国民经济中投入产出模型分析

国民经济中投入产出模型分析

投入产出理论是研究国民经济各部门联系平衡的一种数学方法。 整个国民经济是一个由许多经济部门组成的有机整体，各部门有密切的联系。假定整个国民经济分成几个物质生产部门，每个部门都有双重身份，一方面作为生产部门以自己的产品分配给其他部门，另一方面，各个部门在生产过程中也要消耗其他部门的产品。我们将这种关系用表1的部门联系平衡表表示出来。

如表1，表中左上角部分（或称第一象限），由几个部门组成，每个部门既是生产部门，又是消耗部门。量ij x 表示第j 部门所消耗第i 部门的产品，称为部门间的流量，它可按实物量计算，也可用价值量（用货币表示）计算，我们采取后一种办法。这一部分是部门平衡表的最基本的部分。

表1 部门联系平衡表

表中右上角部分（称第二象限），每一行反映了某一部门从总产品中扣除补偿生产消耗后的余量，即不参加本期生产周转的最终产品的分配情况。其中n y y y ,,,21 分别表示第1，第 ,2，第n 生产部门的最终产品，而n x x x ,,,21 表示第1，第 ,2，第n 生产部门的总产品，也就是对应的消耗部门总产品价值。

表中左下角部分（或称第三象限），每一列表示该部门新创造的价值（净产值），第k 部

门的净产值为k z ，包括劳动报酬和纯收入k m 。

表中右下角部分反映国民收入的再分配，这里我们暂不讨论。 从表1的每一行来看，某一生产部门分配给其他各部门的生产性消耗加上该部门最终产品的价值应等于它的总产品，即

n j x y x

j j n

k jk

，，，， 211

==+∑= (1)

这个方程组称为分配平衡方程组。

从表1的每一列来看，每一个消耗部门消耗其他各部门的生产性消耗加上该部门新创造的价值等于它的总产品的价值，即

n j x z x

j j n

k kj

，，，， 211

==+∑= (2)

这个方程组称为消耗平衡方程组。

由（1）、（2）易得

∑∑

===

n

j j

n

j j z

y 1

1

(3)

即各部门最终产品的总和等于各部门新创造价值的总和（即国民收入）。

第j 部门生产单位价值产品直接消耗第k 部门的产品价值量，称为第j 部门对第k 部门的直接消耗系数，记为kj a 。

n j n k x x a j

kj kj ≤≤≤≤=

1,

1， (4)

各部分之间的直接消耗系数构成直接消耗系数矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=nn n

n n n a a a a a a a a a A

212

22121

21

11 代入分配平衡方程，得

n k x y x a

k k j n

j kj

，，，， 211

==+∑= (5)

记T

n T

n y y y Y x x x X ),,,(,

),,,(2121 == ，(5)写成 Y AX X += (6)

又由消耗平衡方程组得

n j x z x a

j j j n

k kj

，，，， 211

==+∑= (7)

于是有 ∑=-

=

n

k kj

j

j a

z x 1

1 (8)

根据问题的意义显然有 1,

101

<<≤∑=n

k kj

kj a

a (9)

在此条件下，矩阵)(A I -是满秩的，因此（6）有唯一的解

Y A I X 1

)(--=，且当 0,

0>>X Y (10)

kj a 是第j 部门生产单位价值产品时直接消耗第k 部门的产品量，但第j 部门生产产品

时，还通过其他部门间接消耗第k 部门的产品。为了研究两个部门之间的关系，我们引入完全消耗系数的概念，考虑矩阵 I A I C --=-1)( 根据矩阵A 的性质，知C 的元素非负。

假定第j 部门最终产品为1，其他部门最终产品为0，即 T Y )0,,0,1,0,,0( = 那么有 Y CY Y I C Y A I X +=+=-=-)()(1

即第k 部门的总产品为)(j k c kj ≠或)(1j k c jj =+。也就是说，为了第j 部门多生产单位产品，第k 部门应该多生产周转产品kj c ，kj c 就定义为第j 部门生产单位产品时对第k 部门的完全消耗系数。它的意义是说，第j 部门生产单位产品时，直接消耗和通过其他部门所消耗的第k 部门产品量为kj c 。

例1 设有一个经济系统包括三个部门，在某一生产周期内各部门的直接消耗系数及最终产品

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3.01

.01

.01.02.02

.01.01.02.0A ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=415305265Y 求各部门总产品和完全消耗系数矩阵。

解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡=--=-4118

20

202730

181627

831)

(1

I A I C ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=-=-750600500)(1

Y A I X 现在我们从经济的平衡发展这一角度来研究投入产出模型。仍假设国民经济包括n 个生产部门。第一年和第二年整个国民经济的生产量分别用向量

T

n T

n y y y x x x ),,(,

),,(11 ==

表示，其中i x 和i y 分别表示第i 部门在第一、二年的产值。

假设第二年第j 部门生产1元产值需要消耗第i 部门的产值ij a 元，那么第二年需要消