第八章 不定积分(1-3)

第一次作业 第八章 不定积分 §1 不定积分概念与基本积分公式、分部积分法

班级 姓名

1、求下列不定积分 (1)

解：35357

222222242(1)(122)357

x x x x x dx x x x c +=++=+=+++⎰⎰⎰

(2) 解： （3）

解：224

24242231111111

()arctan (1)(1)13x x dx dx dx x c x x x x x x x x x

+-==-+=-++++++⎰⎰⎰ （４) 解:2352252[25()]2()33ln 2ln 33x x x x

x dx dx x c ⨯-⨯=-⨯=-+-⎰⎰ (５) 解:2

4269(23)(4269)ln 4ln 6ln 9

x x x

x

x x

x

x

dx dx c ⨯+=+⨯+=

+++⎰⎰ (6)

解：([()arcsin 1ln x

x x

x

x

x

e a e a dx ea dx x c a -==-++⎰⎰

（7) 解:21cos 2111

sin (sin 2)(2sin 2)2224

x xdx dx x x c x x c -==-+=-+⎰⎰

（8） 解:2222

cos 212sin (csc 2)2sin sin x x

dx dx x dx ctgx x c x x

-==-=--+⎰⎰⎰ (9）

解:cos 2(cos sin )(cos sin )(cos sin )sin cos cos sin cos sin x x x x x dx dx x x dx x x c x x x x +-==+=-+--⎰

⎰⎰

(10)

解法一:22222222

cos 2cos sin (csc sec )cos sin cos sin x x x

dx dx x x dx ctgc tgx c x x x x

-==-=--+⋅⋅⎰⎰⎰ 解法二:2222cos 24cos 2(sin 2)2

2cos sin sin 2sin 2sin 2x x d x dx dx C x x x x x

===-+⋅⎰⎰⎰ (11)

解法一:111

cos 2cos (cos3cos )(sin 3sin )223

x xdx x x dx x x c ⋅=

+=++⎰⎰ 解法二:2232

cos 2cos (12sin )cos (12sin )(sin )sin sin 3

x xdx x xdx x d x x x C ⋅=-=-=-+⎰⎰⎰

(12）

解

:2arcsin dx dx x c ===+⎰⎰

2、验证：就是在上得一个原函数 证明：,

2

000sgn (0)2lim lim lim sgn 0,(0)002

x x x x x

y y x x y x x →→→-'====-即 所以。即就是在上得一个原函数。 3、求满足下列条件得函数。 （１); (2)

解:(1）,将代入,得,所以。 (２）,将代入,得, 所以。

４、若曲线上点得切线斜率与成正比,并且曲线通过点,求该曲线方程。 解:依题意,将代入上式,得 所以

5、应用分部积分法求下列不定积分: （1）;

解sin sin sin arc xdx xarc x xarc x c =-=+⎰

(2)； 解： (3);

解：2222cos sin 2sin sin 2cos sin 2cos 2sin x xdx x x x xdx x x xd x x x x x x c =-=+=+-+⎰⎰⎰ (４);

解: 3223222ln 1ln 11ln 11

ln ()(2ln 1)222244x x x dx xd dx c x c x x x x x x x =-=-+=--+=-++⎰⎰⎰

(1), 解:222(ln )(ln )2ln (ln )2ln 2x dx x x xdx x x x x x c =-=-++⎰⎰

第二次作业 第八章 不定积分 §２换元积分法与分部积分法

班级 姓名

1、用分部积分法求下列不定积分：

(１), 解：222(ln )(ln )2ln (ln )2ln 2x dx x x xdx x x x x x c =-=-++⎰⎰ (2)， 解:2

2111arctan arctan (1)(1)arctan 222

x xdx xd x x x x c =+=+-+⎰⎰ (3）,解：

22(arcsin )2arcsin (arcsin )2x x x x x x c =+=+-+⎰

(４),

解:1111[(ln(ln ))]ln(ln )ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln x dx x dx dx x x dx dx x x c x x x x

+=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰ (５);

解:

233

sec tan (sec 1)sec sec tan sec sec 1

sec tan sec ln sec tan (sec tan ln sec tan )2x x x xdx x x xdx xdx

x x xdx x x x x x x c

=--=-+=-++=+++⎰⎰⎰⎰ 2、用换元积分法求下列不定积分: (1); 解： (2); 解: (3); 解： (4）; 解

:dx d =+⎰⎰

(５); 解:

(６）； 解： (7）; 解： (8); 解:

（9);解:22111csc (2)(2)(2)2424sin (2)4

dx x d x ctg x c x ππ

π=+=-+++⎰⎰

（１0）； 解: (1１）;

解法一：22

11sin (sec tan sec )tan sec 1sin cos x

dx dx x x x dx x x c x x -==-=-++⎰⎰⎰ 解法二:2

111tan tan()1sin 1cos 2421cos()2

t x t x

dx dx dt c c x t x π

ππ=-==-=-+=--++++-⎰

⎰⎰

（１2); 解：

(１3)； 解: (1４); 解: (15); 解:

(１6); 解: (17）;解:

（18）; 解:

(1９）; 解: (20)； 解:

243521

(12sin sin )(sin )sin sin sin 35

x x d x x x x c =-+=-++⎰

（21); 解法一：11

2csc(2)(2)ln csc(2)(2)sin cos sin 2dx dx x d x x ctg x c x x x ===-+⎰

⎰⎰

解法二:2111

(tan )ln tan sin cos tan cos tan dx dx d x x c x x x x

x ===+⎰⎰⎰