机器人动力学分析

图为二自由度平面关节型串联机器人，其端点位置x、y与关节
变量q1、q2的关系为：
x y
l1cosq1 l1 sinq1
l2cos(q1 l2sin(q1
q2 q2
) )
即：
x y
x(q1, q2 ) y(q1, q2 )
将其微分，得：
dx
x
q1
dq1
x
q 2
dq 2
dy
y
q1
dq1
机器人雅克比矩阵 揭示了机器人操作 空间与关节空间的
映射关系。
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：
将其微分，得： 也可简写成： dY F dX
X
我们将此类矩阵称之为 机器人雅可比矩阵，或 简称雅可比，一般用符
号J表示。
dY F dX 叫做雅可比矩阵。 X
下面求解二自由度平面关节 串联机器人的雅可比矩阵。
解
由式知，速度雅可比为：J
l1 sinq1 l2 sin(q1
l1
cosq1
l2
cos(q1
q2 ) q2 )
l2 sin(q1 q2 )
l2
cos(q1
q2
)
因此，逆速度雅可比为：J 1
l1l2
1
sinq2
l1
l2 cos(q1 q2 ) cosq1 l2 cos(q1
q2 )
l2 sin(q1 q2 )
用力和力矩；
–fn，n+1及–nn，n+1——外界环境对机器人最末杆的
作用力和力矩；
f0，1及n0，1——机器人机座对杆1的作用力和力矩；
mig——连杆i的重量，作用在质心Ci上。
ri-1，i——坐标系{i}的原点相对于坐标系{i-1}的位置矢量 ri，ci——质心相对于坐标系{i}的位置矢量。
连杆i的静力学平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平
dt
dt
即 V J (q)q
式中： V——串联机器人手部在操作空间中的广义速度,V=X
q——串联机器人关节在关节空间中的关节速度；
q J(q)——确定关节空间速度 与操作空间速度V之间关系的雅
可比矩阵。
机器人手部的速度为：V
vx
vy
l1sinq1 l1cosq1
l2sin(q1 l2c(q1
q2 )q1 q2 )q1
l2sin(q1 q2 )q l2cos(q1 q2 )q2
2
式中：J-1称为串联机器人逆速度雅可比。
假如q1和q2是时间的函数，q1=f1(t)，q2=f2(t)，则可求出该串 联机器人手部在某一时刻的速度V＝f(t)，即手部瞬时速度。 反之，如果给定串联机器人手部速度，可由式解出相应的
之间的关系
依据，二自由度串联机器人的雅可比写为：J
l1sinq1 l2sin(q1
l1cosq1
l2cos(q1
q2) q2)
l2sin(q1 q2 )
l2cos(q1
q2
)
从J中元素的组成可见，J的值是q1及q2的函数。
4.1.2 串联机器人速度分析
对式
dX＝Jdq
左、右两边各除以dt，得：dX J (q) dq
y
q 2
dq 2
x
将其写成矩阵形式为：dx
dy
q1
y
q1
x
q 2
y
dq1 dq 2
q2
x
令：J
q1
y
q1
x
q 2
y
式可简写为：dX＝Jdq
q2
式中：dX
dx dy
dq
dq1
dq
2
将J 称为机器人的速
度雅可比，它反映了关 节空间微小运动dq与手 部作业空间微小位移dX
衡方程式为： fi-1，i+(-fi，i+1)+ mig＝0 ni-1，i+ (-ni，i+1) + (ri-1，i+ri，ci)×fi-1，i +(ri，ci)×(-fi，i+1)＝0
为了便于表示串联机器人手部端点对外界环境的作用力和力矩(简
称为端点力F)，可将fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量:
如图所示。
杆i上的力和力矩
fi–1，i及ni–1，i ——i-1杆通过关节i作用在i杆上
的力和力矩；
fi，i+1及ni，i+1——i杆通过关节i+1作用在i+1杆
上的力和力矩；
–fi，i+1及–ni，i+1——i+1杆通过关节i+1作用在i杆
上的反作用力和反作用力矩；
Fn，n+1及nn，n+1——机器人最末杆对外界环境的作
l1
sin
q1
l2
sin(q1
q2
)
V
vx
vy
1 0
q
q1
J
1V
因此，由式可得： q2
l1l2
1
sin q2
l1
l2 cos(q1 q2 ) cosq1 l2 cos(q1
q2 )
l2 sin(q1 q2 ) 1 l1 sinq1 l2 sin(q1 q2 ) 0
因此
q1
cos (q1 q2 ) l1sinq2
关节速度，即：q J -1V
当串联机器人逆速度雅可比J-1出现奇异解时，通常可以分 为以下两种情况：
工作域边界上 奇异。
奇异解
工作域内部 奇异
[例4.1] 如图所示，手部某瞬时沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s 速度移动，杆长为l1＝l2＝0.5m。求在q1＝30°，q1＝-60°时的关
节速度。
2
(rad/s)
q2
cosq1 l2sinq2
cos (q1 q2 ) l1sinq2
4rad/s
从以上可知，在该瞬时两关节的位置和速度分别为q1＝30°，q2＝60°，＝-2rad/s，＝4rad/s，手部瞬时速度为1m/s。
奇异讨论：从式知，当l1l2sinq2＝0时，式无解nn,
n1
1
各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式，即：
2
n——关节的个数 t——关节力矩(或关节力)矢量，简称广义关节力矩
第四章 机器人动力学分析
4.1串联机器人速度雅可比与速度分析 4.2串联机器人静力学分析 4.3 机器人动力学分析 4.4 并联机器人动力学分析
4.1串联机器人速度雅可比与速度分析
4.1.1 串联机器人速度雅可比
在机器人学中，雅可 比是一个把关节速度 向量变换为手爪相对 基坐标的广义速度向 量的变换矩阵。
l2≠0，所以，在q2＝0或q2＝180°时，二自由度串联机器人逆速 度雅可比J-1奇异。这时，该串联机器人二臂完全伸直，或完全折
回，即两杆重合，串联机器人处于奇异形位。
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4.2串联机器人静力学分析
4.2.1 机器人手臂的静力学
以机器人手臂中单 个杆件为例分析其受力
情况，如图所示，杆件i 通过关节i和i+1分别与杆 件i-1和杆件i+1相连接， 两个坐标系{i-1}和{i}分别