探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数余弦函数的性质
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有向线段的方向： 按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点。
如图⑴： 有向线段OM,O为起点， M为终点，由O点指向M点； ⑴
有向线段的数值（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）： 绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；
与坐标轴反向，取负值。
如图⑵：OM= 1,ON= -1，AP＝1/2。
正弦线（ MP）、余弦线（ OM）重复出现 。
正弦函数、余弦函数是 周期函数。
质性究研，示演态动
性质２：奇偶性
Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤； Ⅱ.考察函数中的自变量角α与角－α相应的的正（余）弦线之间 的位置关系；
正弦线关于 x轴对称，余弦线重合 Ⅲ.判定正弦函数是 奇函数，余弦函数是 偶函数 。
质性究研，示演态动
性质3：单调性
请根据正弦线的变化规律思考正弦函数是否存在单调区间？ 如果存在，判断在相应的单调区间是增函数还是减函数， 并填写下列表格：
角?
正弦线MP sinx
－
?
2
+2k→? ０
+2k→?
?
2
+2k ?
?
2
+2k→?
? +2→k?
3?
2
+2k
?
－１→０→１
１→０→－１
增函数
减函数
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修４ 第一章1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》“探究与发现”
?教材分析 ?学情分析 ?教学目标 ?教法分析与学法指导 ?教学过程设计
·三角函数是中学数学的重要内容之一，
而三角函数线的概念及其应用不仅体现 了数形结合的数学思想，又贯穿整个三 角函数的教学 ；
?过程与方法目标：
借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程， 进一步训练学生的数形结合思维能力， 让学生主动观察、发现、类比、探索。
?情感态度与价值观目标：
激发学生自主探究的积极性， 鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯， 从而改进学习方式，提高思维能力。
?重点：
三角函数线的定义及作法； 利用三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。
·借助三角函数线可以推出三角函数公式，
求解三角函数不等式，探索三角函数的图 像和性质。因此，三角函数线是研究三角 函数的有利工具；
·本节课利用单位圆中的三角函数线讨论三角
函数图像和性质，既是对利用三角函数的图象 研究其性质的一个补充， 又为下一小节的研究在方法上作铺垫； 并且再次强调了单位圆的直观作用， 拓宽了研究三角函数性质的视野。
⑵
结总索探，问疑置设
复习提问:
:
１.任意角 的正弦如何定义 ?
２.能否用几何图形表示出角 的正弦呢 ?
结总索探，问疑置设
结总索探，问疑置设
单位圆有关的有向线段MP叫做角 的正弦线。 有向线段OM叫做角 的余弦线
总结作法:
1.正弦线与余弦线的做法： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点P； 第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，
?难点：
利用与单位圆有关的有向线段， 将任意角的正弦、余弦函数值分别用它们的几何
形式表示出来。
1．教法选择：
利用几何画板，通过几何直观帮助学生 理解定义，引导学生主动探索发现；
2．学法指导：
类比产生知识迁移； 观察体验知识的形成过程。
? 设置疑问，探索总结 ? 动态演示，研究性质 ? 课堂小结，布置作业
业作置布，节小堂课
利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质
1.正弦线与余弦线的做法： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点P； 第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，
得正弦线MP、余弦线OM。
2.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线
区示展体媒多
……
……
……
复习回顾: ? ? l
? r r （其中 l是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）
特别地 , 当r =1时， ? ? l
此时的圆称为单位圆，
这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。
类比提问：
能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦函数值呢 ？
结总索探，问疑置设
分散难点:
有向线段：带有方向的线段。
得正弦线MP、余弦线OM。
2.正弦线、余弦线、正切线统称为 三角函数线
结总索探，问疑置设
观察角的终边在各位置的情形 , 结合正弦线、余弦线和已学知识， 你能得出正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 并说明理由。
周期性、奇偶性、单调性、 最大值与最小值
质性究研，示演态动
几何画板
性质１：周期性
自变量每增加２?（角 旋转一周），
余弦线OM -1 cosx 最小值
……
1
最大值
质性究研，示演态动
课堂小结：
①三角函数线（正弦线、余弦线）及其作法；
②结合正弦线、余弦线研究正弦函数、 余弦函数的性质。
业作置布，节小堂课
布置作业：
1.思考题：tan ? ? y 如何用有向线段表示？
x
2.你能借助单位圆中的三角函数线， 讨论一下诱导公式等三角函数的其他性质吗？
究研，示演态动
请根据余弦线的变化规律， 完成余弦函数单调性讨论表格：
角?
……
余弦线OM cosx
-１→0→1 增函数
……
1→0→-1 减函数
质性究研，示演态动
性质４：最大值、最小值
请根据对正弦线、余弦线的变化规律的观察 ,完成下表:
角 ? ……
正弦线MP -1 sinx 最小值
……
1
最大值
角 ? ……
⒈学生已经掌握任意角三角函数的定义， 三角函数值在各象限的符号以及诱导公式一， 为单位圆中的三角函数线的寻找及其讨论 三角函数的性质在做好了知识准备；
⒉学生对于从三角函数得到三角函数线的 由数到形的理解存在一定的困难。
?知识与技能目标：
⑴利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦函数值； ⑵利用三角函数线得到正弦函数、余弦函数Байду номын сангаас性质。
如图⑴： 有向线段OM,O为起点， M为终点，由O点指向M点； ⑴
有向线段的数值（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）： 绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；
与坐标轴反向，取负值。
如图⑵：OM= 1,ON= -1，AP＝1/2。
正弦线（ MP）、余弦线（ OM）重复出现 。
正弦函数、余弦函数是 周期函数。
质性究研，示演态动
性质２：奇偶性
Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤； Ⅱ.考察函数中的自变量角α与角－α相应的的正（余）弦线之间 的位置关系；
正弦线关于 x轴对称，余弦线重合 Ⅲ.判定正弦函数是 奇函数，余弦函数是 偶函数 。
质性究研，示演态动
性质3：单调性
请根据正弦线的变化规律思考正弦函数是否存在单调区间？ 如果存在，判断在相应的单调区间是增函数还是减函数， 并填写下列表格：
角?
正弦线MP sinx
－
?
2
+2k→? ０
+2k→?
?
2
+2k ?
?
2
+2k→?
? +2→k?
3?
2
+2k
?
－１→０→１
１→０→－１
增函数
减函数
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修４ 第一章1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》“探究与发现”
?教材分析 ?学情分析 ?教学目标 ?教法分析与学法指导 ?教学过程设计
·三角函数是中学数学的重要内容之一，
而三角函数线的概念及其应用不仅体现 了数形结合的数学思想，又贯穿整个三 角函数的教学 ；
?过程与方法目标：
借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程， 进一步训练学生的数形结合思维能力， 让学生主动观察、发现、类比、探索。
?情感态度与价值观目标：
激发学生自主探究的积极性， 鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯， 从而改进学习方式，提高思维能力。
?重点：
三角函数线的定义及作法； 利用三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。
·借助三角函数线可以推出三角函数公式，
求解三角函数不等式，探索三角函数的图 像和性质。因此，三角函数线是研究三角 函数的有利工具；
·本节课利用单位圆中的三角函数线讨论三角
函数图像和性质，既是对利用三角函数的图象 研究其性质的一个补充， 又为下一小节的研究在方法上作铺垫； 并且再次强调了单位圆的直观作用， 拓宽了研究三角函数性质的视野。
⑵
结总索探，问疑置设
复习提问:
:
１.任意角 的正弦如何定义 ?
２.能否用几何图形表示出角 的正弦呢 ?
结总索探，问疑置设
结总索探，问疑置设
单位圆有关的有向线段MP叫做角 的正弦线。 有向线段OM叫做角 的余弦线
总结作法:
1.正弦线与余弦线的做法： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点P； 第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，
?难点：
利用与单位圆有关的有向线段， 将任意角的正弦、余弦函数值分别用它们的几何
形式表示出来。
1．教法选择：
利用几何画板，通过几何直观帮助学生 理解定义，引导学生主动探索发现；
2．学法指导：
类比产生知识迁移； 观察体验知识的形成过程。
? 设置疑问，探索总结 ? 动态演示，研究性质 ? 课堂小结，布置作业
业作置布，节小堂课
利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质
1.正弦线与余弦线的做法： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点P； 第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，
得正弦线MP、余弦线OM。
2.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线
区示展体媒多
……
……
……
复习回顾: ? ? l
? r r （其中 l是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）
特别地 , 当r =1时， ? ? l
此时的圆称为单位圆，
这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。
类比提问：
能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦函数值呢 ？
结总索探，问疑置设
分散难点:
有向线段：带有方向的线段。
得正弦线MP、余弦线OM。
2.正弦线、余弦线、正切线统称为 三角函数线
结总索探，问疑置设
观察角的终边在各位置的情形 , 结合正弦线、余弦线和已学知识， 你能得出正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 并说明理由。
周期性、奇偶性、单调性、 最大值与最小值
质性究研，示演态动
几何画板
性质１：周期性
自变量每增加２?（角 旋转一周），
余弦线OM -1 cosx 最小值
……
1
最大值
质性究研，示演态动
课堂小结：
①三角函数线（正弦线、余弦线）及其作法；
②结合正弦线、余弦线研究正弦函数、 余弦函数的性质。
业作置布，节小堂课
布置作业：
1.思考题：tan ? ? y 如何用有向线段表示？
x
2.你能借助单位圆中的三角函数线， 讨论一下诱导公式等三角函数的其他性质吗？
究研，示演态动
请根据余弦线的变化规律， 完成余弦函数单调性讨论表格：
角?
……
余弦线OM cosx
-１→0→1 增函数
……
1→0→-1 减函数
质性究研，示演态动
性质４：最大值、最小值
请根据对正弦线、余弦线的变化规律的观察 ,完成下表:
角 ? ……
正弦线MP -1 sinx 最小值
……
1
最大值
角 ? ……
⒈学生已经掌握任意角三角函数的定义， 三角函数值在各象限的符号以及诱导公式一， 为单位圆中的三角函数线的寻找及其讨论 三角函数的性质在做好了知识准备；
⒉学生对于从三角函数得到三角函数线的 由数到形的理解存在一定的困难。
?知识与技能目标：
⑴利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦函数值； ⑵利用三角函数线得到正弦函数、余弦函数Байду номын сангаас性质。