全国百强名校2020-2021学年高二上学期10月领军考试+数学含答案

2020－2021学年上学期全国百强名校

“领军考试”高二数学

2020.10

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.－回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知a ＝2，sin 1

sin 2

B A =，则b ＝A.4

B.3

C.2

D.1

2.某市邮政局统计了该市某一区域3－7月份快递业务量，3月份3万件，4月份4万件，5月份6万件，6月份9万件，7月份13万件。请依据此规律预测8月份的快递业务量为A.17万件

B.18万件

C.19万件

D.20万件

3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知b ＝2，c 6，cosC ＝1

4

，则a ＝A.2

B.

32

C.1

D.

12

4.在等比数列{a n }中，若a 1a 4＝2，a 8a 11＝8，则a 6＝A.±2

B.±4

C.2

D.4

5.在△ABC 中，AB ＝4，AC 5cos ∠ACB ＝5

5

，则∠ABC ＝A.

6π或56

π B.

3π或23

π

C.

6

π

D.

3

π6.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远都截不完。现将该木棍依据此规律截取，设S n 为第1天到第n 天所截取的木棍长度之和，则S n ＝A.(

12

)n

B.1－(

12

)n C.(

12

)n ＋1 D.1－(

12

)n ＋1

7.设{a n }是等差数列，且a 1＋a 3－a 4＝2，a 3＋a 5－a 6＝5，则a 11＋a 13－a 14＝A.16

B.17

C.18

D.19

8.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ＝3c ，csin2A ＝asinC ，则△ABC 的周长为

A.3

B.3＋

C.4

D.59.数列{a n }中，a 4＝8，对任意正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋20＝620，则k ＝A.3

B.4

C.5

D.6

10.如图所示，为了测量山顶古塔的高度，在地面上A 点处测得古塔顶C 的仰角为α，沿直线AE(E 为山的底部，与C ，D 在同一铅垂线上)向古塔前进m 米到达B 点处，测得古塔顶C 的仰角为β(α<β)，测得古塔底部D 的仰角为γ，则古塔高CD ＝

A.

()

msin sin sin αββα- B.

()()msin sin sin αβγβα--C.

()()

msin sin sin sin αβγγβα-- D.

()()

msin sin cos sin αβγγβα--11.在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知(2asinB －c)sinC ＝asinA －bsinB ，则

c

a

的取值范围为

A.(

2

) B.(

2

C.(

12

，2)，)

12.数列{a n }满足a n ＋1－(－1)n ＋1

a n ＝2

2n －1，前21项和为2038，则a 2＝

A.－1

B.＋1

－1

D.＋1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在等比数列{a n }中，a 2＝2，4a 1＋a 5＝4a 3，则a 8＝

。

14.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，c －b ＝l ，cosC ＝1

8

，则△ABC 的面积为

。

15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，53253S S -=，则数列{n 22

n a -}的前6项和为

。

16.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知a 2＋c 2>b 2ac ，

sin C a 为cos A

a

，cos B

b

的等差中项，则B ＝。

三、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知{a n }是递减的等差数列，a 3＝6，且a 4为a 2，a 5等比中项。(1)求{a n }通项公式；

(2)数列{a n }的前n 项和S n 的最大值及此时n 的值。18.(12分)

在平面四边形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，∠ACD ＝2∠ABC ，AC ＝3

3

AB 。(1)证明：△ABC 是直角三角形；

(2)若AB ＝，△ACD 的面积2

，求AD 。19.(12分)

已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝

4

3

，4a n ＋1＝a n ＋3a n ＋2。(1)证明：{a n ＋1－a n }是等比数列：(2)求数列{a n }的通项公式。20.(12分)

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。设(sinA ＋sinB)2＝sin 2(A ＋B)＋3sinAsinB 。(1)求C ；(2)若c ＝4且

，求边b 上的高。

从①ccosB ＝bsinC ，②sinB ＋cosB 这两个条件中选出一个，补充到(2)中，并完成解答(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)。21.(12分)