东南大学2010年高等数学竞赛试卷

东南大学2010年高等数学竞赛试卷 课程名称 高等数学 考试日期 10.03.05 得分 适用专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 180分钟

1．（本题满分10分) 设y x =，求()(0)n y ． 2．（本题满分10分) 试比较积分 20()sin d f x x x π⎰ 与

20()cos d f x x x π⎰ 的大小，其中 0,2f C π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且f 严格单调减．

自

觉

遵

5．（本题满分13分) 设[,]f C a b ∈，f 在(,)a b 内二阶可导，证明：对每个(,)c a b ∈，存在(,)a b ξ∈，使得 1()()()()2()()()()()()

f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ''=++------． 3．（本题满分10分) 设函数()[,]f x C ππ∈-，且 2()()sin d 1cos x f x f x x x x ππ-=

++⎰， 求()f x ．

4．（本题满分13分)设

013,,0,1,2,2n x x n +>-

==，试证数列{}n x 收敛，

并求lim n n x →∞ ．

6．（本题满分13分）计算积分

0x ．

7．（本题满分15分) 求由抛物线(4)y x x =-与直线y x =所围成的平面区域绕直线 y x =旋转一周所得旋转体的体积．

8．（本题满分16分）是否存在定义于(,)-∞+∞上的连续函数f ，使对于任何c ∈R ，

（1）方程()f x c =都恰有两个解？（2）方程()f x c =都恰有三个解？