学第一周内送交教师所在系，经领导审定、签字后备查。
2．此表一式三份，其中，任课教师一份，教师所在系一份，教务处一份。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。
[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。
2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。
[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。
解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
1.1-集合的基本概念(离散数学)
幂集的性质
1.
为有穷集， 若A为有穷集，|A|=n，则 为有穷集 ， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。 是两个集合， 当且仅当 设 A、 B是两个集合 ， AB当且仅当 、 是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象， 集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立， 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。 同特征。 例如： 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车 地球 是汽车},地球 是汽车 地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法；将集合中的元素一一列举， 列举法；将集合中的元素一一列举， 或列出足够多的元素以反映集合中元 素的特征，例如： 素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。 。 描述法 ；通过描述集合中元素的共同 特征来表示集合，例如： 特征来表示集合，例如： V= {x|x是元 是元 音字母} 是自然数} 音字母 ，B= {x|x=a2 , a是自然数 是自然数
空集、 空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合， 约定，存在一个没有任何元素的集合， 称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。 来表示。 约定， 约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作 或U，我们所讨论 ，记作E或 ， 的集合都是全集的子集 全集是相对的。 的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 全集
《离散数学》考试大纲
《离散数学》课程考试大纲一、考试对象修完本课程规定内容的计算机科学与技术、网络工程、软件工程专业本科学生。
二、考试目的考核学生对《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法的掌握和运用能力, 属水平测试。
三、考试的内容和要求第一章集合考试内容：集合的概念、集合的表示、集合的基本运算、笛卡尔积。
考试要求：1、理解集合概念的本质和内涵；2、熟悉集合的各种表示方法；3、掌握集合的四种基本运算。
第二章关系考试内容：关系及其表示、关系的运算、等价关系、划分、序关系。
考试要求：1、理解关系的概念，会用关系表示对象之间的联系；2、掌握关系的运算；3、了解等价关系与划分之间的联系；掌握序关系的性质。
第三章映射考试内容：映射的基本概念、单射、满射、双射、映射的运算。
考试要求：1、理解映射的基本概念；2、掌握单射、满射、双射之间的关系；3、熟悉映射的运算。
第四章可数集与不可数集考试内容：集合的等势、集合的基数、可数集与不可数集。
考试要求：1、掌握等势的概念；2、了解基数之间大小比较；3、理解可数集与不可数集之间的本质区别。
第五章图与子图考试内容：图的概念、图的同构、子图及图的运算、途径、链、通路、连通图、图的矩阵表示。
考试要求：1、掌握图的基本概念，了解各种特殊的图；2、熟悉图的同构，掌握途径、链、通路之间的关系；3、了解连通图的各种性质。
第六章树考试内容：树的概念、树的几种等价定义、生成树及其应用。
考试要求：1、掌握树的几种等价定义；2、了解生成树的构造；3、熟悉生成树应用。
第七章E图与H图考试内容：E图；H图；应用。
考试要求：1、熟悉E图与H图的概念；2、掌握E图与H图的关系。
第八章平面图考试内容：平面图的概念；欧拉公式。
考试要求：1、掌握平面图的概念；2、熟悉欧拉公式的应用。
第九章有向图考试内容：有向图的概念、有向树及其应用。
考试要求：1、了解有向图与无向图的联系与区别；2、熟悉有向树的各种基本概念及其基本应用。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学第1章集合映射运算
• (a) m, n Z, m|n: n = qm , q Z. m是n的 因数, n是m倍数. 2|6, -2|6, 2|-6, -2|-6. m|0, 0|0.
• (b) Dn表示n的所有正因数构成的集合, 如D6 = {1, 2, 3, 6}.
离散数学是计算机有关专业 重要的专业基础课程.
好好学习 天天向上
第1章 集合、映射与运算
1.1 集合的有关概念
本讲内容
1
集合
2
子集
3
幂集
4
n元组
5
笛卡儿积
1.1 集合的有关概念
• 1 集合 • 集合是数学中的最基本概念, 什么是集合? • 在一定范围内, 集合(set)是其具有某种特定
性质的对象汇集成的一个整体, 其中的每一 个对象都称为该集合的元素(element).
• (2) 为后继专业课程的学习作知识上的准备.
• (3) 培养各种能力: 抽象思维能力, 逻辑思维 能力, 计算思维(computational thinking,
2006, Jeannette M. Wing )能力,….
• (4) (教育部, 2009)离散数学是计算机各专业 的专业基础课.
• 程序设计语言 • 离散数学 • 数据结构与算法 • 计算机组成原理 • 计算机网络 • 操作系统 • 数据库 • 软件工程
C = {a, {a, b, c}}. • A B?
• 课堂练习: 习题1.1 4, 5.
本讲内容
1
集合
2
子集
3
幂集
4
n元组
5
笛卡儿积
离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案
2.证明:集合 关于数的加法运算不封闭.
证由于 ，而 ，所以A关于数的加法运算不封闭.
3.设 ，求出 上的2元代数运算的个数.
解考虑A关于2元代数运算*的运算表，在运算表中需要填运算结果的有 个位置，而显然每个位置填 中任意一个元素均可，于是任意一种填充元素的方法都是A上一种代数运算，因此A上的2元代数运算的个数为 .
14.试举例说明，映射的复合运算 不具有消去性.
解例如取 ， ，则经过计算可知 ，但 ，这说明映射的复合运算 不具有消去性.
15.令 表示集合 上所有置换组成的集合.
(1)列出 关于复合映射“ ”的运算表.
(2)并指出 关于复合映射“ ”的单位元素及 中每个元素的逆元.
解(1)由1.2节例6知， 上所有置换分别为
(2)多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.
解(1)对于任意 R[x]，显然有
，
，
所以多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律.
(2)对于任意 R[x]，由于多项式的乘法运算满足交换律且显然有
，
多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.
11.设 表示实数集R上的所有 阶方阵组成的集合，
(1)试验证：矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.
(2) 关于矩阵乘法的单位元素是什么? 中哪些元素关于乘法运算有逆元?
解(1)显然，对于任意 (R)，根据线性代数知，
且 ，
因此，矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.
(2)由于n阶单位矩阵 (R),且对于任意 (R)，根据线性代数知，
，
所以，n阶单位矩阵E是 关于矩阵乘法的单位元素.
同样根据线性代数知， 中只有可逆矩阵A才有逆元.
哈工大《离散数学》教科书习题答案
教材习题解答第一章 集合及其运算8P 习题3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}-4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆；c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈；e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆；g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆；i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈；k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真5.设有n 个集合12,,,n A A A L 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆L ，试证：12n A A A ===L证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆L ，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。
同理可得：134n A A A A ====L因此123n A A A A ====L6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。
（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。
那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。
离散数学第一章第3节
集合的对等关系是一个等价关系。 可以用对等关系重新来刻画什么是集合的基数：集合 按照对等关系分成等价类，每个等价类的共同的数量 特征，称为该等价类中集合的基数。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
逆映射(inverse mapping)
定义.设A,B是两个集合， 是A到B的1–1映射，则 的逆关系 -1称为的逆映射.（有的书中称为反函数） 对任意aＡ，都有 -1 ((a))＝a
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
有限集合的情形
集合C={x,y,z},集合D={1,2,3}
C x y z
D 1 2 3
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
把相当于有限集合的元素数的概念推广到一般 集合，称之为集合的基数(势，浓度)。集合A的 基数记为|A|。
பைடு நூலகம் 数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
显然，集合A为有限集当且仅当它以某一非负整数为 其基数，即存在一非负整数n使得A=n。即集合A的元 素个数是n。 把自然数集合的基数记为0（读作阿列夫零），于是 凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A|=0
数理学院
数理学院school数理学院schoolphysics131集合的基数基数是集合的一个重要特征基数的研究是纯集合论研究的一个极其重要的方向但它作为离散数学课程的一部分只是为了使读者对基数概念有一个正确的认识并借此加深对映射概念的理解提高正确运用映射工具的能力获得一些特定的研究方法如对角线法
离散数学集合及运算
离散数学集合及运算离散数学是计算机科学的基本学科之一，也是计算机学习和研究的重要基础。
集合和运算是离散数学中最基本的概念之一，也是计算机学习过程中最基础的概念之一。
本文主要介绍集合及运算的相关概念。
一、集合的定义在数学中，集合是一组确定的对象的集合。
它们可以是数、字母、变量、符号、函数或其他数学实体。
集合是以大写字母表示的，属于这个集合的元素以小写字母表示。
例如，集合A可以包括元素a、b和c，表示为A={a，b，c}。
集合中没有重复的元素，但元素的顺序是不重要的。
例如，集合{a，b，c}和{c，a，b}是相等的，因为它们包含相同的元素。
二、集合的运算1. 并集对于两个集合A和B，它们的并集就是包含A和B的所有元素的集合。
简单而言，对于集合A和B，A ∪ B就是由A和B中的元素组成的集合。
例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A ∪ B={a，b，c，d，e}。
并集也可以扩展到多组集合的情况。
例如，如果有三个集合A、B和C，它们的并集可以表示为A∪B∪C。
2. 交集对于两个集合A和B，它们的交集是指它们共有的元素所组成的集合。
简单来说，如果一个元素同时属于集合A和集合B，那么这个元素就属于A和B的交集。
例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A ∩ B={c}。
同样地，交集也可以扩展到多组集合的情况。
例如，如果有三个集合A、B和C，它们的交集可以表示为A∩B∩C。
3. 补集对于一个集合A和它包含的全集U，它的补集是指所有不属于集合A的元素构成的集合。
简单来说，补集就是相对于全集的补集。
例如，如果集合A={a，b，c}，全集U={a，b，c，d，e}，那么A的补集就是U-A={d，e}。
4. 差集对于两个集合A和B，它们的差集是指所有属于集合A但不属于集合B的元素所构成的集合。
简单来说，差集就是集合A中除了集合B以外的所有元素构成的集合。
例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A-B={a，b}。
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。
离散数学大一第1章知识点总结
离散数学大一第1章知识点总结离散数学是一门学科，它主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续的数学结构和连续的数学对象。
离散数学在计算机科学、信息科学、数学、电子工程等领域有着广泛的应用。
离散数学的第1章主要介绍了一些基本概念和基础知识。
这些知识对学习离散数学后续的内容起到了铺垫作用。
首先，我们来讨论集合的概念。
在离散数学中，集合是一个基本的概念。
它是指具有确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
集合可以用列表、描述、特征等方式表示。
在集合中，元素的顺序是不重要的，而且每个元素只能在集合中出现一次。
集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。
接下来，我们介绍了逻辑的基本概念。
在离散数学中，逻辑主要研究命题和命题之间的关系。
命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。
逻辑运算符包括否定、合取、析取、条件、双条件等。
通过使用逻辑运算符，我们可以构建复合命题。
离散数学中还介绍了数学归纳法。
数学归纳法是一种证明方法，它用于证明与自然数有关的命题。
数学归纳法的基本思想是：首先证明基础情况成立，然后假设一个数k的情况成立，再证明k+1的情况也成立。
通过这种方式，我们可以证明自然数的某个性质对所有数值都成立。
离散数学的第1章还介绍了关系和函数。
关系是一个集合，其中包含了有序对。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
函数是一种特殊的关系，它的每一个输入都有且只有一个输出。
函数可以表示为图表、公式或算法的形式。
函数的定义域和值域是函数的重要概念。
另外，离散数学的第1章还介绍了图论的基础知识。
图是由节点和边组成的结构。
节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图可以是有向的、无向的、加权的、连通的等。
图的表示方法包括邻接矩阵和邻接表等。
总的来说，离散数学的第1章主要介绍了集合、逻辑、数学归纳法、关系、函数和图论的基本概念和基础知识。
这些知识对后续章节的学习至关重要，构建了离散数学的基础框架。
离散数学练习题
离散数学练习题Chapter 1 集合、映射与运算1. 下列集合运算的结果中与其余三个不同的是（）.（A ）{}ΦΦ（B ）{}{}ΦΦ（C ）{}{}{}Φ-ΦΦ, （D ）{}{}{}{}Φ-ΦΦ, 2. 设A 为⾮空集合,则下列各式中正确的是（）.（A ）)(A P A ? （B ）)(A P A ? （C ）{})(A P A ∈（D ）{})(A P A ? 3. ( )是错误的.（A ）{}{}{}a a ∈（B ）{}{}{}a a a ,∈（C ）{}{}{}a a a ,? （D ）{}{}{}a a ? 4. 设{}{}a a A ,=,下列各式中错误的是（）.（A ）{}()A P a ∈（B ）{}()A P a ? （C ）{}{}()A P a ∈（D ）{}{}()A P a ? 5. 设{})(,A P B A =Φ=,则A B -是（）. （A ）Φ（B ）{}Φ（C ）{}{}Φ（D ）{}{}ΦΦ, 6. 对任⼀集合A ,能成⽴的是（）.（A ）)(A P A ∈（B ）{})(A P A ∈（C ）Φ-∈A A （D ）Φ⊕∈A A 7. 证明a) A C B A C A B -=--)()()( b) )()()(C B C A C B A ---=-- c) ()()()C A B A C B A -=-- 8. 下列等式说明集合A,B 有何关系? a) A B A =b) A B A =c)A B A =-d) A B B A =e) A B B A -=-9. 判断题.（1）设2N ,3N 分别为2,3的倍数集,则{}N N 3,2是N 的划分. （）（2）若{}A B B A -, 是B A 的⼀个划分,则Φ=-B A . （）（3）若Φ==B A B B A ,,则Φ=A . （）（4）若A B B A ?=?,则B A =. （）（5）设B A ,为任意集合,则有()()()B P A P B A P = （）（6）若Φ=-B A ,则B A =.（）10. 求1000~1中能被8,6,5之⼀整除的整数个数.11. 在校运会中,某班有10⼈,12⼈,8⼈分别参加了长跑,短跑和跳远,其中有6⼈三项全参加.已知该班共40⼈,问该班⾄少有多少⼈没有参加任何项⽬？12. 设}}{{5,2,1,4,3,2,1==B A ,求)()(B P A P ⊕.参考答案： 1-6：CDDBCA7. a) ()()()右左===A C B A C A B b)右=()()()()()()()C B A C C A B C A C B C A C B C A ====左c)左=()()()()()C A B A C B A C B A C B A ===-=右 8. a)A B ?, b)B A ?, c)Φ=B A , d)⽆, e)B A = 9.×√√××× 10. 20051000=, 16661000=,12581000=, 33651000=?,25851000=?,41241000=,81201000=??200+166+125-33-25-41+8=40011.40-(10+12+8-6-6-6+6)=2212.16Chapter 2 关系1. 设S R ,是集合A 上的等价关系,则是等价关系. （）（A ）R A A -? （B ）2R （C ）S R - （D ）()S R r -2. 设A 为某⼀⾮空集合,)(A P 为A 的幂集,在)()(A P A P ?上定义函数:f ()=21,S S f ()2121,S S S S ,)(,21A P S S ∈?,则f 是 .（）（A ）单射但不是满射（B ）满射但不是单射（C ）双射（D ）既⾮单射⼜⾮满射3. 集合A 上的关系21,R R 具有下列哪个性质,使21R R 也具有同样的性质？（）（A ）⾃反（B ）反⾃反（C ）对称（D ）传递4. 设4=A ,则A 上有个等价关系. （）（A ）11 （B ）14 （C ）15 （D ）175. 若A 上的函数f 满⾜A I f=2,则f 是双射. （） 6. 若A 上的函数f 满⾜A I f =3,则f 是双射. （） 7. 若集合A 上的关系21,R R 都是⾃反的,则21R R 也是⾃反的.（）8. 设n A =,则A 上有个关系,有个⾃反关系,有个函数,有个双射.9. 设集合{}c b a S ,,=,求S 上所有满⾜b a f =)(且f f=2的函数10. 已知(){}1,,,=-∈=i j I j i j i R ,求R 的三种闭包. 11. 设n A =,则A 上有多少商集的基数为2的等价关系？ 12. 设{}4,3,2,1=A ,在)(A P 上规定关系R 如下：(){}T S A P T S T S R =∈=),(,,,证明R 是)(A P 上的等价关系,并写出商集R A P /)(.13. +I 上的关系R 定义如下：21Rn n 当且仅当21/n n 能表⽰成m2的样⼦, m 是任⼀整数.（1）证明R 是⼀等价关系；（2）R 下的等价类是什么？参考答案：1 B2 D3 A4 C 5√ 6√ 7√ 8. ()!,,2,222n n n nnn -9.()()(){},,,,,,1b c b b b a f =()()(){}c c b b b a f ,,,,,2=10. (){}r R i j i j I j i or j i (),,,1=∈-==(){}s R i j i j I j i (),,,1=∈-=(){}t R i j i j I j i (),,,=∈>11.12)(211121-=++--n n n n n C C C 12. R 满⾜⾃反、对称、传递性,所以是等价关系；(){}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{4,3,2,1,4,3,2,4,3,1,4,2,1,3,2,1 ,4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,4,3,2,1,/Φ=R A P13. （1）02/=n n ,所以⾃反;m m n n n n -=?=2/ 2/1221,所以对称；lm l m n n n n n n +=?==2/2/,2/313221, 所以传递,所以R 是等价关系（2）[]{}++∈-=I n n R I 12 /RChapter3 命题逻辑单项选择:1. 下列哪个语句是命题？（）（A ）⼈可以长⽣不⽼. （B ）真没劲！（C ）本命题为假. （D ）你吃过了吗？2. 下列语句中哪个是真命题？（）（A ）我在说假话. （B ）如果1+2=3,那么雪是⿊的.（C ）严禁吸烟！（D ）如果疑问句是命题,那么地球将停⽌转动. 3. 下⾯哪个公式不是永真式？（）（A ）()Q P Q ∨→（B ）()P Q P →∧（C ）()()Q P Q P ∨?∧?∧? （D ）()()Q P Q P ∨??→ 4. 下⾯哪个公式是永真式？（）（A ）R Q P ∨→（B ）()()R P Q P →∧∨（C ）()()R Q Q P ∨?∨（D ）()()Q P Q P ∨??→ 5. 是错误的. （）（A ）()P P Q P ∨∧= （B ）()()P Q R P Q R→→=∧→（C ）()()()P Q R Q P R Q →∧→=∨→（D ）()()P Q Q R P R →∧→=→填空题：1. 公式()()()R P Q Q P ∧?→??→可化简为 .2. 公式()()R P Q P P →∨→?∨可化简为 .3. 公式Q P ∨的仅⽤→和?表⽰的逻辑等值式为 .4. 公式Q P ∧的仅⽤→和?表⽰的逻辑等值式为 .计算或证明:1. 求下列公式类型：（1） )()(P Q Q P ?→?→→（2）)()(Q P Q p ∨?→? （北师⼤2000年考研试题）2. 给出真值表：(a) )()(Q P Q P ∧→∨ (b) )(R Q P ∨?→3. 形式证明：()()()E B S A B C F E C B A →??∧→?→?→∧→,,4. 形式证明：()()D C B A →∧→,E B →,F D →,()F E ∧?,C A → ? A ?.5. ⽤推理规则说明()C A C B B A ∧∧?→,,能否同时为真.6. 在某次研讨会的中间休息时间,3名与会者根据王教授的⼝⾳猜测他是哪⾥⼈：甲说王教授不是苏州⼈,是上海⼈；⼄说王教授不是上海⼈,是苏州⼈；丙说王教授既不是上海⼈,也不是杭州⼈.听完3⼈的判断后,王教授笑着说,3⼈中有⼀⼈说得全对,有⼀⼈说对了⼀半,另⼀⼈说得全不对.试⽤真值表⽅法判断王教授到底是哪⾥⼈？7. 公安⼈员审查⼀件盗窃案.已知的事实如下： (1) 甲或⼄盗窃了名画；(2) 若是甲盗窃了名画,则作案时间不可能在午夜前； (3) 若⼄的证词正确,则午夜时屋⾥灯光未灭； (4) 若⼄的证词不正确,则作案时间在午夜前； (5) 午夜时屋⾥灯光灭了,将各命题符号化,推断是谁盗窃了名画,并⽤形式⽅法证明推理的有效性.8. 将下⾯推理符号化并形式证明推理的有效性：如果甲努⼒⼯作,那么⼄或丙感到愉快；如果⼄愉快,那么甲不努⼒⼯作；如果丁愉快,那么丙不愉快；所以,如果甲努⼒⼯作,那么丁不愉快.参考答案：选择1-5: A D C D D 填空：1.()()()P Q Q P R R R 1→??→?∧=∧=；2. ()()R P Q P P →∨→?∨=()()R P Q P P →∨?∧∨()P P R P P R ()1=∨→=∨?∨= 3. P Q P Q ∨=?→4. P Q P Q P Q ()()∧=??∨?=?→?.计算证明：1．解（1）)()(P Q Q P ?→?→→=)()(P Q Q P ?∨→∨? =)()(P Q Q P ?∨∨?∧=)()(P Q Q P Q P ?∨∨?∧?∨∨=1 永真式(2) 若P 和 Q 都为真, 命题为假; 若P 和 Q 都为假, 命题为真, 因此为中性式. 3．证（1） B P(附加) （2） ()S A B ?∧→ P（3） S A ?∧ T （1）,（2）I （4） A T （3）I （5） ()C B A ∧→ P （6） C B ∧ T （4）,（5）I （7） C T （6）I （8） ()C F E ?→?→ P（9） ()F E ?→? T （7）,（8）I （10） ()F E ?∨?? T （9）E （11） F E ∧ T （10）E （12） E T （11）I（13） E B →CP 4．证(1) A P(附加) (2) ()()D C B A →∧→ P(3) B A → T(2)I (4) B T(1),(3)I (5) E B → P(6) E T(4),(5)I (7) C A → P(8) C T(1),(7)I (9) D C → T(2)I (9) DT(8),(9)I(10) F D → P(11) F T(9),(10)I (12) F E ∧ T(6),(11)I (13) ()F E ∧?P(14) ()()F E F E ∧?∧∧ T(12),(13)I 5．解（1）C A ∧ P（2）A T （1）I （3）B A → P（4）B T （2）,（3）I （5）C T （1）I（6）C B ∧ T （4）,（5）I （7）()C B ∧? P（8）()()C B C B ∧∧∧? T （6）,（7）I 所以不能同时为真. 6.解甲⼄丙是杭州⼈是苏州⼈是上海⼈01∧ 01∧ 01∧ 00∧ 11∧ 11∧ 11∧ 00∧ 10∧所以是上海⼈.7．解设：:P 甲盗窃了名画；:Q ⼄盗窃了名画；:R 作案时间在午夜前；:S ⼄的证词正确；:T 午夜时灯光灭了. T R S T S R P Q P , , , ,→??→?→∨证（1）TP（2）T S ?→ P（3）S ?T （1）,（2）I （4）R S →? P （5）R T （3）,（4）I（6）R P ?→P（7）P ?T （5）,（6）I （8）Q P ∨P（9）Q T （7）,（8）I 所以是⼄盗窃了名画.8．解设P ：甲努⼒⼯作；Q ：⼄感到愉快；R ：丙感到愉快；S ：丁感到愉快.S P R S P Q R Q P ?→??→?→∨→ , ,证：（1）PP(附加)（2）R Q P ∨→ P （3）R Q ∨ T （1）,（2）I（4）P Q ?→P（5）Q ?T （1）,（4）I （6）R T （3）,（5）I （7）R S ?→ P（8）S ?T （6）,（7）I（9）S P ?→CPChapter 5 群单项选择:1. 下列集合中, 对普通加法和普通乘法都封闭. （）（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}N n n∈22. 在⾃然数集N 上,下⾯哪种运算是可结合的？（）（A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -3. 有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？（）（A ）ba b a =*（B ）()1ln 22++=*b a b a（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*4. 下列代数系统,哪个是独异点？（）（A ）()22,,b a b a R +=（B ）()333,,b a b a R +=**（C ）()max ,I （D ）()表⽰最⼤公约数GCD GCD I ,,+.5. 下列各个N 的⼦集,哪个关于加法封闭？（）（A ）{}整除的某次幂能被6x x （B ）{}互质与5x x（C ）{}的因⼦是30x x（D ）{}N n x x n∈=,26. 下列运算中,哪种运算关于整数集I 不能构成半群？（）（A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*7. 运算*定义为： b a b a ?=*,则代数系统()*,R 是（）（A ）半群（B ）独异点（C ）群（D ）交换群 8. 设{}1,0=S ,则代数系统()?,S 是（）（A ）半群（B ）独异点（C ）群（D ）交换群 9. 具有多个幂等元的半群,它（）（A ）不能构成群（B ）不⼀定能构成群（C ）必能构成群（D ）能构成交换群10. 设实数集R 上的运算*定义为：x y x =*,则()*,R （）（A ）不是代数系统（B ）是半群,但不是独异点（C ）是独异点,但不是群（D ）是群.11. 运算*定义为:ab b a b a -+=*,则代数系统()*,Q 的单位元是（）（A ）a （B ）不存在（C ）1 （D ）012. 代数系统()*,R 中*表⽰普通乘法,下列映射中是R R →的⼀个⼦集的同态. （A ）2x x →（B ）x x 2→（C ）xx 2→（D ）x x -→是⾮题1. 设),(*S 是代数系统,S B ?,则()*,B 是),(*S 的⼦代数系统. （）2. 设),(*S 是代数系统,S a ∈,若a 的左、右逆元均存在,则必相等.（）3. 若代数系统的右零元存在,则必唯⼀. （）4. 若()()**,,,B A 都是群()*,G 的⼦群,则()*?,B A 也是()*,G 的⼦群.（）5. 设),(*S 是半群,若l θ是左零元,则对l x S x θ*∈?,仍是左零元.（）6. 设),(*S 为可交换独异点,{}x x x S x x T =*∈=,,则T 也是独异点.（） 7. 设),(*G 为独异点,若对,,e a a G a =*∈?有其中e 是单位元,则),(*G 是交换群.（）8. 除了单位元以外,⼀个群没有其他幂等元. （） 9. 设{}I n m G n m ∈=,23,则()?,G 是群. （）计算与证明1．设{}0-=*R R ,在R R ?*上定义运算*如下: ()()()d bc ac d c b a +=*,,,,()()R R d c b a ?∈?*,,,,证明: ()*?*,R R 构成群. 2. 设()*,G 是群,若对任意G x ∈,有x x=-1,则()*,G 是交换群.3. 设()*,A 是⼀个半群,且满⾜以下条件：A b a b a a b b a ∈?=?*=*,,,证明：（1）A a ∈?,有a a a =*；（2）A b a ∈?,,有a a b a =**；（3）A c b a ∈?,,,有c a c b a *=**.4. 设u 是群()*,G 中取定的元素,在G 中定义运算b u a b a **=-1: ,其中1-u 为u 在群()*,G 中的逆元.证明：() ,G 也是⼀个群.5. 设()*,G 是交换群,()()**,,,B A 是它的⼦群,{}B b A a b a ABC ∈∈*==,,证明：()*,C 也是()*,G 的⼦群.6. 设()*,1H ,()*,2H 是群()*,G 的两个互不包含的⼦群.证明:G 中存在元素既不属于1H ⼜不属于2H .参考答案CBDBADABABDA FFFTTTTTT1．证 (1) 运算*在R R ?*上封闭,所以()*?*,R R 构成代数系统； (2) ()()()()),(,),(,,f e d bc ac f e d c b a *+=**()()f de bce ace f e d bc ace ++=++=,)(,,()()()()f de ce b a f e d c b a +*=**,,),(),(,()f de bce ace ++=,,所以满⾜结合律；(3)单位元()0,1=e ； (4) ()??-=-a b a b a ,1,1综上所述, ()*?*,R R 构成群.2．证 ()()x y x y y x y x *=*=*=*---111,即*可交换.3．证（1）由结合律,()()a a a a a a a a a *=?**=**；（2）()()()()a b a a a a b a a a b a a b a a a b a a **=?***=***=***=***；（3）)()(c a c b a ****c b a c a c b a **=****=)()()()()(c b a c a c b a c a ****=****=, ? c a c b a *=**.4. 证由*的封闭性可以得到的封闭性,结合律显然,关于的⼳元为u ,a 关于的逆元为u a u **-1,其中1-a 为a 关于*的逆元.5. 证（1）C d c b a ∈**?,,即 B d b A c a ∈∈,,,,因为()()**,,,B A 是群,B d b A c a ∈*∈*, ,⽽*可交换, ()()()()()()C d b c a d b c a d c b a d c ∈***=***=***=***∴b a , 即*在C 中封闭;（2）C e e e ∈*= 所以C 有单位元;（3）()C b a a b b a ∈*=*=*-----11111,所以C 中的元素可逆; （4）*在C 中显然满⾜结合律 . 综上所述,()*,C 构成()*,G 的⼦群.6. 证因为1H ,2H 互不包含,所以1H a ∈?但2H a ?,2H b ∈?但1H b ?,若1H b a ∈*,则11)(H b a a b ∈**=-,⽭盾,故1H b a ?*；同理,2H b a ?*,所以21H H b a ?*.chap6,7 图论补充练习1. 在任何图中必有偶数个的结点. （ B ）（A ）度数为偶数（B ）度数为奇数（C ）⼊度为偶数（D ）出度为偶数2. 下列序列中,哪⼀个可构成简单⽆向图的结点度数序列？（ B ）（A ）()3,2,2,1,1 （B ）()2,2,2,1,1 （C ）()3,3,3,1,0 （D ）()5,4,4,3,23. 设()m n ,图G 中有k N 个k 度结点,其余均为1+k 度结点,则k N 为（ C ）（A ）2n（B ）()1+k n （C ）()m k n 21-+ （D ）()m k n -+1 4. 附图不是 .（ C ）（A ）欧拉图（B ）哈密尔顿图（C ）⼆部图（D ）完全图1．证明：有k 个连通分⽀的简单⽆向图⾄多有)1)((21+--k n k n 条边．证设分⽀i G 是()i i m n ,图,k i ,,1 =,则()121-≤i i i n n m ,()11--≤≤k n n i ,∑==ki in n 1, ()()()()()k n k n n k n n n m m ki i k i k i i i i -+-=-+-≤-≤=∴∑∑∑===1211121121 1112. 设G 是边数30假设()n i v i ,,1,5deg =≥，由握⼿定理，()∑≥=n v m i 5deg 2，所以652363-?≤-≤m n m ,于是30≥m ,与已知条件⽭盾,于是结论成⽴. 3. 设G 是简单平⾯图,证明G 中⾄少有⼀个结点的度数⼩于等于5.证不妨设G 连通，否则考察G 的⼀个连通分⽀．设G 有n 个结点，m 条边，k 个⾯．若2≤m ，因为G 是简单图，结论成⽴；若3≥m ，()3≥∴i F d ，m k k m 32,32≤≥；假设()n i v d i ,,1,6 =≥，则n m 62≥，n m 3≥，由欧拉公式，032312=+-≤+-=m m m k m n ，⽭盾．4. 设G 为阶数11≥n 的简单⽆向图,且G 和G 均连通.证明：G 或G ⾄少有⼀个不是平⾯图.证 (反证)假设()1,m n G 和()2,m n G 都是平⾯图，⽽11≥n ，所以632,1-≤n m ,⽽()12121-=+n n m m ，所以()126121-≤-n n n ，或024132≤+-n n , 所以，1127313 <+≤n ，与条件⽭盾．所以G 和G ⾄少有⼀个不是平⾯图．5. 设G 为阶数7证假设G 和G 都不是平⾯图，由Kuratowsky 定理,G 和G 必含有与5K 或3,3K同胚的⼦图，即⾄少有9条边，于是G 和G 的边数之和()1812 1≥-n n ，7 ≥?n ,与7。
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本讲内容
1
集合
2
子集
3
幂集
4
n元组
5
笛卡儿积
• 2. 子集 • (1) A B
U AB
• 空集是任意集合的子集. • {}
• “小”
• (2) A = B
• Theorem 1-2 • (1) A A. • (2) A B, B A A = B. • (3) A B, B C A C.
• 素数集合P : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23等.
• (a) m, n Z, m|n: n = qm , q Z. m是n的 因数, n是m倍数. 2|6, -2|6, 2|-6, -2|-6. m|0, 0|0.
• (b) Dn表示n的所有正因数构成的集合, 如D6 = {1, 2, 3, 6}.
本讲内容
1
什么是离散数学
2
计算机专业为何要学离散数学
3
离散数学的基本内容
4
学习离散数学的方法
5
离散数学的学习资源
5、离散数学的学习资源
• 参考文献(均为国家精品课程):
– 屈婉玲, 耿素云, 张立昂, 离散数学, 高等教育出 版社, 2007. (108—144学时)
– 傅彦, 顾小丰, 王庆先, 离散数学及其应用, 高等 教育出版社, 2008. (两个学期)
• (3) 递归法 • 递归的思想: “知道他的过去, 就知道他的现
在; 知道他的过去和现在, 就知道他的将 来”. • N的递归定义: • (a) 0N. • (b)若nN, 则n的后继n+1N. • (c) 有限次使用(1)和(2)得到的元素是N中仅 有元素.
• 其他方法?
• Remarks • (i) 集合中的元素可以是任意元素, 如集合,
C = {a, {a, b, c}}. • A B?
• 课堂练习: 习题1.1 4, 5.
本讲内容
1
集合
2
子集
3
幂集
4
n元组
5
笛卡儿积
• 3. 幂集(power set)
P(X ) {A | A X}
• (X), 2X. • X = {a, b} P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
• 2元组常称为有序对(ordered pair)或序偶.
• (x, y)
{x, y}
本讲内容
1
集合
2
子集
3
幂集
4
n元组
5
笛卡儿积
• 5. 笛卡儿积(cross product)
A1 A2 ... An {( x1, x2,..., xn ) | xi Ai ,i 1,2,.., n}. n
• n = 2, n = 3:
• n = 2: (x, y).
(x, y) (y, x)
O
• 4元组?
n = 3: (x, y, z) (x, y, z)
O
• 一般说来(x, y) (y, x).
(x1, x2,..., xn ) ( y1, y2,..., yn ) xi yi ,i.
-through-videos/mathematics/discretemathematics.html
• (4) MIT(Massachusetts Institute of Technology):
• /OcwWeb/ElectricalEngineering-and-Computer-Science/6042JFall-2005/CourseHome/index.htm
• 5. 组合计数(Chapter 8)
• 各章内容之间的框架结构:
本讲内容
1
什么是离散数学
2
计算机专业为何要学离散数学
3
离散数学的基本内容
4
学习离散数学的方法
5
离散数学的学习资源
4、学习离散数学的方法
• 数学的学习方法
– 1. 预习
– 2. 听课
– 3. 复习
– 4. 作业
• 这样就可以专心致志地学好离散数学理论 知识, 在后继课程中有实际的应用价值.
• Theorem 1-3 A = B A B 且 B A.
• 注意 与 的不同: {a,b} A {a,b,{a,b},c} {a,b} A {a,b,{a,b},c}
• 例1-2 由A B, B C可否得出A C? • Solution 不成立,例如A = {a, b}, B = {a, b, c},
Applications》(世界上有600多所大学使用, 有影印本和翻译本)
• (2) ArsDigita University: /courses/discrete/index.php? view=cw
• (3) Harver Mudd College: • /education/learn
例如A = {a, {a, b}, b, c}. • {a, b}A.
S {A | A A}?
• (ii) 集合之间的元素原则上是没有次序的, 如 A = {a, {a, b}, b, c}就是 {a, b, c , {a, b}}.
• (iii) 集合中的元素原则上不重复, 如{a, {a, b}, b, b, c}还是集合A = {a, {a, b}, b, c}.
• 这里所指范围是全集U. U
• 在数学中常用{ }表示整体. • 可以将考虑的离散对象装在集合中…
• (classic set)若x是集合A中元素, 则记xA, 否 则xA.
U A
• N是自然数集合,包括数0 • Z是整数集合 • Z+是正整数集合(N+) • Q是有理数集合 • R是实数集合
• (c) 设p > 1, 若Dp = {1, p}, 则称p为素数 (prime).
• 表示集合的常用方法: • (1) 列举法: 将集合中的元素按一定规律列
举出来, 如{2, b, s, n}, N = {0, 1, 2, 3, …}, P?
• (2) 描述法: {x|x满足的条件}. • {x| 0< x < 5}, {x; 0< x < 5}
(x1, x2,..., xn ) x1, x2,..., xn [x1, x2,..., xn ]
{x1, x2,..., xn}?
• 线性代数中的n维向量(?)
(a1, a2,..., an )
• 元组在数据结构中是一个线性表、栈或队 列, 在数据库中是一条记录, 如(张三, 男, 19, 重庆).
离散数学是计算机有关专业 重要的专业基础课程.
好好学习 天天向上
第1章 集合、映射与运算
1.1 集合的有关概念
பைடு நூலகம்
本讲内容
1
集合
2
子集
3
幂集
4
n元组
5
笛卡儿积
1.1 集合的有关概念
• 1 集合 • 集合是数学中的最基本概念, 什么是集合? • 在一定范围内, 集合(set)是其具有某种特定
性质的对象汇集成的一个整体, 其中的每一 个对象都称为该集合的元素(element).
An A A... A {( x1, x2,..., xn ) | xi A,i 1,2,.., n}.
• 解析几何之父笛卡儿(R. Cartesian, 1596-1650)是法国数学家, “我思故我在”和“越 学习越发现自己的无知”是他的名言.
• 例1-4 设A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {}, 求A B, B A, A B C , B C.
• Hint
X {x1, x2,..., xn}
n A {•,•,...,•}: 2 2... 2 2n.
本讲内容
1
集合
2
子集
3
幂集
4
n元组
5
笛卡儿积
• 4. n元组 (抽象!) • Def 1-4 将n个元素(?)x1, x2,…, xn按一定顺序
排列就得到一个n元(有序)组(n-tuple).
• y = f(x) = x2 , ceiling function x , floor function x , …
4
学习离散数学的方法
5
离散数学的学习资源
1、什么是离散数学
• 离散: 分离、分开、拆散、分散、…. • 例如正整数、 土豆、 苹果、 人、计算机等.
• 离散 孤立: 社会网络(social networks)研究 人与人之间的关系, Internet研究计算机之 间的关系, WWW研究网页之间的关系, …
本讲内容
1
什么是离散数学
2
计算机专业为何要学离散数学
3
离散数学的基本内容
4
学习离散数学的方法
5
离散数学的学习资源
3、离散数学的基本内容
数学世界 /topi
cs/DiscreteMathematics.html
• 1. 集合与关系
– Chapter 1 集合、映射与运算 – Chapter 2 关系 • 2. 数理逻辑 – Chapter 3 命题逻辑 – Chapter 4 谓词逻辑 • 3. 代数结构 – Chapter 5 代数结构 • 4. 图论 – Chapter 6 图论 – Chapter 7 几类特殊的图
– 王元元, 沈克勤, 李拥军, 贺汛, 离散数学教程, 高等教育出版社, 2010.
• Ebooks?
• 有关网络教学资源： • (1) Kenneth H. Rosen website: