第三章平稳时间序列分析优秀课件
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其中系数 {Gj, j1,2,}称为Green函数
G j 是前 j 个时间单位以前进入系统的扰 动 t j 对系统现在行为（响应）影响的 权数。
方差
平稳AR模型的传递形式
xt Gjt j j 0
两边求方差得
Va(xrt) G2 j2,Gj为 Gre函 en数 j0
例3.2:求平稳AR(1)模型的方差
平稳AR(1)模型的传递形式为
xt 1t1Bj0(1B)j
t
j 1
j0
ti
Green函数为
Gj 1j,j0,1,
平稳AR(1)模型的方差
2
V(a xt) r G 2 jV(at) r
第三章平稳时间序列分析
平稳时间序列分析
一个序列经过预处理被识别为平稳非白 噪声序列，那说明该序列是一个蕴含着 相关信息的平稳序列。在统计上，我们 通常是建立一个线性模型来拟合该序列 的发展，借此提取序列中的有用信息。 ARMA（auto regression moving average） 模型是目前最常用的平稳序列拟合模型。
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1)xt 0.8xt1t (2)xt 1.1xt1t
(3 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
(4 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
例3.1平稳序列时序图
(1)xt 0.8xt1t
(3 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
例3.1非平稳序列时序图
(2)xt 1.1xt1t
差分运算
p阶差分
对 p 1 阶差分后序列再进行一次1阶差
分运算
pxt p 1xt p 1xt 1
k步差分 相距k期的两个序列值之间的减法运算。
k xt xtk
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序 列值乘以一个延迟算子，就相当于把当 前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B为延迟算子，有
zt c11 tc2t2 cp
t p
p个特征根中有相等实根场合 z t ( c 1 c 2 t c d t d 1 )1 t c d 1 t d 1 t r t( c 1 e i t c 2 e i t) c 3t 3 c ptp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解z t
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t)
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解 z t 和非齐次线性差分方程
的特解之和，即
(4 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
平稳AR模型的统计性质
均值 方差 协方差 自相关系数 偏自相关系数
均值
如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有
E t E x (0 1 x t 1 p x t p t)
由于平稳序列均值为常数，且{ t } 为白噪 声序列，有
E t x ,E (t) 0, t T
均值
推导出
11 p 0
0
1 1 p
特别地，对于中心化AR（p）模型，有
Ext 0
Green函数定义
AR模型的传递形式
xt
t
(B)
p i1
1kiiBt
p
i1
ki(iB)jt
j0
p
k j i i tj
Gj tj
j0 i1
j0
Green函数的定义
本章结构
方法性工具 ARMA模型的性质
AR模型 MA模型 ARMA模型
平稳序列建模
3.1 方法性工具
差分运算 延迟算子 线性差分方程
差分运算
1阶差分 相距一期的两个序列值之间的减法运算。
xt xt xt1
2阶差分
对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运
算。
2xt xt xt1
xt 0 1xt1 2xt2 pxtp t
p 0
E(t
)
0，Va(rt
)
2,E(ts
)
0,s
t
Exst 0,st
特别当0 0 时，称为中心化 AR(p)模型
AR(P)序列中心化变换
称 { y t } 为{ x t } 的中心化序列 ，若令
11
0 p
yt xt
自回归系数多项式
引进延迟算子，中心化 AR(p)模型又可
以简记为
(B)xt t
p 阶自回归系数多项式
(B ) 1 1 B 2 B 2 p B p
AR模型平稳性判别
判别原因
要拟合一个平稳序列的发展，用来拟合的模 型显然也应该是平稳的。AR模型是常用的平 稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模 型都是平稳的
判别方法
单位根判别法 平稳域判别法
zt ztzt
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving
Average model），是目前最常用的拟合 平稳序列的模型
AR模型的定义
具有如下结构的模型称为 p阶自回归模 型，简记为 AR(p)
若 h t 0 ，则得到齐次线性差分方程
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a 1p 1 a 2p 2 a p 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,,p 齐次线性差分方程的通解
p个特征根为不同的实数场合
p阶差分
pxt p1xt p1xt1
p1 xt xt1 p1(1B)xt
p
(1B)p1xt (1B)pxt (1)pCipxti i0
k步差分 kx tx t x t k(1 B k)x t
线性差分方程
称如下形式的方程为序列 z t 的线性差
分方程：
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t)
xt1 Bxt xt2 B2xt xtpBpxt,p1
延迟算子的性质
B0 1 B(cxt)cB(xt)cxt1,c为任意常数
对任意两个序列有 B (xtyt)xt 1yt 1
Bnxt xtn
，
n
(1B)n (1)nCniBi
i0
其中
Cni
n! i!(n i)!
用延迟算子表示差分运算
G j 是前 j 个时间单位以前进入系统的扰 动 t j 对系统现在行为（响应）影响的 权数。
方差
平稳AR模型的传递形式
xt Gjt j j 0
两边求方差得
Va(xrt) G2 j2,Gj为 Gre函 en数 j0
例3.2:求平稳AR(1)模型的方差
平稳AR(1)模型的传递形式为
xt 1t1Bj0(1B)j
t
j 1
j0
ti
Green函数为
Gj 1j,j0,1,
平稳AR(1)模型的方差
2
V(a xt) r G 2 jV(at) r
第三章平稳时间序列分析
平稳时间序列分析
一个序列经过预处理被识别为平稳非白 噪声序列，那说明该序列是一个蕴含着 相关信息的平稳序列。在统计上，我们 通常是建立一个线性模型来拟合该序列 的发展，借此提取序列中的有用信息。 ARMA（auto regression moving average） 模型是目前最常用的平稳序列拟合模型。
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1)xt 0.8xt1t (2)xt 1.1xt1t
(3 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
(4 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
例3.1平稳序列时序图
(1)xt 0.8xt1t
(3 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
例3.1非平稳序列时序图
(2)xt 1.1xt1t
差分运算
p阶差分
对 p 1 阶差分后序列再进行一次1阶差
分运算
pxt p 1xt p 1xt 1
k步差分 相距k期的两个序列值之间的减法运算。
k xt xtk
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序 列值乘以一个延迟算子，就相当于把当 前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B为延迟算子，有
zt c11 tc2t2 cp
t p
p个特征根中有相等实根场合 z t ( c 1 c 2 t c d t d 1 )1 t c d 1 t d 1 t r t( c 1 e i t c 2 e i t) c 3t 3 c ptp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解z t
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t)
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解 z t 和非齐次线性差分方程
的特解之和，即
(4 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
平稳AR模型的统计性质
均值 方差 协方差 自相关系数 偏自相关系数
均值
如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有
E t E x (0 1 x t 1 p x t p t)
由于平稳序列均值为常数，且{ t } 为白噪 声序列，有
E t x ,E (t) 0, t T
均值
推导出
11 p 0
0
1 1 p
特别地，对于中心化AR（p）模型，有
Ext 0
Green函数定义
AR模型的传递形式
xt
t
(B)
p i1
1kiiBt
p
i1
ki(iB)jt
j0
p
k j i i tj
Gj tj
j0 i1
j0
Green函数的定义
本章结构
方法性工具 ARMA模型的性质
AR模型 MA模型 ARMA模型
平稳序列建模
3.1 方法性工具
差分运算 延迟算子 线性差分方程
差分运算
1阶差分 相距一期的两个序列值之间的减法运算。
xt xt xt1
2阶差分
对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运
算。
2xt xt xt1
xt 0 1xt1 2xt2 pxtp t
p 0
E(t
)
0，Va(rt
)
2,E(ts
)
0,s
t
Exst 0,st
特别当0 0 时，称为中心化 AR(p)模型
AR(P)序列中心化变换
称 { y t } 为{ x t } 的中心化序列 ，若令
11
0 p
yt xt
自回归系数多项式
引进延迟算子，中心化 AR(p)模型又可
以简记为
(B)xt t
p 阶自回归系数多项式
(B ) 1 1 B 2 B 2 p B p
AR模型平稳性判别
判别原因
要拟合一个平稳序列的发展，用来拟合的模 型显然也应该是平稳的。AR模型是常用的平 稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模 型都是平稳的
判别方法
单位根判别法 平稳域判别法
zt ztzt
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving
Average model），是目前最常用的拟合 平稳序列的模型
AR模型的定义
具有如下结构的模型称为 p阶自回归模 型，简记为 AR(p)
若 h t 0 ，则得到齐次线性差分方程
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a 1p 1 a 2p 2 a p 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,,p 齐次线性差分方程的通解
p个特征根为不同的实数场合
p阶差分
pxt p1xt p1xt1
p1 xt xt1 p1(1B)xt
p
(1B)p1xt (1B)pxt (1)pCipxti i0
k步差分 kx tx t x t k(1 B k)x t
线性差分方程
称如下形式的方程为序列 z t 的线性差
分方程：
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t)
xt1 Bxt xt2 B2xt xtpBpxt,p1
延迟算子的性质
B0 1 B(cxt)cB(xt)cxt1,c为任意常数
对任意两个序列有 B (xtyt)xt 1yt 1
Bnxt xtn
，
n
(1B)n (1)nCniBi
i0
其中
Cni
n! i!(n i)!
用延迟算子表示差分运算