《经济数学--微积分》第四章 中值定理与导数的应用练习题

第四章 导数的应用

一、判断题

1. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，在 (,)a b 内可导，12a x x b <<<，（ ）

则至少存在一点 12(,)x x ξ∈，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ；（ ）

2. 函数 )12ln()(+=x x f 在 [0,2] 上满足拉格朗日定理；（ ）

3. 若 0x x = 是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ；（ ）

4.0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件；（ ）

5. 函数可导，极值点必为驻点； （ ）

6. 函数 )(x f 在 [,]a b 上的极大值一定大于极小值；（ ）

7. 设()()()f x x a x ϕ=-,其中函数()x ϕ在x a =处可导,则()()f a a ϕ'=；（ ）

8. 因为 1y x = 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1y x

= 必有最大值；（ ） 9. 若 0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则 )(0x f 是 )(x f 的极大值；（ ）

10. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；（ ）

11. 1x = 是 31()3

f x x x =- 在 [2,2]-+ 上的极小值点；（ ）

12. 曲线 y =在 0x = 点没有切线；（ ）

13. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；（ ） 14. 12x = 是曲线 234

161x x y -= 的拐点；（ ） 15. 曲线 3y x x =- 在(,0)-∞是凹的，在(0,)+∞是凸的；（ ）

二、填空题

1. 求曲线 5

3(2)y x =- 的拐点是 ________；

2. 函数 2(1)y x =-- 的单调递增区间是 _________ ；

3. 函数 33y x x =- 的单调递减区间是 __________ ；

4. 设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = _______ ；

5. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是凸的，则 a = ______ ；

6. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 ______ ；

7. 函数y =[0,5]上满足拉格朗日中值定理的ξ= ______ ； 8.

函数 2cos y x x =+ 在区间 [0,]2π 上的最大值是 __________ ；

9. 曲线 y =的凹区间是 __________ ；

10. 函数 y x = 在区间 [0,1] 上的最小值是 _________ .

三、选择题

1. 函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( )

(A) 0 (B) 4π (C) 2

π (D) π 2.若内在则的导数处处相等内，在),()(),(,)(),(),(b a x g x f x g x f b a ( )

(A)相等 (B)不相等 (C)均为常数 (D)仅相差一个常数 3.y x sin sin -y -，横线上填（ ）

(A) ≥ (B) ≤ (C) > (D) <

4. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（ ）

(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<

(C) 0()0f x '= 且 0()0f x ''< (D) 0()0f x '= 或不存在

5.应满足内单调减少，则在函数c a c ax x f ,),0()(2+∞+=( )

(A)是任意常数且c a ,0< (B)0,0=>c a 且

(C)是任意常数且c a ,0> (D)0,0≠>c a 且

6. 的最大值是在区间],0[sin πx x y -=（ ） (A)π- (B) 0 (C) 22 (D) π

7.上的最小值，则在是连续函数若],[)()(0b a x f x f ( )

(A)的极小值一定是)()(0x f x f (B)0)(0='x f

(C)值一定是区间端点的函数)(0x f (D)端点或是极值点，或是区间0x 8. 内在则内恒有在若),()(,0)(,0)(),()(b a x f x f x f b a x f <''<'( )

单调减少且凹的

)(A 单调减少且凸的)(B 单调增加且凹的)(C 单调增加且凸的)(D

9. 上在]4,2[6116)(23---=x x x x f ( )

(A)凸的 (B)凹的 (C)既有凹的又有凸的 (D)单调增加

10. 1)(2+=-x e x f （ ）

(A)有1个拐点 (B) 有2个拐点 (C) 有3个拐点 (D)没有拐点

四、计算与应用题

1. 求极限 11lim()1ln x x x x

→-- 2. 302lim x x e e x x x ---→

3. x x x 2sin ln 3sin ln lim 0→

4. x x x 1

0)sin 1(lim +→

5.,0)1(,1)0(,)1,0(,]1,0[)(===f f x f y 且可导连续在设函数

ξξξξ)()(,:f f -

='∃使一点至少证明

6.确定下列函数的单调区间，极值，凹向，拐点

x x x f +=3)().1( x xe x f =)().2( 322)1(2)().3(--=x x f

7. .)1ln(1,

0:x x x

x x <+<+>时当证明

8．121221sin sin ,:x x x x x x -≤-<则有若证明