不确定性需求条件下供应链库存风险分担策略研究

+
2ρσ1σ 2
[(
p
+π
−
c)z
−
(
p
+
π
+
h)( zφ ( z )
+ ϕ(z))] +
(
p
−
c)(µ1
+
µ2 )
(6)
3. 模型分析
3.1 订货量比较
由(3)式、(5)式可得，集中库存与分散库存订货量差额为：
∆q = q集 − q分 = z[
σ12
+
σ
2 2
+
2ρσ1σ 2
−
(σ1
+ σ 2 )]
(7)
由于
σ12
+
σ
2 2
+ 2ρσ1σ 2
≤
(σ1
+ σ 2 ) ，当 z
< 0 ，q集
≥
q分 ，即服务水平φ(z)
< 0.5 时，
集中库存比分散库存订货量多；当 z = 0 ， q集 = q分 ,即服务水平φ(z) = 0.5 时, 集中库存与
分散库存订货量相同；当 z > 0 ， q集 ≤ q分 ，即服务水平φ (z) > 0.5 时，集中库存比分散库
1. 引言
随着当今全球市场上的激烈竞争、产品寿命周期的缩短以及顾客期望的提高，迫使商业 企业投资并关注其供应链。最大限度地降低库存风险成本、提高收益是企业追逐的目标，也 是学术界研究的热点。
供应链中的风险是指由于供应链的不确定性造成利益损失的可能性，供应链的库存与供 应链的不确定性有密切的关系。Chopra[1]将供应链的不确定性分为需求的不确定性和供应的 不确定性。其中，需求的不确定性主要表现为客户需求量的不确定，以及需求分布在时间、 空间上的差异性，需求结构的变动等[2]。由于需求的不确定性，供应商或零售商保持的库存 可能面临过量订货带来的损失，如库存积压损失等；也有可能面临订货不足带来的损失，如 损失收益、违约金等。
q分 = µ1 + µ2 + z(σ1 + σ 2 )
(3)
获得预期利润之和为：
R分 (z) = R1(z) + R2 (z)
(4)
= (σ1 + σ 2 )[( p + π − c)z − ( p + π + h)(zφ(z) + ϕ(z))] + ( p − c)(µ1 + µ2 )
2.3.3 集中库存系统模型
2. 分散库存系统与集中库存系统模型
传统的库存方法是分散式库存系统(如图 1 中 A 所示)，在每个地区市场上都有一个零售 商，各个零售商之间完全独立运作，独立的持有库存，只为对应的市场负责，决策目标是使 自己的库存策略最优，也就是追求系统内的局部最优。
而库存的风险分担（Risk pooling）是一种集中式库存系统（如图 1 中 B 所示），是通过 零售商之间的联盟，把多个分开的库存点合并为一个库存，即用一个由所有零售商共管的中 心仓库取代原来分散的仓库体系，负责整个区域的市场供给。它的理论基础是多个地点需求 总和的变动性小于各个地点需求的变动性。由于需求的不确定性，当把不同地区的需求集合 起来处理时，一个地区高于平均值的需求很可能被另一个地区低于平均值的需求所抵消[13]。 因此可从整体上减少由需求不确定性风险带来的缺货损失和库存积压损失，从而提高收益。
p+π p+π
− c 处，函数 g(z) 达到最大值： +h
g(z*) = −( p + π + h)ϕ(z*)
(10)
由(4)、(6)、(10)式可知，分散库存系统和集中库存系统的预期利润都达到最大值，分别
为：
R分* = ( p − c)(µ1 + µ2 ) − (σ1 + σ 2 )( p + π + h)ϕ(z*)
损失 h ，订货不足带来的单位产品的损失 π 。
-2-

2.3 数学模型
2.3.1 基本模型
考虑由一个供应商和一个零售商组成的库存系统。
零售商预期售出量为：
预期积压量为：
q
+∞
∫0 xf (x)dx + ∫q qf (x)dx
预期缺货量为：
q
∫0 (q − x) f (x)dx
订货成本为 cq
+∞
∫q (x − q) f (x)dx
因此零售商的预期利润 R(q) 为：
∫ ∫ ∫ ∫ R(q) = p(
q
xf (x)dx +
+∞
qf (x)dx) − h
q (q − x) f (x)dx − π
+∞
(x − q) f (x)dx − cq
0
q
0
q
(1)
经典的报童模型定义“服务水平”为订货量满足需求即不缺货的概率，即为 P(x < q) ，

不确定性需求条件下供应链库存风险分担策略研究
孙军峰，宋华明
南京理工大学经济管理学院，江苏南京（210094） 摘 要：本文基于单周期单品种商品库存系统，在不确定性需求条件下，考虑了库存积压损 失和缺货损失，从零售商的订货量和利润角度建立了传统的分散库存系统和基于风险分担的 集中库存系统模型。通过模型求解证明出，在较高的服务水平上，实施风险分担能够减少订 货量；而在任何服务水平上，实施风险分担能提高利润；并指出各市场需求相关性对风险吸 收效应的影响。最后在数值分析部分中，通过一个便于观察的图形，更加明显的反映了上述 结论。 关键词：风险分担；不确定性需求；报童模型；供应链；库存模型
供应商
仓库 I 仓库 II
市场 I 市场 II
供应商 中心仓库
市场 I 市场 II
A 分散库存系统
B 集中库存系统
图 1 分散型库存系统与集中型库存系统 资料来源于：陈兵兵,陈军军.供应链上的缺货风险和库存控制[J].物流技术与应用.2005,(12):65
2.1 模型假设
在由一个供应商和多个零售商组成的单品种商品库存系统中,有以下几个假设: (1)在单周期中，零售商只有一次订货机会。 (2)供应商生产能力远大于市场总需求，因此可满足零售商的订货数量。
(3)设市场需求为随机变量 x ，需求密度函数为 f (x) ，分布函数为 F (x) ,标准正态分布 的密度函数为ϕ(x) ，标准正态分布的分布函数为φ(x) 。需求量 x 满足均值为 µ ，标准差为 σ 的正态分布，即 X ~ N (µ,σ 2 ) 。
(4)不单独考虑运输成本。
2.2 变量说明 决策变量：订货量 q ； 参数：单位产品的售价 p ，单位产品的批发价 c ( c < p )，过量订货带来的单位产品的
风险分担可以给供应链节点企业带来较高的收益，对风险分担优势及其影响因素进行定
-1-

量研究具有特定的现实意义，而目前这方面的研究相对比较少。本文将以单一供应商多个零 售商为对象，研究在单周期单品种商品库存系统中，不确定性需求条件下各零售商之间的库 存风险分担策略。讨论在任一服务水平下，基于风险分担的集中库存系统相对于传统的分散 库存系统的优势，以及各市场需求的相关性对风险分担收益的影响。
令 z = q − µ ，则 P(x < q) = F (q) = φ(z) ，(1)式可化简为： σ
R(z) = σ[( p + π − c)z − ( p + π + h)(zφ(z) + ϕ(z))] + ( p − c)µ
(2)
2.3.2 分散库存系统模型
考虑由一个供应商和两个零售商组成的库存系统。
供应链中的库存风险，会由于不同的供应链合作关系，在供应链企业之间发生转移[3]。 如果供应商和零售商之间、零售商和零售商之间建立供应链联盟，共享信息，紧密合作，则 可以提高供应链各成员的收益，而这种合作就是风险分担。
在检索到的有关供应链库存风险分担的文献中，Eppen[4]讨论了多地区报童模型，提出 集中库存系统的库存持有成本与缺货成本小于分散库存系统，节省的成本大小与各地区需求 相关性有关；Schwarz[5]在高服务水平下建立了一个研究风险分担价值的多点库存模型，认 为集中库存模式能够分担供货提前期的风险；Cherikh[6]通过定量研究后发现，报童模型中集 中库存模式能够积聚需求，降低成本，提高利润，从而降低由需求不确定带来的风险； Benjaafar[7]研究了不确定性需求条件下的多点库存系统，讨论了需求变异对安全库存的影 响；Lin[8]通过对分散库存和集中库存模型的分析，证明了在最优订货量条件下，集中库存 系统的利润不小于分散库存系统，且若各市场需求相关度越趋向于1，集中库存系统与分散 库存系统利润越趋近。Gerchak[9]定量分析了需求变动性对库存风险分担收益的影响，提出 需求变动越大，风险分担收益越大；大卫·辛奇－利维[10]从安全库存和再订货点的角度，举 例说明了零售商之间的库存风险分担可以降低库存水平，并提出了变差系数和需求相关性会 影响风险分担带来的收益；苏菊宁[11]研究了供应链中供应商与零售商之间的库存风险分担 协调策略，建立了供应商分担部分库存风险时供需双方的利润模型，通过算例说明库存风险 分担策略在供应链库存协调中的有效性，并提出市场需求波动越大供需双方及整个供应链从 库存风险分担中获得的收益越大；邓佩[12]定量分析了空间需求的相关系数变动对安全库存 成本的影响,提出当各地区需求不是呈线形正相关的情况下零售商应建立中心仓库。
在市场 1 和市场 2 上，分别存在零售商 1 和零售商 2。Xi 表示市场 i 需求( i = 1, 2 ), µi 为 市场 i 需求均值，σ i 为市场 i 需求标准差， qi 表示零售商 i 订货量， Ri 表示零售商 i 利润。
q分 表示分散库存系统各零售商订货量之和， q集 表示集中库存系统订货量。
σ
2 1
+
σ
2 2
+
2ρσ1σ
2
]
≥
0
3.3 需求相关性影响 由(7)、(8)式可以看出，对于较高的服务水平φ(z) > 0.5 ，在需求相关系数 ρ 的变化范
围[−1,1] 内，随着 ρ 的变大，∆q 和 ∆R 逐渐变小，即集中库存低于分散库存的订货量变小， 集中库存高于分散库存的利润也变小，风险分担带来的收益变小。当 ρ 为 1 时， ∆q = 0 ， ∆R = 0 ，集中库存系统与分散库存系统无异，实施风险分担无效果。
R集* = ( p − c)(µ1 + µ2 ) −
σ12
+
σ
2 2
+
2ρσ1σ 2
(
p
+π
+
h)ϕ ( z* )
同时，由(8)、(10)式可知，由于
σ
Байду номын сангаас
2 1
+
σ
2 2
+ 2ρσ1σ 2
≤ (σ1 + σ 2 ) ，集中库存与分散库
存预期利润差额达到最小值：
∆R* = R集* − R分* = ( p + π + h)ϕ(z*)[(σ1 + σ 2 ) −
零售商 2 订货量为：
q2 = µ2 + zσ 2
零售商 2 预期利润为：
R2 (z) = σ 2[( p + π − c)z − ( p + π + h)(zφ(z) + ϕ(z))] + ( p − c)µ2 对于任意的服务水平φ(z) 对应的 z ，分散库存系统订货量之和为：
-3-

dg(z) = ( p + π − c) − ( p + π + h)φ(z) dz
d 2g(z) = −( p + π + h)ϕ(z) < 0 dz 2
令 dg(z) = 0 得： dz
φ(z) = p +π − c
(9)
p+π +h
-4-

因此在服务水平φ(z) =
存订货量少。
3.2 利润比较
由(4)、(6)式可得，集中库存与分散库存预期利润差额为：
∆R = R集 − R分
(8)
=(
σ
2 1
+
σ
2 2
+
2ρσ1σ 2
− (σ1
+ σ 2 ))[( p
+π
− c)z
−
(
p
+π
+
h)(zφ(z) + ϕ(z))]
令函数 g(z) = ( p + π − c)z − ( p + π + h)(zφ(z) + ϕ(z)) ，对 g(z) 求一阶及二阶导数：
市场
1
和市场
2
的总体市场需求
X
~
N (µ1
+
µ2
,
σ
2 1
+
σ
2 2
+ 2ρσ1σ 2 ) 。
若采用风险分担策略，对于任意的服务水平φ(z) 对应的 z ，则集中库存系统订货量为：
q集 = µ1 + µ2 + z
σ
2 1
+
σ
2 2
+
2ρσ1σ 2
(5)
获得预期利润为：
R集 (z) =
σ
2 1
+
σ
2 2
R分 表示分散库存系统各零售商利润之和， R集 表示集中库存系统利润。
X1 ~ N (µ1,σ12 ) ，
X2
~
N
(µ2
,σ
2 2
)
，
ρ
为
X1
与
X2
的相关系数，
−1
≤
ρ
≤1。
零售商 1 订货量为：
q1 = µ1 + zσ1
零售商 1 预期利润为：
R1(z) = σ1[( p + π − c)z − ( p + π + h)(zφ(z) + ϕ(z))] + ( p − c)µ1