椭圆型边值问题的比较方法及解的存在性

η ′j + v j − u j < 0 , 则 η ′j − max(0,η ′j + v j − u j ) = η ′j < u j − v j . 于是有
′ −η′ ≤ u − v η0
因此, 我们有
H i ( x, u ) − H i ( x, v) = sup f i ( x,η ) − sup f i ( x,η )
(i = 1,2,L, n)
其中 x ∈ Ω, ui : Ω →[ai , bi ] ; 且 H i 和 hi 对 u = (u1 , L , u n ) 拟单调不减 假设
（F1 ) 对任意 x, y ∈ Ω, u , v ∈ ∑ ，存在 K > 0 ，使得
f i ( x, u) − f i ( y, v) ≤ K ( x − y + u − v )
η∈ Au η∈ Av
′ ) ≤ K η ′ − η0 ′ ≤ Ku−v ≤ f i ( x,η ′) − f i ( x,η 0
又因
H i ( x, u ) − H i ( y , v ) = H i ( x, u ) − H i ( y , u ) + H i ( y , u ) − H i ( y , v ) H i ( x, u ) − H i ( y , u ) ≤ K x − y
易知， u = (u1 , L u n ) 是边值问题
⎧ Li u i = f i ( x, u ) ⎨ ⎩ Bi u i ( x) = 0
x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω.
i = 1,2, L , n.
的一个解等价于 u 是算子方程 u = Tu 在 E 上的一个解，这里
⎛ f 1 ( x, u ) + Ku1 ⎞ ⎟ ⎜ Tu = G⎜ M ⎟. ⎜ f ( x, u ) + Ku ⎟ n⎠ ⎝ n
N
x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω,
(1.1)
其中 Ω ∈ R 是一个有界开区域，且有光滑边界 ∂Ω ， Li 是一个二阶微分算子，定义为
Li u = − ∑ a j ,k
j , k =1
N
(i )
N ∂ 2u ∂u (i ) ( x) + ∑ b j ( x) ∂x j ∂x k j =1 ∂x j
(i = 1, 2, L , n) ，
一
引言
椭圆型方程已被许多学者所关注， 关于其边值问题解的存在性的研究已有许多工作， 各 种结果被建立（见［1－5］ ）, 然而，在这些研究中，反应项单调或拟单调是一个必要条件， 但反应项非单调情形是一种普遍现象，研究这种情形下解的存在性具有重要意义. 考虑下述椭圆边值问题
⎧ Li u i = f i ( x, u1 ,L, u n ) ⎪ ⎨ Bi u i ( x) = g i ( x) ⎪i = 1, 2, L, n. ⎩
引理 2
[5]
α
(i = 1,2,L, n)
如果 f i 满足 ( F1 ) ，那么 H i 和 hi 也满足 ( F1 ) .
2

证明 我们可以假定 ai = 0 (i = 1,2, L , n) ，对 u ∈ 令
∑
，
Au = η ∈ R n η i = u i ,0 ≤ η j ≤ u j , j = 1, L, i − 1, i + 1,L , n
*
4

我们首先把问题（1.1）纳入适当的泛函分析框架，令
E = u ( x) : u = (u1 , L, u n ), u i ∈ C α ( Ω ), (i = 1,L , n)
对任意 u ∈ E ，边值问题
{
}
x ∈ Ω, ⎧ Li vi + Kvi = u i , ⎨ x ∈ ∂Ω. ⎩ Bi u i ( x) = 0,
i = 1,2,L , n 有
f i ( x, u) − f i ( y, v) ≤ K ( x − y + u − v )
我们改写（1.1）为形式
α
x ∈ Ω, ⎧ Li u i + Ku i = f i ( x, u ) + Ku i , ⎪ x ∈ ∂Ω. ⎨ Bi u i ( x) = g i ( x), ⎪i = 1,2, L , n ⎩
其中 u = (u1 , L , u n ). 显然，问题
（1.2）
⎧ Li wi + Kwi = 0, ⎨ ⎩ Bi wi ( x) = g i ( x),
有唯一解 wi ( x, t ).
x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω,
若令 v = u − w ，即 vi = u i − wi (i = 1,2, L , n) , 则有
2 n
3

~ ≥ H ( x, u ~) x ∈ Ω, ⎧ Li u i i ⎪ ˆ i ≤ hi ( x, u ˆ) x ∈ Ω, ⎨ Li u ⎪B u ~ ( x) ≥ g ( x) ≥ B u ˆ x ∈ ∂Ω, i i i ( x) ⎩ i i
i = 1,2, L , n
E → E 为 v = Gu. 由 假 设 有 唯 一 解 v = (v1 ,L , v n ) ， 这 就 定 义 了 一 个 线 性 算 子 G：
( H 1 ) − ( H 2 ) 及文[5]定理 3.2.2 及引理 3.2.3 知：线性算子 G 是 E 上的紧算子.
~, u ˆ 分别称为（1.1）的上、下解. 则u
假设
(i ) (i ) ( H 1 ) 系数函数 a k b (j i ) ( x) ∈ C α ( Ω ), β i ( x) ≥ 0 和 g i ( x) 可被延拓为 j ( x ) = a j k ( x ),
C 2+α ( Ω ) 上的函数， i = 1,2,L , n 。
所以
α
α
H i ( x, u) − H i ( y, v) ≤ K ( x − y + u − v ) , (i = 1,2,L, n)
即 H i 满足 ( F1 ) , 同理可证 hi 满足 ( F1 ) . 定义 2
~, u ~>u ˆ ∈ [C ( Ω )] , 满足 u ˆ ，且 如果存在一对函数 u
则
Байду номын сангаас
{
}
H i ( x , u ) = sup f i ( x ,η ),
η ∈ Au
因为 Au 是紧集， f i ( x, u ), (i = 1,2, L , n) 连续，因此存在 η ′ ∈ Au ，使得
H i ( x , u ) = f i ( x ,η ′),
设 u, v ∈
∑
′ = max(θ ,η ′ + v − u ) ，即 η 0 ′ = (η 01 ′ , L ,η 0 ′n ) ，令 η 0
（H 2） 存在一个正常数 r 使得对任意 ξ = (ξ1 ,ξ 2 ,L, ξ N ) ∈ R N , x ∈ Ω, i = 1,2,L, n ,
有
N
j , k =1
∑a
(i ) jk
( x, t )ξ j ξ k ≥ r ξ .
2
( H 3 ) 存在一个正常数 K , 使得对任意 x, y ∈ Ω, u, v ∈ ∑,
则
x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω,
u ( x) ≥ 0 ， ∀x ∈ Ω .
进而，若
Li u + c( x)u不恒等于0，
或者
x ∈ Ω，
Bi u ( x)不恒等于0，
则
x ∈ ∂Ω ,
u ( x, t ) > 0
( x, t ) ∈ Ω × [0, ω ].
n
设 函 数 f i ( x, u1 ,L , u n ) = f ， (i = 1,2, L , n) 是 Ω × R 上 的 连 续 函 数 ， 记 （ i x, u）
并且 T : E → E 是一个紧算子.
三
主要结果及证明
定理 3.1
~(x) ≥ u ~ ( x ), u ˆ ( x ), x ∈ Ω, 则 ˆ( x) , 且 u 设 （1.1） 有一对上、 下解 u （1.1）
至少存在一个解 u ( x) , 满足
~ ( x), x ∈ Ω. ˆ ( x) ≤ u ( x) ≤ u u
证明
~ ，我们考虑 v = Tu ，由于 ˆ ≤u ≤u 对任意 u ∈ E 满足 u
⎛ f 1 ( x, u ) + Ku1 ⎞ ⎟ ⎜ Tu = G⎜ M ⎟ ⎜ f ( x, u ) + Ku ⎟ n⎠ ⎝ n
则有
Li vi + Kvi = f i ( x, u ) + Ku i (i = 1,2,L, n) ˆ i (i = 1,2,L, n) , ˆ ，即 wi = vi − u 令w = v−u
hi ( x , u i , u1 , L , u i −1 , u i +1 , L , u n ) =
则有
u j ≤η j ≤ b j Li −1， i +1,L, n j =1，
inf
f i ( x , t , u i ,η 1 , L ,η i −1 ,η i +1 , Lη n ),
hi ( x , u ) ≤ f i ( x , u ) ≤ H i ( x , u )
Bi 是一个边界算子 Bi u i = u i
或者
(i = 1,2, L , n)
Bi u i =
这里
∂u i
∂v
+ β i ( x)u i
(i = 1,2, L , n)
∂u i
∂v
表示 u i 在 ∂Ω 的外法向导数,文[4,5]利用单调方法获得了系统（1.1）在反应项
f i ( x, u ) 关于 u = (u1 , u 2 ,K, u n ) 拟单调或混拟单调时解的存在性. 本文通过构造上、 下控制
∑ = ∏i=1[ai , bi ] = [a, b]，对 ui : Ω→[ai, bi ] ,
n
定义
H i ( x , u i , u1 , L , u i −1 , u i +1 , L , u n ) =
sup
a j ≤ η j ≤u j j =1， Li −1， i +1,L, n
f i ( x , t , u i , η1 , L , η i −1 , η i +1 , L η n ),

椭圆型边值问题的比较方法及解的存在性＊
王长有 (重庆邮电学院 应用数学研究所, 重庆 400065） 摘要：本文利用上、下解方法及不动点理论研究了一类反应项非单调的椭圆型方程组，构造了非单调 反应项的上、下控制函数，并证明了所构造的函数满足 Lipschitz 条件及单调性，为讨论反应项非单调的微 分方程提供了一种有效方法，并获得了此系统边值问题解的存在性；推广了已有的一些结果 关键词：上、下解；椭圆边值问题；不动点理论 中图分类号： O175.26

二
预备知识
引理 1
2
[4,5]
若 β ( x ) ≡ 0 ，x ∈ ∂Ω, 假 令 c ( x ) ∈ C ( Ω ), c ( x ) ≥ 0 且 c ( x ) 不恒为零，
使 u ∈ C (Ω) I C ( Ω ) 且满足下述不等式
⎧ Li u + c( x)u ≥ 0 ⎪ ⎨ ⎪ B u ( x) ≥ 0 ⎩ i
′ j = max(0,η ′j + v j − u j ), ( j = 1,2, L, n) η0
注意到
′ − η ′ = ∑ [η ′j − max(0,η ′j + v j − u j )]2 η0
2 j =1
n
易证,
′ ∈ Av . 若 η ′j + v j − u j ≥ 0 , 则 η ′j − max(0,η ′j + v j − u j ) = u j − v j . 若 η0
函数，利用上、下解方法及不动点理论，证明了系统（1.1）当反应项 f i ( x, u ) 对 u 非单调时 解的存在性. 从而推广了文[4,5]的结果.
*
基金项目：重庆邮电学院青年教师科技基金项目(A2005-14)和四川省学术与技术带头人基金项目(1200321） 。 作者简介：王长有（1968- ） ，男，硕士, 副教授，主要从事偏微分方程理论和应用研究．
* ⎧ x ∈ Ω, ⎪ Li vi + Kvi = f i ( x, v), ⎨ ⎪ x ∈ ∂Ω. ⎩ Bi vi ( x) = 0,
这里
f i ( x, v) = f i ( x, v + w) + K (vi + wi )
因此，不失一般性，可设系统（1.1） ， （1.2）中 g i ( x) = 0. (i = 1,2, L , n)