实变函数论 n维空间中的点集、聚点、内点、界点ppt课件

y)
max i
xi
yi
;
2 ( x, y) xi yi ;
i 1
⑵离散空间(X , d)，其中
d(x, y) {10
x y x y
⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数 全体), 其中
d(x, y) max | x(t) y(t) | at b
4
定义 1 设 x0 RN , 0. RN 中到 p0 的距离小于 的所有点组成之集
, xN）| a1 b2 , , aN
x1 b1 , xN bN
,
（1 ）
把（1）中任意多个“ ”号换成“ ”, 相应的点集 I 统称为区间，
2
定义 对于 RN 中的任意两点 x (x1, x2,..., xN ) 及
y ( y1, y2,..., yN ), 我们把非负实数
1
N i 1
( xi
yi
)2
2
称为 x 与 y 的欧几里德距离, 简称 x 与 y 的距离,
记作 (x, y) 或者 d (x, y).
命题 距离有如下三条基本性质：
U( p0, ) {p | d ( p0, p) }
称为以 p0 为中心以 为半径的球形邻域, 简称 p0 的 邻域, 记作 U ( p0, ). 当没必要指出 p0 和 时,就简称为球形邻域或邻域.
5
命题 球形邻域有如下四条基本性质：
（i）x U (x, ); （ii）y U (x, ), 则存在 0 使 U( y, ) U(x, ); （iii）若 x U (x1,1), x U (x2,2), 则 0 使
xA yB
定义 3' 两个非空的点集 A, B的,若A={x},则点到集合的距离定义为 d (x, B) inf d (x, y).
yB
注：a.若x B,则dx, B 0;反之则不一定成立，如x 0, B 0,1.
b.若A B ，则d ( A,B) 0；反之则不一定成立，
如A n 1 / n, B n 1 / n（ 都是闭集）
,
x
）之
N
全体称为 RN 空间, 简称 RN . N 称为 RN 的维数.
RN 的元素 x （x1, x2,L , xN）又称为 RN 的点, 点 x 的第 i 个分量又称为它的第 i 个坐标
（当点记为 x 时，它的第 i 个坐标通常记为 xi）.
点（0，0，L ，0）称为 RN 的原点, 记作.
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（i） (x, y) 0; (x, y) 0 当且仅当 x y; （ii） (x, y) ( y, x); （iii） (x, y) (x, z) (z, y). （三角不等式）
3
例： ⑴欧氏空间（R n , d）,其中 d (x, y)
n
(xi yi )2
i 1
n
1( x,
收敛于 x0 的点列, 记作
lim
n
xn
x0
或
xn
x0 .
定义 2 '
设
xn
是 RN
n1
中的一点列,
x0 RN .
若
lim
n
d
(
xn
,
x0
)
0,
称 x0 为点列 xn 的极限,
记作
lim
n
xn
x0
或
xn
x0 .
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定义 3 两个非空的点集 A, B的距离定义为 d ( A, B) inf d (x, y).
⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 则称(X,d)为度量空间.
(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是 一个度量空间，称（Y,d）为 (X,d) 的子空间。
U (x, ) U (xi,i ), i 1,2. （iv）若x y,存在U (x, )和U ( y, ),使U (x, ) I U ( y, )
（ii）y U( x, ), 0 使 U( y, ) U( x, );
证明 仅证（ii）令 ( y, x),则 0. 若 z U( y, ),则 (z, y) , 从而(z, x) (z, y) ( y, x) ( ) , 故 z U( x, ), 于是U( y, ) U( x, ). 6
第4讲 n维空间中的wk.baidu.com集
目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。
重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。
1
⒈度量空间
定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足
定义 2 设 x1, x2, x3,L 是 RN 中的一列点
(点列 x1, x2, x3,L
可记作
x n n1
或
xn
1
,
有时简记作 xn),
x0 RN . 若对于含 x0 的任一邻域U ,
总存在自然数 K, 使当 n K 时xn U ,
就称 x0 为点列 xn 的极限, 称 xn 是一个
定义6 设 ai、bi 是实数, ai bi (i 1, 2,L , N ). RN 中的 点集
I
（ x1, x2,L a2 x2
, xN）| a1 x1 b2,L , aN xN
b1,
bN
,
（1）
称为开区间, 记作（a1, b1; a2 , b2;L ; aN , bN）. 若把（1）中的诸不等式换成 ai xi bi , i 1, 2,L , N, 则
称 I 为闭区间, 记作 [a1, b1; a2, b2;L ; aN , bN ]. 若把（1）中的诸不
等式换成 ai xi bi , i 1, 2,L , N，则 称 I 为半开区间, 记作 (a1, b1; a2, b2;L ; aN , bN ].
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I
（ ax2 1,
x2 , x2
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定义 4 一个非空的点集 A 的直径定义为
( A) sup d (x, y).
xA yA
定义5 设 M 为 R N 中一点集, 若存在开区间I 使 I M , 则称 M 是有界集.
定义 5' 设 M 为 RN 中一点集, 若 (M ) ,
则称 M 是有界集.
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定义
分量都是实数的有序
N
数组（x1, x2,L