高中数学 组合与组合数公式(三)
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3 3 2 9 2 3 3 9 1 3 4 9
方法二：C C C 666
5 12 0 3 5 9
说明：当至多（至少）中包括的情况很 多时，用间接法比直接法简单的多。
例5：6本不同的书全部送给5人， 每人至少一本，有几种不同的送书方法？
分析：这是一个常见的排列组合混合题， 对于这样的题目，解题思想：先组后排， “每人至少一本”的含义是“必然有1人得2本 2 5 所以，要分两步 C6 A5 1800
14 t
变式2：已知C 求C
x 5 2x
x x2
C
5 x 1
C ,
C
x4 2x
例2 平面内有12个点，任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形?
C
3 12
12 11 10 3 2 1
220
答:一共可画220个三角形.
变式
1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法?
变式1： 6本不同的书全部送给5人， 有几种不同的送书方法？ 变式2： 5本不同的书全部送给6人，每人最多1本， 有几种不同的送书方法？ 变式3： 5本相同的书全部送给6人，每人最多1本， 有几种不同的送书方法？
(C 9
3
98 7 3 2 1
84)
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本, 有多少种不同的借法?
Leabharlann Baidu
(C 5
2
5 4 2 1
10)
例3 有13个队参加篮球赛,比赛时先 分成两组,第一组7个队,第二组6个队. 各组都进行单循环赛(即每队都要与 本组其它各队比赛一场),然后由各组 的前两名共4个队进行单循环赛决出 冠军、亚军,共需要比赛多少场?
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
变式
按下列条件，从12人中选出5人，有多少 种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
组合与组合数公式 （三）
一、组合的定义 二、组合数公式 三、组合数性质
n(n 1)( n 2) (n m 1) P C m m! Pm
m n m n
n! C m !( n m) !
m n
c
m n
c
nm n
c n 1 c n c n
m
m
m 1
例一：已知：C
(C 7 C C 21 15 6 42)
2 2 6 2 4
例4 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件: (1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m n
注：（1）组合数方程要注意组合数的意义， 即C 中m n, m、n N 。
*
2x 25
C
x7 25
，求x ?
（2）方程C
f ( x) n
C
g ( x) n
等价于 :
4 t t 20 6 x 1
f ( x) g ( x)或f ( x) g ( x) n
变式1：已知C C , 求C
(1)C C 36
3 3 2 9
(2)C C 126
0 3 5 9 1 4 (3)C1 C9 126 1 4 (4)C3 C9 378 3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756 5 3 2 方法二：C12 C3 C9 756
(6)方法一：C C C C C C 666
方法二：C C C 666
5 12 0 3 5 9
说明：当至多（至少）中包括的情况很 多时，用间接法比直接法简单的多。
例5：6本不同的书全部送给5人， 每人至少一本，有几种不同的送书方法？
分析：这是一个常见的排列组合混合题， 对于这样的题目，解题思想：先组后排， “每人至少一本”的含义是“必然有1人得2本 2 5 所以，要分两步 C6 A5 1800
14 t
变式2：已知C 求C
x 5 2x
x x2
C
5 x 1
C ,
C
x4 2x
例2 平面内有12个点，任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形?
C
3 12
12 11 10 3 2 1
220
答:一共可画220个三角形.
变式
1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法?
变式1： 6本不同的书全部送给5人， 有几种不同的送书方法？ 变式2： 5本不同的书全部送给6人，每人最多1本， 有几种不同的送书方法？ 变式3： 5本相同的书全部送给6人，每人最多1本， 有几种不同的送书方法？
(C 9
3
98 7 3 2 1
84)
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本, 有多少种不同的借法?
Leabharlann Baidu
(C 5
2
5 4 2 1
10)
例3 有13个队参加篮球赛,比赛时先 分成两组,第一组7个队,第二组6个队. 各组都进行单循环赛(即每队都要与 本组其它各队比赛一场),然后由各组 的前两名共4个队进行单循环赛决出 冠军、亚军,共需要比赛多少场?
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
变式
按下列条件，从12人中选出5人，有多少 种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
组合与组合数公式 （三）
一、组合的定义 二、组合数公式 三、组合数性质
n(n 1)( n 2) (n m 1) P C m m! Pm
m n m n
n! C m !( n m) !
m n
c
m n
c
nm n
c n 1 c n c n
m
m
m 1
例一：已知：C
(C 7 C C 21 15 6 42)
2 2 6 2 4
例4 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件: (1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m n
注：（1）组合数方程要注意组合数的意义， 即C 中m n, m、n N 。
*
2x 25
C
x7 25
，求x ?
（2）方程C
f ( x) n
C
g ( x) n
等价于 :
4 t t 20 6 x 1
f ( x) g ( x)或f ( x) g ( x) n
变式1：已知C C , 求C
(1)C C 36
3 3 2 9
(2)C C 126
0 3 5 9 1 4 (3)C1 C9 126 1 4 (4)C3 C9 378 3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756 5 3 2 方法二：C12 C3 C9 756
(6)方法一：C C C C C C 666