中子输运方程

7. j(r, E, Ω,t)dAdEd Ω ≡ [t时刻单位时间穿过面积dA且能量在E附近dE内，运 动方向在Ω周围d Ω内的中子期望数]
2
z
dV ྲ࿴ᒦᔇ
r θ
dΩ
dA
y
ϕ x
ᅄ3.12!āᅎࡴᲝయࢾേࡼာፀᅄ
（点击图片可放大显示）
公式推导：
x − y平面上的dA
Σ sφ (r)dV
⋅
dA cosθ 4πr 2
=
S(r,t)
+
D∇2φ (r,t)
−
Σ aφ (r, t )
→ 扩散方程
S(r) + D∇2φ (r) − Σaφ (r)＝0 → 稳态
边界条件： ①φ正值，有限 ②J ,φ连续 ③非凹外边界，J − = 0
线性外推距离（linear extrapolation distance）：在单群中子输运理论中，渐进中子通量 密度在边界上的切线延伸到在介质外达到零的一点到介质边界的距离。
围立体角d Ω内的中子期望数]
2.中子角通量密度 ( Angular neutron density) ⇒ 中子通量密度 (标量) φ (r, E, Ω,t) ≡ vn(r, E, Ω,t)
3.中子流角密度( Angular neutron current)： j(r, E, Ω,t) = vΩn(r, E, Ω,t) = Ωφ(r, E, Ω,t) 而Ω为单位矢量，故 j = φ
1.课本 72 页, 例 1：无限介质，点源，S 个中子/sec，各向同性。
边界条件：除源r条=件0外：lri→，m0 4φπ(rr
)为有限值。 2 J (r) = S
得解：φ (r)
=
Se −r / L 4πDr
考虑中子从出现点到被吸收点之间的直线距离的均方值(r 2 )
在r → r + dr间被吸收的中子数为Σaφ (r)dV 在r处dr内吸收中子的几率为：
p(r)dr
=
Σaφ (r)dV
/s
=
Σa
⋅
Se −r / L 4πDr
⋅ 4πr 2dr
/
s
=
rdr
⋅
1 L2
e−r / L
∫ r 2
=
∞ r 2 p(r)dr = 6L2
0
⇒ L2
=
1 6
r 2，L越大，泄漏越大。
L 可以度量中子由源扩散到被吸收点的平均直线距离，特别注意，并非中子的平均穿行全程。 （参看书 P182 图 2－11）
第三章 中子慢化和慢化能谱
第二章 单速中子扩散理论
§2.1 单速中子扩散方程的建立
§2.1.1 几个概念： 中子输运过程：t，r，v，Ω → t1，r1，v1，Ω1 中子角密度：n(t，r，v，Ω ) 中子角通量密度：n(t，r，v，Ω )v
∫ 中子密度：n( r，v)＝ n(r,v, Ω)dΩ 4π
4.中子流密度(净中子流密度)：
∫ J (r, E,t) = j(r, E, Ω,t)d Ω 4π
J (r,t) ⋅ d A = 中子穿过面积d A的净流量。
5.分中子流密度J ±：
6.J是矢量，表示穿过某一取向表面的净流量，可描述中子的泄漏或流动。 而φ只表征中子通过某一单位面积的总流量，而不论其方向如何，可描述 反应率。
§2.2 非增殖介质内中子扩散方程的解
非增殖介质：不含易裂变材料的介质。
5
S(r)仅取决于独立源，除源位置以外的介质内的所有点令S = 0, 这时（源的问题用边界条件进行处理）
D∇2φ (r) − Σaφ (r) = 0.
可写成：∇2φ (r)
−
1 L2
φ (r )
=
0.
→ Helmhaltz方程
⋅ e−Σtr
中子流密度(neutron current density)：是一个矢量，它在任何给定表面上的垂直分量等 于单位时间沿该规定方向通过该表面的单位面积的净中子数。
3
∫ ∫ ∫ 沿负z方向，J
− z
dA
=
Σ s dA 4π
2π 0
π /2 0
∞φ (r)e−Σsr cosθ sinθdrdθdϕ
1
§2.1.2 斐克定律：(十分类似于气体和溶液扩散中所用的著名的菲克定律)
几个假设： ① 无限，均匀； ② 散射各向同性(Isotropic scattering)； ③ Σa<<Σs； ④ 缓慢变化。
1.中子角密度 ⇒ 中子密度 n(r, E, Ω, t)d rdEd Ω ≡ [t时刻在r附近d r内，能量在E附近dE内以及运动方向在Ω周
标量中子通量密度（而电磁学和热传导中的通量是矢量。） 1.输运理论(transport theory)：根据 Boltzman 线性输运方程处理介质内中子或 γ 射线徙动问 题的理论。 2.扩散过程：由中子密度大的地方向小的地方运动。 3.扩散理论(diffusion theory)：根据在均匀介质中中子流密度与中子通量密度的梯度成正比 的假定描述中子扩散过程的近似理论。
Sδ D
(x)
非齐次
x ≠ 0,
d 2φ (x) dx 2
−
φ ( x) L2=0源自边界条件( x>
0)源条件(对称)：xl→im0+
J (x)
=
S 2
lim x→0+
φ
(x)
<
∞
可得：φ (x)
=
SL 2D
e−x/ L
L2
=
1 2
x2.
(x > 0)与L为源衰强减成长正度比。；
特别：源边界条件：对于增殖介质，x = 0处无源(或吸收体)，J A = J B
0
将φ (r)在原点处，用泰勒级数展开，取到一阶项，并利用坐标变换，可得：
J
− z
=
φ0 4
+
1 6Σ s
(
∂φ ∂z
)
0
同理，
下标“0”表示原点。
J
＋ z
=
φ0 4
－1 6Σ s
( ∂φ ∂z
)0
Jz
=
J
+ z
−
J
− z
=
1 − 3Σ s
(
∂φ ∂z
)
0
J
=
Jxi +
Jy
j+
Jzk
=
−
λs 3
gradφ
定义：
扩散面积(diffusion area)：在有限均匀介质中热中子从出现点到消失点之间位移均方值 的六分之一。
扩散长度(diffusion length)：扩散面积的平方根值。
2.课本 73 页 例(2) 无限介质，无限平面源，S/(sec.m2)
d
2φ (x) dx 2
−
φ ( x) L2
=
−
0 =
S 2
结果：φ (x)
=
SL 2D
e−
x
/ L − e−(a− 1+ e−a / L
x
)/L
当介质的厚度为扩散长度得 2 倍或更多倍数时，对于离界面距离约大于一个扩散长度的区 域，可以将系统视为无限厚的一样。
30
25
20
15
a =1
10
L a =2 L
a =3 L
5
a =∞
L
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
其中，L2 = D Σa
L称中子扩散长度。
现考虑一维问题：无限大平板，对称球，对称无限长圆柱。（书）
对实常数齐次线性常微分方程，可用特征方程与特征根方法求解。
shx
=
ex
− e−x 2
，chx
=
ex
+ e−x 2
，thx
=
shx chx
(shx)' = chx，(chx)' = shx
§2.3 解扩散方程的方法
若x
=
0处有源，则J
+ A

J
− B
+ +
S0 2
S0 2
= =
J
+ B
J
− A
相加并整理，得J B − J A = S0 若x = 0处为吸收体，则J B − J A = −S0
7
3.课本 74 页, 例(3)，无限平面源，有限厚介质(a)
边界条件 φ
(±
a 2
)
=
lxi→m0 J (x)
【注】有限几何条件下的格林函数核与无限几何条件不同。它不再是一个位移核，因为
偏向的中子源破坏了问题的对称性。
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第一章 核反应堆的核物理基础 第二章 单速中子扩散理论 ................................. 1
§2.1 单速中子扩散方程的建立 ....................................1 §2.2 非增殖介质内中子扩散方程的解 ..............................5 §2.3 解扩散方程的方法 ..........................................6 §2.4 反照率 ....................................................9 §2.5 扩散方程的积分形式 .......................................10
①无限
⇒
两三个自由程之外
⇒
有限介质，足够大。 离外边界，足够远。
②缓慢变化
⇒
强吸收体附近，扩散性能显著不同的交界面 强中子源附近
⇒
不能用
§2.1.4 建立扩散方程 原则：中子数守恒。
∂n = 1 ∂φ = S − L − A ∂t v ∂t
4
泄漏率(L)
Lz = (J z+dz − J z )dxdy
(
D
∂φ ∂z
)
= −divDgradφ (D为常数)
=
−
D
∂ 2φ ∂x 2
+
∂ 2φ ∂y 2
+
∂ 2φ ∂z 2

= −D∇2φ = −D∆φ
吸收率：A = Σaφ
1 v
∂φ (r, t ) ∂t
=
S(r,t)
−
div J
−
Σ aφ (r, t )
→ 连续性方程
1 v
∂φ (r, t ) ∂t
6
例如：石墨的L = 0.59m，因而，r 2 = 6L = 1.45m
而平均散射自由程为0.026m(Σa << Σs )，在被吸收前平均遭受
Σs
Σa
=
0.385 32 ×10−5
= 12031次散射碰撞。
故中子在吸收前走过的平均路程为(即吸收平均自由程)
1203× 0.026 = 31.3m，远大于 r 2
10
φ (r)
=
Se −r / L 4πrD
在原点有点源
− r−r' / L
φ (r) = Se 4πrD r − r '
在r '处有点源
φ(r) = ∑ i
− r −r''i / L
Sie
4πrD
r
−
r' 'i
在若干个点r '处有点源。
− r −r''i / L
∫ φ (r) = d 3r ' e
=
−
λs 3
∇φ。.
n = cosαi + cos β j + cosγ k
J = J ⋅n
J = −D∇φ
→ 斐克定律(Fick' s law), D为扩散系数。
用Σtr 代替Σ s，Σtr = Σt − Σ s µ0 ≈ Σ s (1 − µ0 )
并用D
=
λtr 3
.
§2.1.3 斐克定律的适用范围
੿ࣞLjඳ
ᅄ3.13ā‫ݙ‬ᄴ੿ࣞ஑ᒠดࡼᒦᔇᓖ೟ൈමࣞॊ‫ݚ‬
（点击图片可放大显示）
8
§2.4 反照率
B 对 A 的反照率 β β = J出
J入
Α
Β
J߲
Jྜྷ
0
X
①当B为无限厚平板时
β
=
J出 ＝ J β− J入 Jβ−
=
φ
4 φ
4
+ −
D 2 D 2
dφ
dx dφ
dx
1 + 2D dφ
=
1−
φ 2D
L
L
ch a A = −B L
sh a L
∴φ ( x)
=
−B
ch sh
a
L a
sh
x L
+
Bch
x L
L
=
B sh a
− ch
a L
sh
x L
+ sh
a L
ch
x L
=
B sh a
sh a − L
x
L
L
2D dφ = φ dx x=0
B
2D sh a
−
x
⋅
B sh a
ch
a
− L
=
(J z
+
∂J z ∂z
dz
−
J z )dxdy
=
∂J z ∂z
dxdydz
= − ∂ (D ∂φ )dV ∂z ∂z
同理，Lx , Ly
∴ L = ∂J x + ∂J y + ∂J z = divJ = ∇ ⋅ J ∂x ∂y ∂z
=
−
∂ ∂x
(D
∂φ ∂x
)
+
∂ ∂y
(D
∂φ ∂y
)
+
∂ ∂z
dx dφ
φ dx
φ (x) = Ae−x / L
(指在B介质内的通量)
2D φ
dφ dx
＝
2D Ae−x /
L
Ae−x / L (− 1 ) = − 2D
L
L
1− 2D
∴
β
=
1+
L 2D
L
（β ∞）
9
②当B厚度为a时（含外推距离）
φ (x) = Ash x + Bch x
L
L
用外推边界条件：0 = Ash a + Bch a
x
⋅ −
1 L

sh a L
L
L
= − 2D cth a LL
( ) ∴ β
=
1−
2D
L
cth
a L
( ) 1+
2D
L
cth
a L
当a
→
∞时，即cth
a L
→ 1，β
→
β∞
讨论：反射层厚度对反照率的影响。
§2.5 扩散方程的积分形式
1.源的迭加性。扩散方程是线性的，中子的粒子性。 2.源互不干涉。因为中子－中子碰撞极少。
S(r ' )
4πrD
r
−
r' 'i