有限元(第一章 绪论)

边坡破坏模拟
Applications in predictive medicine
(a) Mesh of a hand model near the wound
(b) Cross section of a heart model
有限元通用软件
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS
力都静力等效地移植到节点上去，形成等效
载荷。最后，将所有节点载荷按整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷向量。
有限元法的基本思路
– 集成整体刚度方程
K
集合所有的单元刚度方程得到：
K Βιβλιοθήκη Baidu
为整体节点位移向量
– 解方程组和输出计算
• 引进边界约束条件，根据支承条件修改整体刚度矩阵； • 解方程组，求出节点的位移分量； • 根据节点位移，求出单元的应变和应力；
有限元法的基本思路
• 单元类型选择
– 单元形状 – 节点数 – 节点自由度
有限元法的基本思路 • 单元划分
– 网格的加密 – 单元形态 – 节点连接 – 节点编码
有限元法的基本思路 （2） 单元分析
• 选择位移函数
– 设定一个简单的函数为位移的近似函数； – 位移函数，一般为多项式，由广义坐标法与插值 法设定，最终整理为单元节点位移的插值函数； – 单元中任意一点的位移矩阵 d ，均可用该 单元节点位移排列成的矩阵 e 来表示：
内容
有限元法的基本思路
有限元法的基本思路 网格划分 单元分析
单元分析，就 是建立各个单 元的节点位移 和节点力之间 的关系式。
e e e
整体分析
整体分析，即 建立节点外载 荷与节点位移 的关系，解出 节点位移。
K F K R
结构网格划分模型
有限元法的基本思路
e 与单元节点力 F e 之间的 单元刚度矩阵反映出
关系，由平衡条件导出，其转化关系式称为单元
刚度方程 ：
- 单元刚度矩阵 K e
[S ]
e
K F
e e
e
有限元法的基本思路
• （3） 整体分析
– 集成整体节点载荷向量 R 结构离散化后，单元之间通过节点传递力， 所以有限元法在结构分析中只采用节点载荷。 所有作用在单元上的集中力，体积力与表面
数值模拟技术：
吸收现代数学﹑物理学和力学等理论的基础上，借 助计算机来获得满足工程要求的数值解，是现代工程 学形成和发展的重要推动力之一。
工程领域常用的数值模拟方法：
有限元法 边界元法 有限差分法
有限元法的基本概念
把一个连续体近似地用有限个在节点处相联接的
单元组成的组合体来代替，从而把连续体的分析转 化为单元分析加上对这些单元组合的分析问题。
连续域
离散
F ( xi , y i )
F ( x, y)
有限元法的基本概念
单元、节点： 单元:有线、面或实体以及一维、
二维或三维的单元等种类。
连续域
节点:
具有一定自由度，并存 在相互物理作用。
内容
产生背景
产生背景
1 离散系统
P
2 连续系统 工程领域
需要
产生背景
• 固体力学
– 位移和应力场分析 – 振动特性分析 – 稳定性分析
内容
有限元法的发展史
有限元法的发展史 • 1.1 有限元法的发展
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发 展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先
在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分
析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很 快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力 学等连续性问题。
有限元法的发展史
有限元分析及应用 Finite Element Analysis (FEA) and Applications
王文静 北京交通大学
2011年10月
主要内容
什么是有限元法？
有限元法是如何形成的？
如何用有限元法求解结构问题_基本思路
有限元发展史
有限元应用
内容
有限元法的基本概念
有限元法的基本概念
有限元法是解决工程和数学物理问题的数值 方法。
初始条件：初始温度场也可以是不均匀的， 但各点温度值是已知的：
T
t 0
T0 x,y,z
通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式：
T λ hT-T f n
V6引擎的局部

尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条 件的限制，还无法给出精确的解答，如图所示V6引 擎在工作中的温度分布。
人物
Hrennikoff MCHennry Courant Turner等人
时间
1941 1943 1943 1956
重大贡献
用线(一维)单元(杆和梁)网格求解连 续体中的应力-现代有限元开始 应用离散化概念定义三角区域上的分 片连续函数 处理二维单元以及建立刚度矩阵的推 导方法
Clough
Martin
在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有 限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个 工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果 分析上。
有限元法的发展史
与CAD软件的无缝集成
当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件 的集成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件的造 型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分 析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直 到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。 当今所有的商业化有限元系统商都开发了与著名的 CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、 SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和 AutoCAD等）的接口。
内容
有限元法的应用
内容
Bench test of CRH3 Motor bogie frame FEA of CRH3 Motor bogie frame test
车体一阶垂向弯曲
车体一阶水平弯曲
车体一阶扭转
车体二阶水平弯曲
碰撞
t=2s
t=32s
t=60s
t=180s
半导体芯片温度场的数值仿真
有限元法的发展史
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材 料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出 现，只有采用非线性有限元算法才能解决。
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术 人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的 人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长 于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于 工程实践。
归结为给定边界条件下求解 其控制方程（微分方程或偏 微分方程）的问题 建立的基本方程所研究的对 象通常是无限小单元，对复 杂边界工程问题难得解析解
• 传热学
– 稳态与瞬态温度场分析
• 电磁学 • 流体力学 • 声学
产生背景
V6引擎传热学问题
热传导问题的控制方程与换热边界条件：
T T T T Q c x x y y z z t
例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反 过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的 有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。
有限元法的发展史
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速 度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越 来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突 出。
d [ N ]
e
有限元法的基本思路
• 单元特性分析
– 单元应变矩阵 意一点的应变
B
用待定的单元节点位移
e
利用应变和位移间的几何关系，将单元中任 矩阵 e 来表示：
[B]
有限元法的基本思路
– 单元应力矩阵 S 利用应力和应变间的物理方程，推导出用单元节点 位移 e 表示的单元中任意一点的应力 ：
1960
1961
提出了“有限单元法”概念
建立了四面体刚度矩阵方法，从而将 有限元方法延伸到三维问题
有限元法的发展史 我国的力学工作者为有限元方法的初期
发展做出了许多贡献，著名的有：
• 陈伯屏（结构矩阵方法） • 钱令希（余能原理）
• 钱伟长（广义变分原理）
• 胡海昌（广义变分原理） • 冯康（有限单元法理论）
CAE/CAD交互 一体化框图
有限元法的发展史
CAE软件的价值
增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。
有限元法的发展史
几何建模 CAD
(Pro/E,Ug, etc.)
将模型传入 CAE
(ANSYS,NASTRAN,MARC)
设置设计变量 CAD
(Pro/E,Ug, etc.)
进行建模和分析 CAE
(ANSYS,NASTRAN,MARC)
满足设计参量？
（强度准则、温度范围等）
否
是
最后设计 CAD
(Pro/E,Ug, etc.)
（1） 结构离散化
有限元法的基础是用有限个单元体的集 合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体 进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单 元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连 接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为 网格。 通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的 网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的 网格。
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件
ADINA
ABAQUS
非线性分析软件
非线性分析软件
针对某类问题的专用有限元软件：如金属成形分析软件 Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。
有限元法的发展史
发展：
从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来， 逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实 践证明这是一种非常有效的数值分析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。