最新巧思妙解高考数学题目

巧思妙解高考数学题

目

巧思妙解2011年高考数学题（上海卷）

1.（理20,文21）已知函数f（x）=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性；

（2）若ab＜0，求f（x+1）＞f（x）时x的取值范围.

【参考答案】

（1）当a＞0，b＞0时，任意x1,x2∈R, x1＜x2,则

f（x1）-f（x2）=a（2x1-2x2）+b（3x1-3x2）.

∵2x1＜2x2，a＞0a（2x1-2x2）＜0，

3x1＜3x2，b＞0b（3x1-3x2）＜0，

∴f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在R上是增函数.

当a＜0,b＜0时,同理,函数f（x）在R上是减函数.

（2）略

·巧思·

①利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况1的结论便显而易见。

②利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况2的结论便显而易见。

·妙解·

若a＞0，b＞0，则a·2x和b·3x在R上递增 f（x）在R上递增；

若a＜0，b＜0，则a·2x和b·3x在R上递减 f（x）在R上递减.

【评注】

①利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，则更显得轻松、方便。

②上述单调函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。

③“奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。

2.（文22）已知椭圆C：（常数m＞1），P是曲线C上的动点，M 是曲线C的右顶点，定点A的坐标为（2,0）.

（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；

（2）若m=3,求∣PA∣的最大值和最小值；

（3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求实数m的取值范围.

【参考答案】

（1）略

（2）m=3,椭圆方程为.设P（x，y），则

∣PA∣2 ==（-3≤x≤3）.

当x=时, ∣PA∣min=；当x =-3时, ∣PA∣max=5.

（3）设动点P（x，y），则∣PA∣2 =

=+5（-m≤x≤m）.

∵当x=m时，∣PA∣取最小值，且＞0，

∴≥m，且m＞1，解得1＜m≤1+.

·巧思·

①利用椭圆的参数方程设点P的坐标，则将“设P（x，y）”与“代入

”两步合为一步，而利用余弦函数的有界性也可求出∣PA∣的最值。

②将∣PA∣2含有m的表达式（关于x的二次函数）先化为“顶点式”，后再分别代入m的值进行运算，便避免了重复过程，而节省文字、减少篇幅。

·妙解·

设P（m co sθ, sinθ）∣PA∣2 =（m co sθ-2）2 + sin2θ

=（m2 -1）co s2θ-4m co sθ+ 5=（m2 -1）

（2）m=3co sθ=时,∣PA∣min=；co sθ=-1时,∣PA∣max=5.

（3）θ=0时, ∣PA∣最小≥1（m＞1）1＜m≤1+.

【评注】

①椭圆（a＞b＞0）的参数方程为x=a cosθ，y=b binθ；双曲线

=1（a＞0, b＞0）的参数方程为x=a cscθ，y=b tanθ；抛物线y2=2px 的参数方程为x=2pt2,y=2pt；这些将普通方程与参数方程“互换”的手法，教师应当指导学生掌握。

②正如将多项式分解因式并非只是解答“因式分解”的习题时才使用一样，将普通方程化为参数方程也并非只是解答“方程转化”的习题时才使用。由此及彼，其它亦然。

3.（理22）已知数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+ 7（n∈N﹡）.将集合｛x│x=a n , n∈N﹡｝｛x│x=b n , n∈N﹡｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1, c2 , c3 ,…, c n ,….

（1）求c1 , c2 , c3 , c4 ；

（2）求证：在数列｛c n｝中，但不在数列｛b n｝中的项恰为a2 , c4 ,…,

a2n,…；

（3）求数列｛c n｝的通项公式.

【参考答案】

（1）略

（2）①任意n∈N﹡，设a2n-1 =3（2n-1）+6=6n+3= b k =2k+7,

则k=3n–2,即a2n-1 = b3n-2；

②假设a2n=6n+6= b k =2k+7k=3n-∈N﹡（矛盾），∴a2n

｛b n｝，

∴在数列｛c n｝中，但不在数列｛b n｝中的项恰为a2 , c4 ,…, a2n ,….（3）b3k-2=2（3k-2）+7=6k+3= a2k+1 ,

b3k-1=6k+5，a2k=6k+6，b3k=6k+7.

∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，

∴当k=1时，依次有b1 = a1 = c1，b2 = c2，a2 = c3，b3 = c4 ,…,

∴c n=（k∈N﹡）.

·巧思·

①由6n+6=2k+7便知矛盾（偶数不能等于奇数），而无须化为k=3n-再判断。

②由a n=3n+6便知，a2n-1是奇数，a2n是偶数，而无须分别检验是否属于｛b n｝。

③在｛c n｝的首项前增加一项7，得新数列｛d n｝，就使得排列更加“整齐”，观察更加方便；规律更加“明显”，归纳更加容易。

·妙解·

（2）题设a n＞7，a2n- 1是奇数，a2n 是偶数，｛b n｝是全体大于7的奇数命题得证.

（3）令d1=7，d n+1= c n,（n∈N﹡）,则｛d n｝：

7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,….

可知d4k-3=6k+1,d4k-2=6k+3,d4k -1=6k+5,d4k=6k+6

c n=（k∈N﹡）.

【评注】

①认为“k=3n-∈N﹡（矛盾）”的依据是“整数-分数=分数，而分数≠整数”，认为“6n+6≠2k+7”的依据是“偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，而偶数≠奇数”。二者的依据都是显然的事实、浅显的道理，所以没有必要利用前者说明后者。

②将数列｛c n｝的首项“扩充”为易于分析的新数列｛d n｝，此法可以推广使用。

4.（文23）已知数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+ 7（n∈N﹡）.将集合｛x│x=a n , n∈N﹡｝｛x│x=b n , n∈N﹡｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1, c2 , c3 ,…, c n ,….