用两种方法证明海伦公式

求三角形面积的海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。

它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。

表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。

中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

若 ABC ∆ 的三边长分别为 a ，b ，c ，则
ABC S ∆==
其中 p 是 ABC ∆ 的半周长，即 ()2p a b c =++。

（证明一）设边 c 上的高为 h 。

由于 AD DB c +=，而在 ADC ∆ 和 DBC ∆ 中，根据勾股定理有
222
222AD AC CD AD DB CB CD DB ⎧=-⇒=⎪⎨=-⇒
=⎪⎩
A
B C
a
b
c
h
D
于是有
,c =
即
c =
两边平方，化简得
222.2b c a +=-
两边平方，化简得
h =
1122ABC
h S c ∆== 仔细化简一下，得
ABC S ∆=
===
（证明二）
11
sin 22ABC S ab C ∆=
= (1)
在 ABC ∆ 中，由余弦定理得
222cos .2a b c C ab
+-=
代入 (1) 式，化简得
111sin 222ABC
S ab C ∆====
=
化简得
ABC S ∆=。