图论五色问题四色问题

的不同面中来证明这个结论。 我们在 D 中分别取 s2 和 s4 的内点 x2 和 x4 ，那么在 D \ ( s1 s3 ) R 2 \ C 中，每个点 都可以通过一条多边弧连接到 x2 和 x4 。 这说明 x2 和 x4（因此 v2 和 v4 也是一样的） 在 C 的不同面中；否则， D 只与 C 的两个面中的一个相交，这与 v 属于这两个面 的边界这一事实矛盾。 给定 i, j {1, ,5} 设 H i , j 是由着色 i 和 j 的顶点所导出的 H 的子图， 我们可以假设
所以可以得到的结论是：用 m 种颜色给顶点数为 n ，边数不超过 (m 1)(n m / 2) 的连通图顶点着色， 不管边怎么分布， 都能保证相邻的顶点颜色不同。 当 m 4 时， 对边数不超过 3n 6 的图的顶点着色可以保证相邻顶点颜色不同。 对于平面连通图，根据推论 1.4 可知当 n 3 时，边数一定不超过 3n 6 ，所以用 4 种颜色去给平面连通图着色，一定可以保证相邻的顶点颜色不同。
复计算两次， 所以实际上边的总数是 E n(n 1) / 2 。由于图中任意两个顶点都相 邻，如果相邻的顶点用不同的颜色，则图中 n 个顶点都必须要用不同的颜色去着 色，所以总共需要 n 中颜色。如果任意去掉一条边，那么原来这条边所连接的两 个顶点可以同色，所以去掉一条边可以少用一种颜色。此时如果再去掉一条边， 就不一定会又减少一种颜色了，比如第一次去掉的边是 e1, 2 ，第二次去掉的边是
H1,3 中包含 v1 的分支 C1 也包含 v3 。 如果把 C1 中所有着色 1 和 3 的顶点交换颜色的
话，我们就得到了 H 的另一个 5-着色；如果 v3 C1 ，那么在这个新着色中，v1 和
v3 都着色 3，这时我们可以给 v 着色 1。因此， H1,3 中包含一条 v1 v3 路 P 。上面
五色定理的证明以及对四色定理的一些想法
前言：我们必须承认，有很多优美的数学问题都是来自于最日常的生活，比如在 一张世界地图上， 最少需要用几种颜色去给每个国家着色，才能使得任何两个相 邻的国家的颜色不同？在学习复杂网络这门课之前，我从来没有思考过这个问 题，更不知道它是一个非常著名的数学难题。所以我想，也许有的人能成为伟大 的数学家不仅依靠天分，更重要的是善于观察和思考生活中蕴涵数学思想的细 节，这恰恰是我们这样的学生所缺少的。
G 的任一区域 Ri 内有且仅有一点 vi ' ；对 G 的区域 Ri 和 R j 的共同边界 ek ，画一条
边 ek ' (vi ' , v j ' ) 且只与 ek 交于一点；若 ek 完全处于 Ri 中，则 vi ' 有一自环 ek ' 。我们 容易知道一个平面图的对偶图还是平面图。下图 G' 是 G 的对偶图：
问题背景：四色问题，即每个地图是否能被四种颜色着色，使得相邻的两个国家 着不同的颜色，首先是由 Francis Guthrie 在 1852 年明确提出的，他把这个问题 交给当时正在剑桥大学读书的哥哥 Frederick。Cayley 于 1878 年在伦敦数学学会 上介绍了这个问题，它才第一次被公众所了解。一年后，Kempe 给出了一个错 误的证明，Heawood 在 1890 年把 Kempe 的证明修改后得到了五色定理的证明。 1880 年，Tait 声称给出了四色猜想的“进一步证明” ，实际上也是一个基于错误 假定的证明。直到 1976 年美国数学家 Appel 和 Haken 采用 Kempe 的思路，利用 电子计算机证明了地图四色猜想是正确的，他们将地图四色问题化为将近 2000 个特殊地图问题的四色问题， 在电子计算机上计算了 1200 个小时才完成了证明。 尽管目前数学界逐渐接受计算机作为辅助证明的工具， 但是仍有许多数学家希望 找到不借助计算机的证明。 通过本学期对复杂网络的学习以及查阅相关教材和论文， 我希望总结出前人关于 五色定理的证明，并给出一些关于四色定理证明的想法，正确与否，有待考证。 本文首先将给出一些预备知识， 包括平面图的定义及相关定理， 图的着色问题等。
总结： 地图着色问题是图论的一个经典问题， 一个多世纪以来一直被许多数学家 关注着，五色定理的正确证明已经被数学家给出了，所以本文只是稍作整理； 但 是通过我的查阅发现， 除了 Appel 和 Haken 用计算机给出的证明以外， 四色定理 好像没有其他被公认是正确的证明，我只能给出关于四色定理证明的一些想法， 可能并不正确， 但是通过对这个问题的研究，我确实学到了很多图论方面的有趣 的知识。
e1,3 ，虽然 1 和 2,1 和 3 可以分别着相同颜色，但是由于 2 和 3 相连，所以这 3
个点还是需要 2 种颜色。 为了保证能再减少一种颜色， 第二次至少要去掉 2 条边。 同理为了保证再去掉一种颜色，下一次至少需要去掉三条边。由此，如果希望用
m 种颜色给图着色，至少要减少 nm 种颜色，则应该去掉的边数为 1 2 (n m) (n m)(n m 1) / 2 ；留下的边数为 (m 1)(n m / 2) 。
已经证明了，在 H 中 P 把 v2 和 v4 分开。因为 P H 2, 4 ，这意味着 v2 和 v4 属于
H 2, 4 的不同分支。在包含 v2 的那个分支里，我们交换颜色 2 和 4，因此把 v2 重新
着色为 4。现在 v 就没有着色 2 的邻点，我们可以给它着此色了。
四色定理的证明： 四色定理：每个可平面图是 4-可着色的。 证明：设有一个连通图，有 n 个顶点，如果这个图每个顶点都与除了自身以外的 其他顶点相邻，则边的总数达到最大值。由于每个顶点的度是 n 1 ，所以包括重 复计算的边总共有 n(n 1) 条边。因为每条边连着两个顶点，所以每条边都被重
预备知识： 一、平面图和 Euler 公式 定义 1.1：设一个无向图 G(V , E ) ( V 中的元素称为顶点， E 中的元素称为边)，如 果能把它画在平面上，且除了 V 中的顶点外，任意两条边均不相交，则称该图为 平面图。如果一个图和一个平面图同构，就称它为可平面图。
一个平面图将平面分成若干个部分，每个部分称为一个区域（又称面） ；一个平 面图所划分的区域中，总有一个区域是无界的，称其为外部区域，其他的称为内 部区域。 定义 1.2：任何两个顶点之间总可以通过若干条边相连，这样的图称为连通图。 定理 1.3（Euler 公式） ：设 G 是一个连通平面图，具有 n 个顶点， m 条边及 l 个 区域，那么有 n m l 2 。 推论 1.4：具有 n 3 个顶点的平面图至多有 3n 6 条边。 推论 1.5：每个平面图必含有一个度小于或等于 5 的顶点。 定义 1.6： 设有平面图 G(V , E ) ， 满足下列条件的图 G' (V ' , E ' ) 称为图 G 的对偶图：
G 是 k -边可着色的，若 G 是 k -边可着色的，但不是 (k 1) -边可着色的，则称 G
是 k 边色图，称这样的 k 为图 G 的边色数，记为 ' (G) 。 定义 2.3（平面图的面着色） ：对平面图 G 来说，它将平面分为 r 个区域，现对每 个区域染色，使得有公共边的区域颜色均不同，这种染色称为平面图的面着色， 如果能用 k 种颜色给平面图 G 进行面着色，则称 G 是 k -面可着色的，进行面着 色时，所用的最少颜色数称为平面图的面色数，记为 * (G) 。 定理 2.4：平面图 G 是 k -面可着色的，当且仅当它的对偶图 G' 是 k 色的图。 有了以上的预备知识，我们对平面图的着色问题有了大概的了解，地图实际上就 是一种平面图，平面图的区域代表国家，边表示国家之间的边界，顶点是边界的 交汇处。根据定理 2.4，我们可以把地图的着色问题进行转化，只要研究它的对 偶图是否是 k -可着色的就可以了。所以接下来的五色定理和四色定理的证明都 仅从顶点着色的角度考虑。
五色定理的证明： 五色定理：每个可平面图是 5-可着色的。 证明：设 G 是一个有 n 6 个顶点和 m 条边的平面图，用归纳法证明，先假设每 个具有少于 n 个顶点的平面图是 5-可着色的，由推论 1.4 有：
d (G )
2m 2(3n 6) 6； n n
设 v G 是定点度不大于 5 的顶点，由归纳假设知，图 H : G v 存在一个顶点着 色 V ( H ) {1, ,5} 。如果 v 的邻点最多用了 4 种颜色，那么 c 可以扩充为图 G 的 一个 5-可着色。 所以我们可以假设顶点 v 恰有 5 个邻点， 且每个邻点着不同颜色。 设 D 是一个足够小的包含 v 的开圆盘， 使得它只与 v 关联的五条边的直线段相交。 我们按照这些线段在 D 中的 （ i 1, ,5 ）如下图，不失一般性地，我们可以假设对于每个 i ，有 c(vi ) i 。 我们首先证明每条 v1 v3 路 P H 把 H 中的 v2 和 v4 分开。显然，这个结论成立当 且仅当在 G 中的圈 C : vv1 Pv3v 把 v2 和 v4 分开，我们可以通过说明 v2 和 v4 在 C 中
二、着色问题 定义 2.1（顶点着色） ：给图 G 的每个顶点指定一种颜色，使得任何两个相邻的 顶点颜色均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行顶点着色，就称对图 G 进行了 k 着 色， 也称 G 是 k -可着色的， 若 G 是 k -可着色的， 但不是 (k 1) -可着色的， 则称 G 是 k 色图，称这样的 k 为图 G 的色数，记为 (G) 。 定义 2.2（边着色） ：给图 G 的每条边指定一种颜色，使得任何两条相邻的边颜色 均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行边着色，就称对图 G 进行了 k 边着色，也称