椭圆及其标准方程 (2)

y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
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1． 阅读教科书；填写下表
标准方程 不 同 图形 点 焦点坐标
共 定义 同 a、b、c的 点 关系
焦点位置的 判定
2. 课本第49页习题2.2 A组第1、2题.
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14
15
F1
B1 F1
F2
F2B1
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一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C
（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）
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这节课我们学了些什么？
椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和为 常数(大于︱ F1F2 ︱)的点的轨迹叫做椭 圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 之间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的标准方程
焦点在x轴上时标准方程为： x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
焦点在y轴上时标准方程为：
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上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立
了如下的关系：
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做 方程的曲线
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（1）建立适当的直角坐标系，用有序实 数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标 （2）写出适合条件p的点M的集合 P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0； （4）化方程f(x,y)=0为最简形式 （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上。
是椭圆上任意一点，如图所示。如果建立其它直
角坐标系呢？ （2）椭圆上的点有哪些特征，如 何用集合表示？如何用坐标表示？
4y
2
M
试列出方程。
O -5 F1
F2 5 x
P {M | MF1 MF2 2a}
-2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 6
（3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧， 直接平方好不好？
想 一 想
思考1：在图中指 出长度等于a的线
？ 段。
B O F2
F1 A
思考2：如果焦点F1、F2在y轴上， 且F1、F2坐标分别为(0,-c)，(0,c)， a，b的意义同前，那么椭圆的方 程是什么？
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
A2 F2 B1 F1
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例2：如果椭圆 x2 100
叫做椭圆的焦距，焦距一般记为2c。
想
一 想
如果2a=2c,轨迹会是什么？
？
如果2a<2c，轨迹又会怎样？
绘制椭圆
几何画板演示
4
神舟七号飞船发射
天宫一号与神舟对接
5
想 一
为了更好地研究椭圆的性质，就应该适 当地选择直角坐标系，写出它的方程
想
？
（1）怎样建立直角坐标系？
以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2 的垂直平分为y轴建立直角坐标系.并设点M(x,y)
y2 36Baidu Nhomakorabea
1上一点P到焦点F1的距离
等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？
例3： 已知椭圆的两个焦点坐标分别 是（-2，0），（2，0），并且以过 点（5，- 3），求它的标准方程。
22
9
写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a 4,b 1,焦点在x轴上； （2）a=4,c= 15,焦点在y轴上； （3）a b 10, c 2 5.
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
经化简可得椭圆方程
x2 a2
y2 a2 c2
1
考虑a c 0应有a2 c2 0,故设b2 a2 c2 ,
2.椭圆的方程
于是椭圆的标准方程是：ax22
y2 b2
1
(a b 0)
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例1
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)与两坐标轴的交点
移动笔尖（动点）画出的轨迹是 一个圆。如果把细绳的两端拉开 一段距离，分别固定在绘图板的
两点处，套上铅笔，拉紧绳子，
移动笔尖，画出的轨迹是什么曲
线？
绘制椭圆
几何画板演示
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1、椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和为常数 2a(大于︱ F1F2 ︱)的点的轨迹叫做椭圆。这 两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离
1
一、什么时候曲线叫做方程的曲线，方程 叫做曲线的方程？ （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
二、求曲线的方程一般有哪几步？
建系设点，列式，代入，化简，证明
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我们都知道：取一条定长的细绳，
想 把它的两端都固定在绘图板的同
一 想 ？
一点处，套上铅笔，拉紧绳子，