微分方程模型数学建模
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这时求得的t是死者从死 亡时间到尸体被发现所经 历的时间。因此可得，死 者的死亡时间大致在前一 天晚上的10：35.
T(t)=29时，t=2.4094
8
2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
X A
B
小湖示意图
如图所示是一个容量为2000m3的一个小湖的示意 图，通过小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相 同的流量湖水经过B流出。在上午11:05时，因交 通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图 中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35 事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入 湖中，初步估计Z的量在5～20m3之间。请建立一 个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变 化并估计：
(2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
21
2019年8月2日
战争的预测与评估问题
2. 模型的假设
（１）敌对双方为甲方和乙方，时刻 t 的军
备综合实力分别为 x(t) 和 y(t) ；
（２）双方的军备综合实力是随着时间连续
平稳变化的，即 x(t) 和 y(t) 是时间 t 的连续
可微函数；
（３）不考虑第三方的军备实力对甲乙双方 的影响．
22
2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
问题(1): 首先，双方都有一个固有的增加军备的
需求，即各自的固有军备增长率，分别记为常数 和 ．
其次，甲方的军备实力的增长与乙方的军备实
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5
2019年8月2日
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理；
Z 30
6C
C(0) 0
10
2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
求解得一特解为：
C(t) Z (1 e6t / 2000 ) /180
2000
dC dt
Z 30
6C
C(0) 0
在 0<t<30 之间求 t 为多少时，C(t)最大。
湖中的速率是 Z/30（ m3 min1 ），而排出湖外的污染物的速率是 60 0.1C(m3 min 1) ，因为每立方流走的水中含有 C m3 的污染物，
而湖水始终保持 2000 m3 的容积不变，所以列方程：
湖水中含污染物的变化率=污染物流入量-污染物排出量
2000
dC dt
17
2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
设平面方程
dx1 dt
f (x1, x2 )
dx2
dt
g(x1, x2 )
（4）
的平衡点为 x1
x（1 0），x 2
x
(0) 2
，记为
P0
(
x（1 0），x
(0) 2
)
。
如果对所有可能初值条件的解 x1(t)，x2 (t) 有
（2）利用微元法
（3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
6
2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
1. 估计死亡时间
,q A 。
p0
当 p 0, q 0 时平衡点 P0 (x（10），x2(0) ) 是稳定的； 当 p 0 或 q 0 时平衡点 P0 (x（10），x2(0) ) 是不稳定的。
19
2019年8月2日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出
由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族
矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部 战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌 对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装 备现已成为决定战争胜负的重要因素．
展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军 备竞赛会一直无限地进行下去，最终会导致战争．
25
2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 0 ，且 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) (0,0)
是稳定的．即甲乙双方没有厉害冲突和争端，在和平共 处的情况下，都没有发展军备的欲望．
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29℃，当 时环境的温度是21℃.1h后尸体温度下降到27℃，若人体正常 的体温是37℃，估计死亡时间。
解：设 T(t)为 t 时刻被杀害者的体温，k 为比例系数. 由
Newton 冷却定理（将温度为 T 的物体放入处于常温 T0 的 介质中，T 的变化速率正比于 T 与周围介质的温度差：
cd ab
cd ab
24
2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) 稳定，即当双方制约发展
军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时，军备竞赛的 最终结果是可以达到平衡的．
当 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) 不稳定，即当双方制约发
力成正比，反之亦然．其比例系数分别记为 a 和b ．
再次，军备增长率减少的程度与现有的军备实力
成正比，其比例系数分别记为 c 和 d ．
23
2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
甲乙双方军备竞赛的数学模型:
dx dt
cx
ay
(1)
特征方程为：
2 (c d ) cd ab 0
的稳定性判断方法：
直接方法：将函数 f (x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
dx dt
f
(x0 )(x x0 )
显然 x0 也是该方程的平衡点，其稳定性取决于 f (x0 ) 符号：
若 f (x0 ) 0 ，则平衡点 x0 是稳定的； 为什么？ 若 f (x0 ) 0 ，则平衡点是不稳定的。
f x1
(
x (0) 1
,
x (0) 2
)( x1
x (0) 1
)
f
x2
(
x (0) 1
,
x (0) 2
)(
x2
x (0) 2
)
dx2
dt
g x1
(x1(0) ,
x
(0 2
)
)(
x1
x (0) 1
)
g x2
( x1(0) ,
x (0) 2
)(
x
2
x (0) 2
)
（5）
记系数矩阵为 A ，且 A 0 ， p ( f x1 gx2 )
判断平衡点的稳定性有两种方法：
间接方法：首先求出方程的解 x (t) ，然后
利用定义
lim
t
(t)
x0
来判断。
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
16
2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
方程
dx dt
f
(x) 的平衡点 x
x0
lim
t
x1 (t )
x（10），ltim
x2
(t)
x(0) 2
，
则称平衡点 P0 (x（10），x2(0) ) 是稳定的；否则是不稳定的。
18
2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
将方程组（4）的右边的函数作一阶泰勒展开，即
dx1 dt
dT (t) dt
k (T
(t)
T0
),
，
T (0) 37, T (t) 29, T (t 1) 27
7
2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
1. 估计死亡时间
解方程得： T (t) Cekt 21
根据初始条件可得
T (t) 16( 4)t 21 3
数学建摸课程
第三章 微分方程方法
微分方程建模的思想和方法 微分方程建模的简单实例 微分方程的平衡点与稳定性 案例
2
2019年8月2日
第三章 微分方程方法
微分方程是研究函数变化规律的有力工 具，有着广泛和实际的应用。
微分方程建模主要有以下三种方法：
根据已知规律建模 利用高等数学中的微元分析法建模 利用模拟近似法建模
13
2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
设方程组（2）：
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
T 30 (2000/ 6) ln(0.9564Z)
11
2019年8月2日
Z取不同值时的浓度C（30）和时间T
Z/m3
C(30)/m3
T/min
5
0.00239
552
10
0.00478
738
15
0.00717
9Baidu Nhomakorabea8
20
0.00956
1014
三、微分方程的平衡点及稳定性
微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人 们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这 种次要的因素称为干扰因素。
14
2019年8月2日
三.微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
如果对所有可能初值条件，方程组（2）的解
x (t) 都满足
lim
t
(t)
x0
则称平衡点 x0 是稳定的；否则是不稳定的。
问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？
15
2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装 备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等．
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20
2019年8月2日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出
现在要求建立数学模型讨论的问题：
(1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论；
3
2019年8月2日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年8月2日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
显然是 t=30，污染达到高峰。此时的污染浓度为：
C(30) Z (1 e ) 630/2000 /180 (4.728 10 4 )Z
然后污染物被截断，故方程改为
2000 dC 6C ， C(t) C(30)e6(t30)/ 2000 dt
当它达到安全水平时，即 C(t)=0.05%，可求出 t=T
干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作 用。
问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起 初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微 小变化？
有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、 扰动下的稳定性。
实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求 其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解 称为平衡点。
dy
dt
bx
dy
p cd
p>0,q>0稳
q cd ab 定，q<0不
为了研究军备竞赛的结局，求(1)的平衡点，即
稳定.
cx ay 0 bx dy 0
可得 x* a d , y* b a (cd ab) ．
（1）湖水何时到达污染高峰？ （2）何时污染程度可降至安全水平（不大于 0.05%）。
9
2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
分析：湖水在时间 t 时的污染程度，可用污染度 C(t)表示，即
每立方米受污染的水中含有 C m3 的化学污染物质和（1-C） m3 的清
洁水。用分钟作为时间 t 的单位。在 0<t<30 的时间内，污染物流入
当 0, 0 ，且 cd ab 时，即双方军备竞赛的存
在性，既便是双方被迫裁军，在某个时候有 x(t) 0 和
y(t) 0 ，但由 dx 0 和 dy 0 ，则双方的军备
dt
dt
竞赛客观存在，最终双方的军备实力还会强大起来．
T(t)=29时，t=2.4094
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2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
X A
B
小湖示意图
如图所示是一个容量为2000m3的一个小湖的示意 图，通过小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相 同的流量湖水经过B流出。在上午11:05时，因交 通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图 中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35 事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入 湖中，初步估计Z的量在5～20m3之间。请建立一 个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变 化并估计：
(2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
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2019年8月2日
战争的预测与评估问题
2. 模型的假设
（１）敌对双方为甲方和乙方，时刻 t 的军
备综合实力分别为 x(t) 和 y(t) ；
（２）双方的军备综合实力是随着时间连续
平稳变化的，即 x(t) 和 y(t) 是时间 t 的连续
可微函数；
（３）不考虑第三方的军备实力对甲乙双方 的影响．
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2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
问题(1): 首先，双方都有一个固有的增加军备的
需求，即各自的固有军备增长率，分别记为常数 和 ．
其次，甲方的军备实力的增长与乙方的军备实
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
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2019年8月2日
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理；
Z 30
6C
C(0) 0
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2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
求解得一特解为：
C(t) Z (1 e6t / 2000 ) /180
2000
dC dt
Z 30
6C
C(0) 0
在 0<t<30 之间求 t 为多少时，C(t)最大。
湖中的速率是 Z/30（ m3 min1 ），而排出湖外的污染物的速率是 60 0.1C(m3 min 1) ，因为每立方流走的水中含有 C m3 的污染物，
而湖水始终保持 2000 m3 的容积不变，所以列方程：
湖水中含污染物的变化率=污染物流入量-污染物排出量
2000
dC dt
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2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
设平面方程
dx1 dt
f (x1, x2 )
dx2
dt
g(x1, x2 )
（4）
的平衡点为 x1
x（1 0），x 2
x
(0) 2
，记为
P0
(
x（1 0），x
(0) 2
)
。
如果对所有可能初值条件的解 x1(t)，x2 (t) 有
（2）利用微元法
（3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
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2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
1. 估计死亡时间
,q A 。
p0
当 p 0, q 0 时平衡点 P0 (x（10），x2(0) ) 是稳定的； 当 p 0 或 q 0 时平衡点 P0 (x（10），x2(0) ) 是不稳定的。
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2019年8月2日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出
由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族
矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部 战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌 对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装 备现已成为决定战争胜负的重要因素．
展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军 备竞赛会一直无限地进行下去，最终会导致战争．
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2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 0 ，且 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) (0,0)
是稳定的．即甲乙双方没有厉害冲突和争端，在和平共 处的情况下，都没有发展军备的欲望．
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29℃，当 时环境的温度是21℃.1h后尸体温度下降到27℃，若人体正常 的体温是37℃，估计死亡时间。
解：设 T(t)为 t 时刻被杀害者的体温，k 为比例系数. 由
Newton 冷却定理（将温度为 T 的物体放入处于常温 T0 的 介质中，T 的变化速率正比于 T 与周围介质的温度差：
cd ab
cd ab
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2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) 稳定，即当双方制约发展
军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时，军备竞赛的 最终结果是可以达到平衡的．
当 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) 不稳定，即当双方制约发
力成正比，反之亦然．其比例系数分别记为 a 和b ．
再次，军备增长率减少的程度与现有的军备实力
成正比，其比例系数分别记为 c 和 d ．
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2019年8月2日
战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
甲乙双方军备竞赛的数学模型:
dx dt
cx
ay
(1)
特征方程为：
2 (c d ) cd ab 0
的稳定性判断方法：
直接方法：将函数 f (x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
dx dt
f
(x0 )(x x0 )
显然 x0 也是该方程的平衡点，其稳定性取决于 f (x0 ) 符号：
若 f (x0 ) 0 ，则平衡点 x0 是稳定的； 为什么？ 若 f (x0 ) 0 ，则平衡点是不稳定的。
f x1
(
x (0) 1
,
x (0) 2
)( x1
x (0) 1
)
f
x2
(
x (0) 1
,
x (0) 2
)(
x2
x (0) 2
)
dx2
dt
g x1
(x1(0) ,
x
(0 2
)
)(
x1
x (0) 1
)
g x2
( x1(0) ,
x (0) 2
)(
x
2
x (0) 2
)
（5）
记系数矩阵为 A ，且 A 0 ， p ( f x1 gx2 )
判断平衡点的稳定性有两种方法：
间接方法：首先求出方程的解 x (t) ，然后
利用定义
lim
t
(t)
x0
来判断。
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
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2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
方程
dx dt
f
(x) 的平衡点 x
x0
lim
t
x1 (t )
x（10），ltim
x2
(t)
x(0) 2
，
则称平衡点 P0 (x（10），x2(0) ) 是稳定的；否则是不稳定的。
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2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
将方程组（4）的右边的函数作一阶泰勒展开，即
dx1 dt
dT (t) dt
k (T
(t)
T0
),
，
T (0) 37, T (t) 29, T (t 1) 27
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2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
1. 估计死亡时间
解方程得： T (t) Cekt 21
根据初始条件可得
T (t) 16( 4)t 21 3
数学建摸课程
第三章 微分方程方法
微分方程建模的思想和方法 微分方程建模的简单实例 微分方程的平衡点与稳定性 案例
2
2019年8月2日
第三章 微分方程方法
微分方程是研究函数变化规律的有力工 具，有着广泛和实际的应用。
微分方程建模主要有以下三种方法：
根据已知规律建模 利用高等数学中的微元分析法建模 利用模拟近似法建模
13
2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
设方程组（2）：
dx
f (t, x)
dt
x(t0 ) x0
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
T 30 (2000/ 6) ln(0.9564Z)
11
2019年8月2日
Z取不同值时的浓度C（30）和时间T
Z/m3
C(30)/m3
T/min
5
0.00239
552
10
0.00478
738
15
0.00717
9Baidu Nhomakorabea8
20
0.00956
1014
三、微分方程的平衡点及稳定性
微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人 们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这 种次要的因素称为干扰因素。
14
2019年8月2日
三.微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
如果对所有可能初值条件，方程组（2）的解
x (t) 都满足
lim
t
(t)
x0
则称平衡点 x0 是稳定的；否则是不稳定的。
问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？
15
2019年8月2日
三 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装 备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等．
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
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2019年8月2日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出
现在要求建立数学模型讨论的问题：
(1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论；
3
2019年8月2日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年8月2日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
显然是 t=30，污染达到高峰。此时的污染浓度为：
C(30) Z (1 e ) 630/2000 /180 (4.728 10 4 )Z
然后污染物被截断，故方程改为
2000 dC 6C ， C(t) C(30)e6(t30)/ 2000 dt
当它达到安全水平时，即 C(t)=0.05%，可求出 t=T
干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作 用。
问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起 初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微 小变化？
有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、 扰动下的稳定性。
实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求 其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解 称为平衡点。
dy
dt
bx
dy
p cd
p>0,q>0稳
q cd ab 定，q<0不
为了研究军备竞赛的结局，求(1)的平衡点，即
稳定.
cx ay 0 bx dy 0
可得 x* a d , y* b a (cd ab) ．
（1）湖水何时到达污染高峰？ （2）何时污染程度可降至安全水平（不大于 0.05%）。
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2019年8月2日
二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
分析：湖水在时间 t 时的污染程度，可用污染度 C(t)表示，即
每立方米受污染的水中含有 C m3 的化学污染物质和（1-C） m3 的清
洁水。用分钟作为时间 t 的单位。在 0<t<30 的时间内，污染物流入
当 0, 0 ，且 cd ab 时，即双方军备竞赛的存
在性，既便是双方被迫裁军，在某个时候有 x(t) 0 和
y(t) 0 ，但由 dx 0 和 dy 0 ，则双方的军备
dt
dt
竞赛客观存在，最终双方的军备实力还会强大起来．