全概率公式的分析与运用

全概率公式的分析与运用

41521335吕瑞杰

摘要：全概率公式的运用一直以来都是一个难点，尤其是对完备事件组的选择及理解上。本文从完备事件组到全概率公式的意义，都进行了较为详尽的分析。指出了可运用全概率公式的随机试验分析。并且通过举例全方位加强了对全概率公式的分析运用。

关键词：全概率公式；完备事件组；分析；运用

在概率的计算中,有时必须综合利用加法公式与乘法公式,而这就是全概率公式。使用全概率公式的关键是找到一个完备事件组。对于这类问题,在如何划分互不相容的“简单”事件找到完备事件组从而达到求解目的的方法思路,也由于题目的意义不同而多变化,怎样把一个复杂事件分解为若干互不相容的“简单”事件?本文通过对一些典型题目的分析研究,总结出一个求解上述问题的分析方法、解题步骤,以便更好地解决这类问题。 全概率公式：设试验E 的样本空间为Ω，B 为 E 的事件，12,...n A A A 是Ω的一个完备事件组，且 (A 0)(i 1,2...,n)j P >=，则

1(B)(A )(B |A )n

i i i P P P ==∑

应用示例：

两台机床加工同样的零件,第一台的废品率是0. 03,第二台的废品率是0. 02,加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,求任意取出的一个零件是合格品的概率。

分析：要正确而熟练地运用全概率公式,必须首先对公式的内涵有一个清楚的了解,从公式

1(B)(A )(B |A )

n i i i P P P ==∑

(1,2,...,)i n =的结构可以看出: (A )i P 是我们考虑导致事件B 发生时的若干不同的假设情况的概率,它们都可以从题中的所给已知条件直接得出, (B |A )i P 所表示的是在若干假设事件A i 发生的条件下事件B 发生的概率,即我们可以从中看到先有A i 后有B ,且A i 互不相容,也就是只有A i 发生了,才有B 发生的可能,此即应用公式时的两个前提条件: A i 的完全性与互不相容性,而且当A i 发生后B 发生的条件概率就好求了,此时具备了完全性与互不相容性

的A i 我们称之为完备事件组。又由乘法公式可知: P(A )P(B |A )p(BA )i i i =,在这个形式上我们可以认为事件BA i 是一些“简单”事件,因它们发生的概率为P(A )P(B |A )i i 易求出,由此说明全概率公式的基本思想或直观解释就是:考虑使事件B 可能发生的全部情况,把B 分解成若干个表面上复杂而实际上求概率时简单的互不相容的事件的和,同时用加法公式与乘法公式求出事件B 的概率。进言之,若我们从问题的条件可以找到一个当且仅当其中之一发生时B 才可能发生的事件组12A ,A ,...,A n (即使B 可能发生的全部情况,也即文中所述的完备事件组)及其概率P(A )i (1,2,...,)i n =,同时可以求得在它们发生的条件下B 发生的条件概率(B |A )i P (1,2,...,)i n =那么用全概率公式即可求得(B)P 。通常我们也以此作为一个题目是否应用“全概率公式”求解的判定法。就本例而言,由于不知道取出的零件究竟是哪台机床加工的,所以直接求它为合格品的概率就很困难,但因为这个零件总是由两台机床中的一台加工出来的,即二者必居其一,因此可设事件B =“取出的零件是合格品”, 1A =“取出的零件是第一台机床加工的”, 2A =“取出的零件是第二台机床加工的”,又题知第一台机床比第二台机床加工的零件多一倍,因此1P(A )=23, 2P(A )=13,且12A A +=Ψ, B =B (12A A +=)=12BA BA +,从而“取出的零件是合格品”就可分为以下两个互不相容的事件:①取出第一台加工出来的合格品1A B ,②取出第二台加工出来的合格品2A B 。由题意B 在A i 发生条件下的条件概率为: 1(B |A )P = 1-0. 03= 0. 97, 2(B |A )P = 1-0. 02= 0. 98,此时已具备完全性与互不相容性,也就是找到了完备事件组1A ,2A ,由此我们可以确定此问题可应用全概率公式来求解。

解:设B=“取出的零件是合格品”, 1A =“取出的零件是第一台机床加工的”, 2A =“取出的零件是第二台机床加工的”。因为“第一台机床比第二台机床加工的零件多一倍”,∴1P(A )=23, 2P(A )=13,此外1(B |A )P = 1-0. 03= 0. 97, 2(B |A )P = 1-. 02= 0. 98,由全概率公式可得; 1122P(B)P(A )P(B |A )P(A )P(B |A )=+=23×0. 97+13×0. 98= 0. 973。

总结：

从以上典型例题的分析我们可以看出,应用全概率公式解决实际问题时,准确、迅速寻找

完备事件组是解决此类问题的关键,在这里就公式应用的一般方法和步骤归纳如下:

1、认真分析题中条件,找出完备事件组12A ,A ,...,A n 。它们往往是我们考虑事件B 发生时的若干不同的假设情况,把这些假设情况都列出,并由题意计算概率P(A )i 。

2、求出在A i 发生的条件下B 发生的条件概率(B |A )(i 1,2,...,)i P n ,这样就可直接运用全概率公式求此类问题了。

从已知的简单事件的概率推算出未知的复杂的事件的概率是概率论重要的研究课题之

一。为了达到这个目的，经常把一个复杂事件分解为若干个不相容的简单事件之和（并），再通过分别计算这些简单事件的概率及运用概率的可加性得到最终结果。全概率公式就是这种思想方法的一个反映。它是概率的加法与乘法的综合。

参考文献

[1]盛骤.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社,2008.

[2]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程习题与解答[Ｍ].北京:高等教育出版社,2005.

[3] 张丽,闫善文,刘亚东《全概率公式与贝叶斯公式的应用与推广》[J] 《牡丹江师范学院学报(自然科学版)》2005年

[4] 孙淑故.高等数学(二):疑难问题分析—全概率公式和贝叶斯公式的应用[J],现代教育,2003年