第二章 数据资料的特征值

2 2 2 ( x a ) ( x x ) n
2 2 2 2 ( x x ) ( x a ) n n 0
( x x ) ( x a )
2
2
1.4 加权平均数
对于样本容量≥30且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权 法计算平均数
2. 几何平均数
几何平均数（geometric mean）: n个观测值相乘之积的n次方根
G x x x x ( x x x x ) 1 2 3 n 1 2 3 n
n
1 n
11 G lg [ (lg x lg x lg x )] 1 2 n n
■ 适用于利率、畜禽数的增长率、药物的效价、抗体的滴度等非线性数据 例1 为研究人群中流感的抗体水平，测得12名儿童的血清对流感病毒的血凝 抑制抗体效价的倒数为：5，5，5，5，5，5，5，10，10，10，20，40， 试计算平均血凝抑制抗体效价。
( x x x ) n x 1 2 n
x x n n
x x
0
样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和最小
2 2 ( x x ) ( x a ) i i
2 2 ( x x ) ( x a )
第一节 集中性特征值
平均数（mean）是统计学中最常用的统计量，用来表明数据中各观测值相 对集中较多的中心位置，反映了一组观察值的平均水平，是一组数据资料的 代表值
平均数的作用：
◇ 可以用来说明一组数据资料的平均水平或集中趋势，具有典型性 ◇ 可以用来进行组间比较，以判断一组数据资料与另一组数据资料的差别， 具有代表性
数据越是分散（离散），则平均数的代表性就越弱
仅用平均数对一个数据资料的特征进行统计描述是不完善的，还必须要有另外 一个统计量来衡量数据变异程度的大小、说明平均数的代表性 用来衡量数据变异程度的统计量有很多，常用的有：极差、方差、标准差和变 异系数
1. 极差
极差（range）：数据资料中最大观测值与最小观测值之间的差
f x f x ＋ f x 1 1 2 2 k k x f f ＋ f 1 2 k

k
i1 k
fixi fi


fx f
i1
xi — 第i组的组中值 fi — 第i组的次数
k — 组数
采用加权法计算得到的平均数就称为加权平均数（weighted mean） 加权平均数不具备算术平均数的两个性质
1. 算术平均数
1.1 基本概念
算术平均数（arithmetic mean）：数据资料中各观测值的总和除以观测值 的个数所得的商，简称平均数或均数。记为 x ■ 算术平均数适合描述对称分布资料的集中趋势
1.2 计算公式
设有一随机变量x， 观测值为 ：x1，x2，…，xn，则：
n x x x 1 n x 1 2 x i n n i 1
证 明
则有：
2 (x a)2 ( x x )
( x x ) ( x a )
2
2
( x x )
2
2 2 ( x x ) 0 ( x x ) 2 ( x x ) n
2 2 ( x x ) n
1 H 1 1 1 1 x2 ) n (x x 1 n
1 n

1
1 x
■ 调和平均数主要适用于速度类的资料，或有个别极端大观测值的数据资料
4. 中位数
中位数（median）：将资料中所有观测值按从小到大依次排列，位于中间 位置的那个观测值，简称为中数
当观测值的个数是偶数时，以中间两个观测值的平均数作为中位数 ■ 数据资料呈偏态分布或分布情况不清楚时，中位数的代表性优于算术平 均数
xx
有多少个观测值就可以得到多少个离均差，还是不能说明整个数据资料的 变异程度
对于总体来说，则有：
N x x x 1 N 1 2 x i N N i 1
1.3 重要性质
样本各观测值与平均数之差的和为0，即离均差之和为0
(x x) 0
i1 i
n
( x x ) 0

证 明
(xx ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 1 2 n
■ 极差主要用来说明传染病和食物中毒的最短、最长潜伏期
优点：极差是衡量数据资料变异程度大小的最简便的统计量
缺点：
（1）没有充分利用数据中全部观测值的信息
（2）不能准确反映数据中各观测值的分布状况
（3）样本之间难以进行比较
（4）极差的抽样误差较大，不稳定
2. 方差
极差：仅用全部观测值中较为特殊的两个点值，比较粗糙 充分利用数据资料中的每一个观测值，将每一观测值都和某一个特定的值 相比，最理想的特定值就是平均数 可以求出每一个观测值与平均数的差值，即离均差
5. 众数
众数（mode）：在数据资料中出现次数最多的一个观测值或次数最多一 组的组中值
有的资料可出现多个众数，有的资料则没有众数
第二节 离散性特征值
平均数主要是用来说明数据的集中趋势和集中程度的，是一组数据的代表值 平均数的代表性如何，还要看数据的变异情况：
数据越是集中，
则平均数的代表性就越强
第二章 数据资料的特征值
集中性特征值
离散性特征值
生物学数据资料（观测值）的分布具有两个重要的特征：
集中性
观测值向中心位置聚集的趋势
反映数据资料集中性的特征值是平均数
算术平均数 中位数 几何平均数 众数 调和平均数
离散性
观测值偏离中心位置的分散情况
反映数据资料离散性的特征值是极差、方差、标准差和变异系数等
nx x x x 解： G 1 2 3 n
12 5 5 40
7 .94
答：平均血凝抑制抗体效价约为1∶8
5 5 40 x 12 10 .42
平均血凝抑制抗体效价约为1∶10
3. 调和平均数
调和平均数（harmonic mean）：资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数