随机环境中马氏链状态的常返性与暂留性

费时龙等: 随机环境中马氏链状态的常返性与暂留性
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所以状态a既不是弱常返的, 也不是强暂留的. 例1说明了随机环境中马氏链状态与经典马氏链状态存在着本质区别, 随机环境中马氏链状 态存在着既不是常返的, 也不是暂留的状态. 而要使得在随机环境情形下只有常返和暂留两种 状态必须满足一定的条件, 为此, 文献[9-12]引入了如下的π 不可约概念. − → − → 定 义 3 称 X 是π 不可约的, 若对任意的x, y ∈ X, θ ∈ Θ Z , B ∈ BZ , πB > 0, 存在m ≥ 1, 使 − → 得 θ ∈ T −m B, P (θ0 , · · · , θm−1 ; x, y ) > 0. 但是, π 不可约概念在随机环境下一般是不成立的, 反例如下. − → − → − → − → 例2 设Θ = {0, 1}, Θ = Θ Z , B = B Z , π 为( Θ , B )上的概率测度, B1 = · · · × Θ × {0} × − → Θ × · · · , B2 = · · · × Θ × {1} × Θ × · · · , 则必有πB1 > 0或πB2 > 0, 若πB1 > 0, 取 θ = − → − → (· · · , 0, 0, 0, · · · ), 则对任意的m ≥ 1, 都有 θ ∈ / T −m B1 , 若πB2 > 0, 取 θ = (· · · , 1, 1, 1, · · · ), 则 − → 对任意的m ≥ 1, 都有 θ ∈ / T −m B2 , 因此π 不可约条件在随机环境下一般不能满足, 下列定理1及 定理2改进了这一条件. − → − → 定 理 1 设π 是平稳遍历的, x ∈ X, 若对几乎处处的 θ , 存在M ( θ ), 使得当n ≥ M 时, 都 − → 有P (n) ( θ ; x, x) > 0, 则状态x必然是弱常返的或强暂留的. − → 证 为方便起见, 不妨设条件对任意的 θ 成立. 若x不是强暂留的, 则存在B ∈ BZ , π (B ) > − → − → 0. 使得对任意的 θ ∈ B, 有G( θ ; x, x) = ∞, 由Pointcare常返性定理知, 存在F ⊂ B, π (F ) = − → − → π (B ) > 0, 使得对任意的 θ ∈ F, 有自然序列n1 < n2 < · · · , 满足T ni θ ∈ F. 又π 是平稳 ∞ − → 遍历的, 故由遍历性定理知π ( T −n F ) = 1, 所以对几乎处处的 θ ∈ Θ Z , 存在m ≥ 0, 使 n=0 − → − → 得T m θ ∈ F, 从而由上述证明知存在自然序列n1 < n2 < · · · , 使得T m+ni θ ∈ F , 取充分大 − → − → 的nk , 使得m + nk ≥ M ( θ ), T m+nk θ ∈ F, − → G( θ ; x, x)
§1 引 言
随机环境中的马氏链是概率论研究中的重要课题之一, 有着广阔的应用背景. 刚开始是对 两种特殊情形进行研究, 即随机环境中的分支过程和随机环境中的随机游动, 详见文献[1-3]. 对 随机环境中马氏链的一般理论研究始于20世纪80年代Nawrotzi和Cogburn的工作. 当时他们主要 是研究单无限随机环境中马氏链的状态分类及平稳分布的存在性和唯一性问题. Cogburn[4-5] 首 先借助于Doeblin关于状态的一般分类方法将状态分解成非本质、正则本质、非正则本质三种 情形, 并给出判别非正则本质状态不存在的几个充分条件, 并引入了状态可达、常返等概念, 得 到了一些类似于经典马氏链的状态性质; Nawrotzki[6-7] 主要考虑状态空间和环境空间均是有 限或可列的条件下, 给出了随机环境中马氏链的构造并研究了平稳分布的存在性和唯一性条 件；Orey[8] 对Cogburn等人的工作进行了总结和评价, 同时得到类似于经典马氏链理论方面的 结果并提出一些开问题. 针对这些问题, 文献[9-12] 引入了π 不可约概念, 在此概念下可以得到随 机环境中的马氏链状态只存在常返和暂留两种情形, 然而该条件一般只是在确定环境情形下才 成立(见例2). 本文定理1在假定环境是平稳遍历的条件下利用遍历性定理及Pointcare常返性定 理得到了随机环境中的马氏链状态只存在常返和暂留两种情形的结论, 该条件在一般的随机环 境下可以满足, 从而改进了文献[9-12]的结果. 定理2在另一条件下得到了相同的结论. 我们还引 入了状态周期的概念, 得到类似于经典马氏链状态周期的几个性质. 文献[13]引入了弱常返与强 常返等概念, 指出强常返状态必然是弱常返状态, 并举例说明弱常返状态未必是强常返态. 然而,
§3 状态的常返性和暂留性
− → − → 定 义 2[13] 称状态x是弱常返的, 若π ( θ : G( θ ; x, x) = ∞) = 1; 称状态x是强暂留的, − → − → 若π ( θ : G( θ ; x, x) < ∞) = 1. 1 例1 设X = {a, b}, Θ = {0, 1}, p(0; a, a) = p(0; a, b) = 2 , p(0; b, a) = 0, p(0; b, b) = 1 1, p(1; a, a) = p(1; a, b) = p(1; b, a) = p(1; b, b) = 2 . 设 π ({· · · , 0, 0, 0, · · · }) = π ({· · · , 1, 1, 1, · · · }) = 则π 是平稳的, 且有 − → − → − → − → 1 π ( θ : G( θ ; a, a) = ∞) = π ( θ : G( θ ; a, a) < ∞) = . 2 1 , 2
§2 基本记号和术语
Z为整数集, N = Z+ 为非负整数集, (Ω , F , P )是一概率空间, X 为至多可数集, A是X 的 离散的σ -代数, (Θ , B )为任一可测空间(环境空间), 对任意的θ ∈ Θ , p(θ; ·, ·)为X 上的转移函数, − → − → 且假定对任意的x, y ∈ X, p(·; x, y )是关于B 可测的. ξ = {ξ n , n = · · · , −1, 0, 1, · · · } 和 X = {Xn , n = 0, 1, 2, · · · }分别是(Ω , F , P )上取值于Θ 和X 的随机序列, {p(θ), θ ∈ Θ }是(X, A)上的 − → − → − → 一族转移函数, 且假定对任意的A ∈ A, p(·; ·, A)是B × A可测的. A = AN , Θ = Θ Z , B = − → − → r r r r B Z , Θk = j =k Θj , Bk = j =k Bj , 其中Θj = Θ , Bj = B , −∞ ≤ k ≤ r ≤ ∞. A 或 Θ 中的元素分 − → − → − → − → − → → 别用− x 或 θ 来表示. T 为 Θ 上的推移算子, 即(T θ )n = θn+1 , π 为( Θ , B ) 上的概率测度. 我们总 假定π 是平稳的, 即π ◦ T −1 = π. 定 义1 如果对任意的A ∈ A, n ∈ N,有 → − → − P (Xn+1 ∈ A| X n 0 , ξ ) = p(ξn ; Xn , A), − → − → P (X0 ∈ A| ξ ) = P (X0 ∈ A| ξ 0 −∞ ). → − → − 则称( X , ξ )为双无限随机环境中马氏链. − → 本文中所用的一些记号和术语可参看文献[15], 对集合F ∈ A × B ,记 − → − → − → ηn = (Xn , T n ξ ), n ≥ 0; (F )x = { θ ∈ Θ Z : (x, θ ) ∈ F }; → − − → (F ) θ = {x ∈ X : (x, θ ) ∈ F }; [F ]x = {x} × (F )x . − → − → − (ηn ∈ F ) = P (n) ( θ ; x, F ) = P(x,→ p(θ0 , θ1 , · · · , θn−1 , x, y )IFy (T n θ ). θ) − → − → − → P ( θ ; x, y ) = P (n) ( θ ; x, y × Θ ). ∞ − → − → − → − → − (ηn ∈ F ); G( θ ; x, y ) = G( θ ; x, {y } × Θ ). G( θ ; x, F ) = P(x,→ θ)
∞ n=1 ∞
=
− (Xn = x) ≥ P(x,→ θ)
− → ≥ P m+nk ( θ ; x, x)
n=m+nk +1 ∞
− (Xm+nk = x, Xn = x) P(x,→ θ) → − (Xn θ)
n=m+nk +1
P(x,T m+nk
= x) = ∞.
所以x是弱常返的. 推 论 设定理1条件满足, 则 − → − → − → − → (i) x是弱常返的⇐⇒ π ( θ : G( θ ; x, x) = ∞) > 0 ⇐⇒ π ( θ : G( θ ; x, x) < ∞) < 1. − → − → − → − → (ii) x是强暂留的⇐⇒ π ( θ : G( θ ; x, x) = ∞) < 1 ⇐⇒ π ( θ : G( θ ; x, x) < ∞) > 0. 定理1给出了随机环境中马氏链状态必然是弱常返或强暂留的充分条件, 但是, 在下列情形 下该条件不能满足. − → 例3 设Θ = (0, 1), p(θ; x, x + 1) = 1 − p(θ; x, x − 1) = θ, 则∀n ∈ N有P (2n+1) ( θ ; x, x) = 0, 在这种情况下, 定理1条件不能满足. 为此, 定理2在假定环境是强混合的条件下, 给出了更宽的条件, 首先引入状态周期的概念. − → − → 定 义 4 若{n ≥ 1 : π ({ θ : P (n) ( θ ; x, x) > 0}) = 1}非空, 则定义x的周期为它的最大公约 数, 即 − → − → dx = G · C · D · {n ≥ 1 : π ({ θ : P (n) ( θ ; x, x) > 0}) = 1}. 若dx = 1, 则称状态x是非周期的.
( n) ∞ − → − → − → − → − → f ( θ ; x, y ) = f (n) ( θ ; x, {y } × Θ ); f ∗ ( θ ; x, y ) = f (n) ( θ ; x, y ). n=1 − → − → ∗ fmin ( θ ; x, y ) = infk∈Z f ∗ (T k θ ; x, y ). ( n) n=1 y ∈X
高校应用数学学报 2011, 26(2): 187-194
随机环境中马氏链状态的常返性与暂留性
费时龙, 任 敏
(宿州学院 数学与统计学院, 安徽宿州 234000)
摘 要: 给出了随机环境中马氏链状态必然是弱常返或强暂留的几个充分条件, 引入 了状态周期的概念, 得到类似于经典马氏链状态周期的几个性质. 引入了随机环境中 马氏链状态的几个数字特征, 给出了随机环境中马氏链状态是弱常返与强常返等价的 充分条件, 利用这一条件可以说明相关文献所出现的错误结论. 关键词: 随机环境中马氏链; 周期; 弱常返; 强常返; 强暂留 中图分类号: O211.62 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2011)02-0187-08
收稿日期: 2010-10-24 修回日期: 2011-04-18 基金项目: 国家自然科学基金(10726075); 安徽省教育厅自然科学研究项目(KJ2011B176); 宿州学院硕士科研启 动基金(2008yss20)
Hale Waihona Puke Baidu
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高校应用数学学报
第26卷第2期
从本文的定理5可以看出所举反例的结论是错误的. 文献[14]讨论了在一致可达的条件下随机环 境中马氏链两个状态之间的相互关系.