蒙特卡罗仿真方法

(
)
ˆ (N ) ∼ N (P , 1 P ) Pe e e N
ˆ 假设我们希望误码率的估计值 Pe ( N ) 在真 实值 P 附近一定百分比，即
e
ˆ Pe (1 − β ) < Pe ( N ) < Pe (1 + β )
其中β是我们的估计精度，β越小，则估 计越精确。
把
ˆ Pe ( N )
2
这样统计39个错误比特可以以95%的概率使估计 精度在真实值附近10%。
N= 1 Pe ⎧ 1 −1 ⎛ α ⎞ ⎫ ⎨ Q ⎜ ⎟⎬ ⎝ 2 ⎠⎭ ⎩β
2
结论：如果我们希望 Pe 的估计精度在真实值附 近β×100% 范围内的可信度为 1-α，我们应仿真度的比特 数是。 2
N= 1 Pe ⎡ 1 −1 ⎛ α ⎞ ⎤ ⎢ β Q ⎜ 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣
我们仿真中可统计错误数目，一旦满足要求的 错误数目达到，即中止仿真，这样，错误比特 数的数学期望为：
A A
用随机变量X表示事件A， Xi表示第i次实验。 若A出现则Xi=1，否则Xi=0，若A出现的概 率为P，则
E ( X i ) = 1 × p + 0 × (1 − p ) = p
E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = np
i =1 i =1 n n
E ( X i 2 ) = 12 × p + 0 2 × (1 − p ) = p
(
)
2
1 N N 1 N = 2 ∑∑ E [ X n ] E [ X m ] + 2 ∑ E ⎡ X n 2 ⎤ ⎦ N n =1 m≠n N n =1 ⎣
m =1
=
1 ⎡( N 2 − N ) Pe 2 + NPe ⎤ 2 ⎣ ⎦ N
方差为：
2 ˆ ( N ) ⎤ = σ 2 = var ⎡ P ( N ) ⎤ = E ⎡ P ( N ) ⎤ − E 2 ⎡ P ( N ) ⎤ ˆ ˆ ˆ D ⎡ Pe e e ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ e ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 = Pe (1 − Pe ) N 1 ≈ Pe N
⎡1 ⎛ α ⎞⎤ E ( N e ) = NPe = ⎢ Q −1 ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣β
2
例：若要求Pe 估计值在真实值附近0.1的可信度 为0.95，即β=0.1， α=0.05，试求达到该置信 水平需要统计的错误比特数的期望值。 解：
⎡1 ⎛ α ⎞⎤ E ( N e ) = NPe = ⎢ Q − = E ( X i 2 ) − E 2 ( X i ) = p − p 2 = p(1 − p )
D ( X ) = D ( ∑ X i ) = ∑ D ( X i ) = np(1 − p )
i =1 i =1
n
n
E(nA) =np
nA E( ) = p n
D (n A ) = np(1 − p )
N e n =1 n
ˆ 依中心极限定理， P ( N ) 是一个高斯随机变 量。
e
⎡1 ˆ E ⎡ Pe ( N ) ⎤ = E ⎢ ⎣ ⎦ ⎣N
⎤ 1 Xn ⎥ = ∑ ⎦ N n =1
N
1 E[Xn] = ∑ N n =1
N
∑P = P
n =1 e
N
e
⎡ 1 N N ⎤ 1 N N ˆ E ⎡ Pe ( N ) ⎤ = E ⎢ 2 ∑∑ X n X m ⎥ = 2 ∑∑ E [ X n X m ] ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ N n =1 m =1 ⎦ N n =1 m =1
Monte Carlo方法的基本思想
Monte Carlo方法的基本思想是，为了 求解数学、物理、工程技术以及生产 管理等方面的问题，首先建立一个概 率模型或过程的观察或抽样试验来计 算所求参数的统计特征，最后给出所 求解的近似值。而解的精确度可用估 计值的标准误差来表示。
事件A在n次试验中出现的次数为nA，其出 n n 现的频率为 n ， n 依概率收敛于事件A出 现的概率P的问题。
Monte Carlo法的原理及其在通 信仿真中应用
主讲人:华北电力大学电子系 张京席
蒙特卡洛(Monte Carlo)简介
蒙特卡洛是摩纳哥公国的一个城镇，拥有 世界闻名的大赌场。 摩纳哥，位于欧洲西南部，地中海边峭壁 上的公国，它建在阿尔卑斯山山脉突出地 中海的悬崖之上，北、东、西三面都与法 国接壤。它的面积只有1.95平方公里，是 世界上海岸线最短的国家，堪称世界“袖 珍国”。摩纳哥依山傍海，景色宜人，犹 如一个五彩缤纷的海滨公园。摩纳哥也因 蒙特卡洛而得名赌博之国。
nA 1 p(1 − p ) D( ) = 2 D(n A ) = n n n
契比雪夫不等式
由契比雪夫不等式得，对任意ε>0，有
n ⎧n ⎫ ⎧n ⎫ P ⎨ A − p < ε ⎬ = P ⎨ A − E( A ) < ε ⎬ n ⎩ n ⎭ ⎩ n ⎭ n D( A ) n = 1 − p (1 − p ) ≥ 1− ε2 nε 2
e
ˆ (N ) = Ne (N ) Pe N
那么误码率
ˆ Pe = lim Pe ( N )
n →∞
为了确定误码率，仿真无限比特是不现实 的。问题是为了得到相对准确的估计，需 多少比特？对该问题的回答取决于怎样定 义准确。
令Xn是一个贝努利随机变量，它指出仿真 中第n比特是否正确地接收到，若正确， Xn=0，否则Xn=1。 1 ˆ 那么 P ( N ) = N ∑ X 。
β Pe ⎫ ⎪
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
其中，
1 Q( x) = 2π
∞
∫e
x
t2 − 2
dt
1-α是置信水平，若令 α = 2Q ( β NPe ) 可得
ˆ Pr Pe (1 − β ) < Pe ( N ) < Pe (1 + β ) = 1 − α
{
}
这里我们得出Pe 的估计精度β，估计的可 信度 1-α 和需要仿真的比特数目之间的 一个定量关系。由上式可得：
u ∼ N (0,1)
归一化，令 那么，
u=
ˆ Pe ( N ) − Pe Pe / N
，则
⎧ ⎫ ˆ ( N ) − P < β P = P ⎪ Pe u < β P ⎪ P Pe ⎨ e e e⎬ N ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
{
}
⎧ ⎪ = P⎨u < ⎪ ⎩
= 1 − 2Q β NPe
(
⎛ β Pe ⎬ = 1 − 2Q ⎜ ⎜ P /N Pe / N ⎪ ⎭ ⎝ e
Monte Carlo方法的基本思想
Monte Carlo方法亦称为随机模拟 （Random simulation）方法，有时也称作 随机抽样(Random Sampling)技术或统计试 验(Statistical Testing)方法。
蒙特卡洛模拟法的概念
当系统中各个单元的可靠性特征量已知， 但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠 性预计的精确数学模型，或者模型太复杂 而不便应用则可用随机模拟法近似计算出 系统可靠性的预计值。随着模拟次数的增 多，其预计精度也逐渐增高。由于需要大 量反复的计算，一般均用计算机来完成。
若令 n → ∞ ，便得到 。 该式说明 n → ∞ 时，事件A的频率 n A / n 可认为是事件A发生的概率。
⎧n ⎫ lim P ⎨ A − p < ε ⎬ = 1 n →∞ ⎩ n ⎭
接收机的错误比特
若我们想通过仿真的方法测量系统的误码 率BER，我们需发送N比特的数据，并计算 接收机的错误比特数 N ( N ) 。