第6章 平面射影几何简介
几何学中的射影几何研究
几何学中的射影几何研究几何学是研究空间图形和它们的性质的学科，而射影几何是其中的一个重要分支。
射影几何通过引入射影平面和射影点的概念，对平行线和无穷远点进行了研究，从而为几何学提供了一种新的视角和工具。
本文将针对射影几何的基本概念、应用以及研究现状进行探讨。
一、射影几何的基本概念射影几何的基本思想是将实数域上的几何问题拓展到射影平面上，从而解决传统几何学中无法解释的问题。
射影几何中最基本的概念是射影平面和射影点。
射影平面可以看作是在传统的欧几里得平面上加入了一条无穷远线形成的平面，而射影点则是传统几何中的点在射影平面上的映射。
二、射影几何的应用射影几何在现实生活中有着广泛的应用。
在计算机图形学中，射影几何可以用来处理透视投影问题，使得计算机生成的图像更加真实。
在地图制作中，射影几何可以用来解决投影问题，实现地球表面的平面展开。
此外，在相机成像和光学仪器设计等领域，射影几何也起着重要的作用。
三、射影几何的研究现状射影几何作为几何学的重要分支，在现代数学中得到了广泛的研究。
从理论的角度来看，射影几何涉及到代数、拓扑和几何学等多个领域的交叉研究。
研究者们通过引入射影空间、投影变换和射影群等概念，对射影几何进行了深入的探讨。
在应用方面，射影几何已经得到了广泛的应用和拓展。
例如，在计算机视觉和模式识别领域，射影几何可以用来进行图像处理和目标跟踪。
此外，在计算机辅助设计和虚拟现实等领域，射影几何也发挥着重要的作用。
射影几何的研究还面临着一些挑战。
其中之一是如何将射影几何与其他数学分支更加紧密地结合起来，从而推动射影几何的发展。
另外，射影几何在应用方面仍有一些问题需要解决，如何将射影几何应用到更多的领域，并且发挥出更大的价值。
总结射影几何作为几何学的重要分支，通过引入射影平面和射影点的概念，为解决传统几何学中的一些难题提供了新的思路和方法。
射影几何在实际生活和学科研究中有着广泛的应用，并且在理论和应用方面都存在着一定的挑战和发展空间。
射影几何公理
射影几何公理【实用版】目录1.射影几何的定义与基本概念2.射影几何公理的基本内容3.射影几何公理的应用4.射影几何的发展历程与意义正文射影几何是一种数学几何学，主要研究空间中直线、平面以及它们的射影。
射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
本文将从射影几何的定义与基本概念、射影几何公理的基本内容、射影几何公理的应用以及射影几何的发展历程与意义四个方面进行介绍。
首先，射影几何的定义与基本概念。
射影几何起源于光学和摄影测量学，它的基本概念包括射影、射影空间、射影直线、射影平面等。
射影是指从一个点向一个平面投射的过程，射影空间是指由射影和平面构成的空间。
射影几何的研究对象是射影空间中的直线、平面以及它们的射影。
其次，射影几何公理的基本内容。
射影几何公理包括以下三个基本原理：1）直线确定一个平面；2）两个不共线的点确定一条直线；3）三个不共线的点确定一个平面。
这些基本原理为射影几何的研究提供了理论基础。
接着，射影几何公理的应用。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，例如在计算机图形学、摄影测量学、空间探测等领域都有重要的应用。
射影几何公理在解决实际问题中起到了关键作用。
最后，射影几何的发展历程与意义。
射影几何公理的发展历程可以追溯到古希腊时期，欧几里得和阿里士多德等数学家都对射影几何做出了重要贡献。
随着科学技术的发展，射影几何在现代数学、物理学、工程学等领域发挥着越来越重要的作用，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
总之，射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
射影的有关概念及定理课件
射影几何在物理学和工程学中的应用前景
光学与射影几何
利用射影几何的原理和方法研究光学 问题，如光的传播、折射、反射等， 为光学设计和研究提供新的思路和方 法。
机器人学与射影几何
将射影几何应用于机器人视觉和运动 规划中，提高机器人的感知和决策能 力，促进机器人技术的发展。
射影几何的数学理论发展
射影空间的推广
在计算机图形学中，射影几何被广泛应用于图像 处理、3D建模等领域。
05
射影几何的未来展望
射影几何与其他几何的交叉研究
射影几何与微分几何的交叉
研究射影流形、射影联络等，将射影几何的方法和技巧引入微分几何，促进两者的发展。
射影几何与代数几何的交叉
通过引入代数的方法和概念，研究射影空间中的代数对象，如射影簇、代数曲线和曲面等，进一步深化对射影几 何的理解。
的。
射影空间中的点表示为有序数对 ，其中有限点表示为实数对，而 无穷远点表示为无穷符号和实数
对的组合。
点与直线的射影
点在射影空间中可以表示为有序数对，而直线则可以表示为两个点的集合。
点与直线之间的射影关系是指通过将点投影到直线上，得到一个新的点或直线。
在射影变换中，点与直线之间的关系是重要的，因为它们可以用来描述几何图形之 间的变换关系。
射影变换
射影变换是指在射影空间中，通过将 点或直线进行平移、旋转或缩放等操 作，得到新的点或直线的过程。
射影变换的一个重要性质是它保持了 图形的结合性和顺序性，即变换后的 图形仍然满足原有的几何关系。
射影变换包括透视变换、仿射变换和 欧氏变换等类型，它们可以用来描述 不同类型几何图形之间的变换关系。
研究更高维度的射影空间，探索 其性质和结构，为数学理论的发 展提供新的方向和思路。
《射影几何与透视学》课件
射影几何的应用
通过射影几何理论，可以更好地 设计建筑物的外观和内部结构。
在计算机游戏中，利用射影几何 可以创造出更加真实的三维场景 。
摄影和电影制作 建筑设计
机器人视觉 计算机图形学
利用射影几何原理，可以更好地 理解和处理图像的透视关系。
射影几何在机器人视觉中用于识 别和定位物体。
02
透视学基础
《射影几何与透视学》PPT课件
目录
• 射影几何概述 • 透视学基础 • 射影几何与透视学的关系 • 射影几何与透视学的实际应用 • 结论 • 参考文献
01
射影几何概述
Chapter
射影几何的定义
01
02
03
射影几何
研究图形在射影变换下不 变性质的几何分支。
射影变换
保持图形间点与点、直线 与直线间对应关系的变换 。
绘画艺术中的射影几何与透视学
绘画中的空间表现
利用射影几何与透视学的原理， 画家可以更好地表现画面的空间
关系和深度感。
绘画中的立体感
通过透视学的原理，画家可以创造 出更加逼真的立体感，使画面更加 生动。
绘画中的光影效果
利用射影几何的原理，画家可以更 好地表现光影效果，增强画面的层 次感和立体感。
摄影技巧中的射影几何与透视学
03
射影几何与透视学的关系
Chapter
射影几何对透视学的影响
射影几何为透视学提供了理论基础，使得透视学得以发 展。
射影几何中的投影原理为透视学中的投影提供了理论支 持。
射影几何中的一些基本概念，如点、线、面等，在透视 学中也有广泛应用。
透视学在射影几何中的应用
透视学为射影几何提供了实际 应用的场景，使得射影几何的 理论得以具体化。
平面几何中的射影与投影
平面几何中的射影与投影射影与投影是平面几何中的重要概念，它们在空间几何学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
本文将介绍射影和投影的基本概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、射影的概念与性质射影是指平面几何中一种特殊的投影方式。
在射影中，从一个点到一条直线的投影是将这点连同这直线的距离小于其它点到这直线的距离的投影方式。
而在一般的投影中，平行投影是最常见的方式。
在射影中，射影基本定理是一个重要的性质。
它指出，对于任意一点，在平面上取一条射线，并且选取一点作为射线的起始点，可以找到另一条射线与之相交，从而形成射影。
二、射影的应用1. 三维建模中的射影在三维建模中，射影是一个重要的概念。
通过射影，可以将三维物体投影到二维平面上，使得观察者可以更直观地理解物体的形状和结构。
例如，在计算机图形学中，射影可以用来生成三维物体的透视效果，提高图像的真实感。
2. 地图制作中的射影在地图制作中，射影是不可或缺的工具。
通过射影，可以将地球表面的曲面投影到平面上，使得地图更符合人们的直观认知。
有许多不同的投影方法可供选择，如等距射影、正轴射影等，根据不同的地理特点和使用需求选择适合的射影方法。
三、投影的概念与性质投影是指将一个对象映射到另一个平面或曲面上的过程。
在平面几何中，投影有两种常见的形式：平行投影和透视投影。
平行投影是指从一个点到一条平行于另一条线段的直线之间的投影，透视投影则是指从一个点到一条与之相交的直线之间的投影。
投影具有一些基本性质，包括投影距离公式、投影长度公式等。
根据这些性质，可以计算出投影的相关参数，从而更准确地描述和分析对象在投影中的特征。
四、投影的应用1. 建筑设计中的投影在建筑设计中，投影是非常重要的概念。
通过对建筑物及其组成部分的投影，可以更好地理解建筑的结构和形态。
这对于设计师来说是至关重要的，因为建筑的外观和空间布局直接影响使用者的感受和体验。
2. 形状识别中的投影在计算机视觉中，投影可以应用于形状识别。
射影几何简介
•
笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
• • •
他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
• •
为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
1
B′ O . A′
C′
B
C
D′ A
D
• • •
那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
平行射影 课件
如果梯形 ABCD 所在平面不平行于投影方向，则平 行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则 梯形 ABCD 在平面 α 上的平行射影仍是梯形．
答案：一条线段或一个梯形
归纳升华 1．投影方向不同，同一个图形的平行射影也有所不 同；图形的平行射影与投影方向和投影平面有关． 2．正射影是平行射影中投影线与投影面垂直时的一 种特殊情况．
2．几何图形在平面上的平行射影
设直线 l 与平面 α 相交，把直线 l 的方向称为投影方 向．过点 A 作平行于 l 的直线，必与平面 α 交于点 A′， 那么把点 A′称作点 A 沿直线 l 的方向在平面 α 上的平行 射影，一个图形上各点在平面 α 上的平行射影所组成的 图形称作该图形的平行射影．正射影是平行射影的特例．
归纳升华 1．确定一个点在平面内的正射影的方法：过该点作 平面的垂线，则垂足是该点在平面内的正射影． 2．垂足位置的确定：利用立体几何知识及相关结论， 与线、面垂直的判定定理、性质定理相结合，通过论证确 定．
3．平面图形在一个平面内的正射影由该图形上各点 在平面内的正射影组成．
类型 2 平行射影的判定及应用 [典例 2] 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，若梯形不在 平面 α 内，则它在平面 α 上的平行射影是________． 解析：如果梯形 ABCD 所在平面平行于投影方向， 则梯形 ABCD 在 α 上的射影是一条线段．
温馨提示 1.两条相交直线的平行射影是两条相交 直线或一条直线.2.两条平行直线的平行射影不一定是平 行直线，有可能是两条平行直线或一条直线或两个点．
3．椭圆的定义 平面上到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫 做椭圆． 温馨提示 用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱 两底面平行，截面是圆，当平面与圆柱两底面不平行时， 截面是椭圆．
射影几何简介.
h
A
B
l2 CD
• 德沙格定理 如果两个三角形对应顶点 的连线交于一点，则对应边所在直线的 三个交点共线．
A
A1 C1 C
B1
B
• 帕斯卡定理 若一六边形内接于一圆锥曲
线，则每两条对边相交而得到的三点在同
一条直线上．
P
Q
R
• 布里昂雄定理 如果一个六边形外切于 圆锥曲线，则六边形对应顶点的三条连 线相交于一点． E
O
• 无穷远点 画家没影点（消点）的概念
实际上指的是无穷远点．几何学家受此启
发引入了无穷远点的概念．阿尔贝蒂指 出，画面上的平行线必须画成相交于某 一点，除非它们平行于画面．但是没影 点并不与原景中的任一点对应。为了保 持这种对应关系，德沙格（Desargues， 1593-1662） 在直线上引进了一个新的点， 即无穷远点。
D
F
O
C A
B
• 拓广平面
引入无穷远点的直线叫拓广 直线，在欧氏平面的每一条直线上 都引入一个无穷远点，所有无穷远 点的集合叫无穷远直线．引入无穷 远直线后的欧氏平面叫拓广平面．
• 射影平面
在拓广平面上，如果不区别 无穷远元素与通常元素，予以同等 看待，则称拓广平面为射影平 面．射影平面上的直线叫射影直线， 射影平面上的点叫射影点．
交比
射影变换不能保持长度，也不能保 持长度的比．但是，如果一条直线上 有4个有序点A，B，C，D，它们在另 一直线上的射影是A1，B1，C1，D1 ，则 这两组有序点的交比相等．即射影变 换能保持交比．
• 交比 比值
(ABCD) CA / DA CB DB
叫做4个有序点的交比．
AB C
D
• 定理 在射影变换下4个有序点的交比保 持不变． O第Fra bibliotek节 射影几何简介
射影的有关概念及定理PPT课件
射影直线和平面所成角
汝城一中数学教研组
1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线
P 点P到平面的斜线段
Q
斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
斜线段在平面内的射影
P
Q
斜线在平面内的射影
射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜
线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短. 注意：是过同一点引线
A
（1） OB=OCAB=AC
射影的长短斜线段的长短
OB>OCAB>AC
（2 ）AB=ACOB=OC
B
AB>ACOB>OC
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
； ；；
续向前走去,不过此时根汉已经在角麟背后,此地之诡异就是角麟这远古之兽也没有听说过丶根汉抬头望向头顶壹片漆黑,尽是黑雾笼罩看不出去,周围十分の
关于平面的射影点
关于平面的射影点射影几何是几何学的一个分支，它研究的是在平面上的点、线、面在投影变换下的性质与关系。
在射影几何中，我们常常会遇到一个重要的概念——射影点。
什么是射影点呢？简单来说，射影点是指在平面上的一个点在投影变换下的像点。
在实际应用中，我们常常需要通过射影点来解决一些几何问题，比如计算图形的面积、求解几何体的位置关系等。
让我们来了解一下射影变换的基本概念。
射影变换是指从一个平面到另一个平面的一种特殊的映射关系。
在射影变换中，平行线不再保持平行，而是相交于无穷远点。
这也就意味着，在射影变换下，平面上的点与无穷远点之间的距离会趋于无穷大，而无穷远点则成为了平面上的一个特殊点，称为“射影点”。
射影点在几何学中有着重要的应用。
例如，在计算图形的面积时，我们可以通过选择适当的射影点来简化计算过程。
通过将图形投影到一个平面上，我们可以在这个平面上计算图形的面积，然后再通过射影点的变换将结果转换回原始平面。
这样，我们就可以利用射影点来简化面积计算过程，提高计算效率。
射影点还可以用于求解几何体的位置关系。
在判断两个几何体是否相交时，我们可以通过选择适当的射影点来判断它们的相对位置。
通过将两个几何体投影到同一个平面上，并选择一个合适的射影点，我们可以在这个平面上判断它们是否相交。
如果相交，则它们在原始平面上也相交；如果不相交，则它们在原始平面上也不相交。
这样，我们可以利用射影点来简化判断过程，提高求解效率。
射影点是射影几何中的一个重要概念，它可以帮助我们解决一些几何问题。
通过选择适当的射影点，我们可以简化计算过程，提高求解效率。
射影点在计算机图形学、计算机视觉等领域有着广泛的应用，对于研究和应用射影几何具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能够对射影点有一个更深入的理解，并能够灵活运用射影点解决实际问题。
同时也希望读者能够进一步探索射影几何的其他相关概念和应用，拓宽自己的数学知识和视野。
位置几何──射影几何学
位置几何──射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。
一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
射影几何的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。
这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。
这门几何学就是射影几何学。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。
那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。
在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。
这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。
在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。
稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家──笛沙格和帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。
1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。
他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。
射影几何三大入门定理
射影几何三大入门定理1. 定理一：射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。
在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。
首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。
1.1 射影平面的定义在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。
射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件：•任意两条直线有且只有一个交点；•任意两个不同的点确定一条直线。
1.2 定理一的表述定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质：•任意两个不同的直线交于唯一一点；•任意两个不同的点确定唯一一条直线。
1.3 定理一的证明第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。
我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。
根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。
由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。
假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。
但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。
这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。
第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。
我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。
根据射影平面的定义，任意两条直线有且只有一个交点，所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。
假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交，并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。
射影平面六讲一一第一讲
以下我們將 ξ1 和 ξ2 固定, 而令 ξ0 變 化。 以 (ξ0, ξ1, ξ2) 為齊次座標的點 P 的非齊 次座標為 (ξ1/ξ0, ξ2/ξ0)。 設 P0 為以 (ξ1, ξ2) 為非齊次座標的點。 連接原點和 P0 成一直線 l。 對一切 ξ0, P 點始終在直線 l 上。 當 ξ0 取負值, 且其絕對值很大時, P 很接近原點, 但和 P0 在原點的異側。 當 ξ0 取負值時, P 仍維持和 P0 在原點的異側, 而且隨 |ξ0| 變 小而漸行漸遠。 當它變成 0 時, 點 P 沒有定 義。 當它變成正數時, 它又有定義了, 成為和 P0 在原點同側的 l 上的一點。 ξ0 取很小的 正值 時, P 離原點很遠。 當 ξ0 增加到 1 時, P 便和 P0 重合。 當 ξ0 增加超過 1 時, P 點逐漸靠近原點。 這些想法提示我們在直線 l 上增加一點, 以(0, ξ1, ξ2) 為其齊次座標。
現在設想 l 為 G 上的一定線, Q 為 G 上 l 外之一定點, P 為在 l 上的一動點。 當 P 不斷向前移動 (即與 Poncelet 在窗之異側向 遠離窗之方向移動) 時, σP 從直線 j 的下方 向上移動。 當 P 漸行漸遠之時, 直線 QP 漸 漸接近於平行的位置, 而點 σP 也漸漸從直 線 j 的下方接近於j。 若令 P 向後移動, 則 σP 從直線 j 的上方向下移動。 當 P 漸行漸 遠之時, 直線 QP 和點 σP 的狀況也和上文 所述的相當類似。 這種考慮使 Poncelet 想到 在平面上添加一些 無限遠點 (points at infinity), 作為平行線的交點, 便可把平行線的 觀念統合在不平行線的觀念以內。 添加無限 遠點後, 歐氏平面便變成了 射影平面 (projective plane)。 以下我們不用 Poncelet 的
射影几何有趣知识点总结
射影几何有趣知识点总结射影几何有许多有趣的知识点，以下将对一些其原理、性质和应用作一详细总结。
原理射影几何研究的是透视关系下的几何图形。
这种透视关系是我们在现实生活中常见的，比如站在铁轨上看远处的两条平行铁轨会看起来像是会相交一样。
这种现象就是射影几何的基本原理之一。
在射影几何中，有两种基本要素：射影平面和射影点。
射影平面是一个包括了图形在内的平面，射影点是空间中的一个点。
当直线与射影平面相交时，我们可以得到一个射影点。
性质射影几何中有许多有趣的性质。
其中一个重要的性质是“对合性”，即当一个射影点在射影平面上绕一个固定点旋转时，两个相对应的直线在射影平面上的射影点互换位置。
这一性质在许多应用中都有着重要的作用，尤其在建筑设计和艺术创作中。
另一个有趣的性质是“轴点性”。
当一个点在射影平面上绕另一个固定点旋转时，固定点到射影点的直线在射影平面上构成一个圆锥曲线。
这一性质在计算机图形学和光学设计中有着广泛的应用。
应用射影几何在许多领域都有着广泛的应用。
其中一个最直接的应用就是在艺术创作中，例如素描和绘画都会涉及到透视的概念。
另外，在建筑设计中，也需要考虑到建筑物在不同角度观看时的透视效果。
在工程领域，射影几何还被广泛应用于计算机图形学和光学设计中。
在计算机图形学中，可以利用射影几何的原理来模拟现实世界的透视效果，从而实现生动逼真的图形效果。
在光学设计中，也需要考虑到光线在透镜和镜面上的射影效果，从而实现更加精确的光学系统设计。
此外，射影几何还在地理学和天文学领域有着重要的应用。
例如在地理学中，可以利用射影几何的原理来解决地图投影的问题，从而得到更加真实和准确的地图。
在天文学中，也可以利用射影几何的原理来解释天体运动和地心运动的现象。
总结射影几何是一个深奥而有趣的数学分支，它涉及到许多有趣的原理、性质和应用。
射影几何不仅在几何学中有着重要地位，同时也在计算机图形学、建筑设计等其他领域有着广泛的应用。
通过对射影几何的研究，我们可以更好地理解现实世界中的透视关系，从而实现更加精确和生动的图形效果。
第6章 平面射影几何简介
(1.1)
联系的任何三个不全为零的实数 x1 , x2 , x3称为点P关于
仿射标架 O; e1 , e2 的齐次(仿射)坐标,记为 P[ x1 , x2 x3 ] 是点P的齐次坐标,则对任意非零实数 λ， x1 , x2 , x3 也是点P的齐次坐标,因而点P的齐次 坐标不唯一。 对于P∈π，显然有 x3 0 点P的仿射坐标(x,y)称为点 P的非齐次(仿射)坐标。 [ 对于齐次坐标 x1 , x2 ,0]不表示π上的任何点,我们把齐 次坐标为 [ x1 , x2 ,0] 的点称为无穷远点。在π上加进这 些无穷远点后称为扩大的欧氏平面,记为 。我们把 扩大的欧氏平面称为射影平面。平面π上的点称为 的通常点。
很明显关系~是等价关系, R3 0 关于等价关系~的等 价类的集合构成射影平面的解析模型,记为 P 2或RP 2 点 P x1 , x2 , x3 的等价类记为 [ x1 , x2 , x3 ]
8
P 直观上， 2 是把空间中过原点的直线视为一点,即 P 2 R 3中过原点的`直线 {[ x1 , x2 , x3 ]
2
O N
0
M P'
P
1
图 6.1
3
但是,对于 OM // 1 的点 M 0 在 1 上没有象,因而中心 投影不是映射;同样对于ON // 0 的点N 1在 0上没原 象。为了使中心投影成为一个映射并且是双射,就需要 在 0与 1上添加一些新的点,使点M 0 都有象,点 N 1 都有原象。这样的添加了点的平面就形成了射影平面 的概念 。
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§1 齐次坐标,射影平面
1.齐次坐标，射影平面 2.直线的齐次坐标方程 返回
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射影平面知识点总结
射影平面知识点总结射影平面是射影几何的基本概念，它是在射影空间的基础上引入的一种几何结构。
射影平面是一种具有射影性质的空间，它拥有特殊的性质和结构，因此在几何学和代数学中有着重要的应用。
本文将对射影平面的基本知识点进行介绍和总结，包括射影平面的定义、性质、构造方法以及相关定理和定律等内容。
一、射影平面的定义射影平面是指一个由点、直线和射线组成的空间结构，它是由二维实射影空间定义的。
在射影平面中，任意两条不共线的直线都有且只有一个交点，这是射影平面的基本性质之一。
另外，射影平面满足幂零定理，即任意两条相交的直线在其交点处的切线都是无穷远的。
在代数几何中，射影平面可以通过将欧几里德平面上的点扩充为射线上的点，从而得到一个射影平面。
这样的扩充是通过引入无穷远点的方式来实现的，因此射影平面上的点包括有限远的点和无穷远的点。
二、射影平面的性质1. 射影平面是紧致的。
这意味着射影平面上的任意闭曲线都可以用有限个闭曲线来覆盖。
2. 射影平面是连通的。
任意两点之间都存在一条直线。
3. 射影平面是欧几里德平面的紧致化，因此它具有相同的拓扑性质。
4. 射影平面上的直线都是闭曲线。
这意味着任意两条直线的交点都是封闭的。
5. 射影平面是一种紧致性空间，可以用带权和的方式来描述其拓扑结构。
三、射影平面的构造射影平面可以通过多种方式进行构造，其中最常见的方法包括射影坐标系的引入、齐次坐标系的应用以及仿射几何的推广等。
以下是射影平面的几种常见构造方法：1. 射影坐标系的引入。
通过引入射影坐标系，可以将欧几里德平面上的点扩充为射线上的点，从而得到一个射影平面。
2. 齐次坐标系的应用。
齐次坐标系是射影几何中常用的坐标系，它可以用于描述射影空间中的点、直线和射线等基本几何元素。
3. 仿射几何的推广。
通过将仿射几何的概念推广到射影几何中，可以得到一个射影平面的构造方法。
四、射影平面的相关定理和定律1. 帕斯卡定理。
帕斯卡定理是射影几何中的重要定理，它描述了射影平面上的六点共线的条件。
什么是射影几何它有什么特点
什么是射影几何它有什么特点在数学的广袤领域中，射影几何宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。
要理解射影几何，首先得从它的基本概念入手。
射影几何是研究图形在射影变换下不变性质的几何分支。
那么，什么是射影变换呢？简单来说，就是通过中心投影或者平行投影将一个图形映射到另一个图形的过程。
想象一下，你拿着一个手电筒，光线照射在物体上形成的影子，就是一种简单的射影。
射影几何与我们熟悉的欧氏几何有着明显的区别。
在欧氏几何中，距离和角度是非常重要的概念，但在射影几何中，这些概念却不再具有绝对的意义。
比如说，在射影变换下，平行线可能会相交。
这与我们在日常生活中的直观感受大相径庭，但却在射影几何的世界里是合理且有趣的现象。
射影几何的一个显著特点是它更注重图形的整体性质和相互关系，而不是具体的度量。
它关心的是图形的形状、位置和组合方式，而不是像长度、面积这样的具体度量值。
这种特点使得射影几何在解决一些特定的几何问题时具有独特的优势。
射影几何中的一个重要概念是无穷远点。
为了处理平行线相交的情况，我们引入了无穷远点的概念。
想象一下，所有平行的直线都在无穷远处相交于一个点，这个点就是无穷远点。
通过引入无穷远点，我们能够更简洁、更统一地描述和处理许多几何现象。
另一个特点是射影几何中的对偶原理。
对偶原理指出，如果在一个关于射影几何的命题中，把点和直线的概念互换，把“通过”和“在……上”的概念互换，把“共点”和“共线”的概念互换，得到的新命题仍然成立。
这一原理使得我们在研究射影几何问题时，可以通过对偶的方式得到新的结论和方法，大大丰富了我们解决问题的手段。
射影几何在艺术领域也有着广泛的应用。
比如在绘画中，画家常常利用透视原理来表现物体的远近和空间感。
而透视原理本质上就是一种射影变换。
通过巧妙地运用射影几何的知识，画家能够创作出更加逼真、富有立体感的作品。
在建筑设计中，射影几何同样发挥着重要作用。
建筑师在设计建筑物的外观和结构时，需要考虑不同角度的视觉效果和空间布局。
关于平面的射影点
关于平面的射影点射影几何学是研究空间中点、直线和平面的投影关系的一门学科。
在平面几何中，射影点是指一个点在另一个平面上的投影点。
本文将介绍平面的射影点及其相关性质和应用。
一、射影点的定义在平面几何中，射影点是指一个点在另一个平面上的投影点。
具体而言，给定一个平面A和一个点P，如果从P点向平面A作垂线，垂足为点P'，那么P'就是点P在平面A上的射影点。
二、射影点的性质1. 垂线性质：对于一个给定的点P和平面A，点P在平面A上的射影点P'是由点P到平面A的垂线与平面A的交点确定的。
2. 唯一性质：对于一个给定的点P和平面A，点P在平面A上的射影点P'是唯一确定的。
3. 距离性质：点P到平面A的距离等于点P到其在平面A上的射影点P'的距离。
4. 反射性质：点P在平面A上的射影点P'在平面A上的射影点也是点P。
三、射影点的应用1. 透视投影：射影点在透视投影中起着重要的作用。
在透视投影中，物体上的点通过射影点在投影面上形成投影图像。
透视投影广泛应用于建筑、艺术和摄影等领域。
2. 计算机图形学：射影点在计算机图形学中也有重要的应用。
在三维计算机图形学中，通过计算点的射影点可以实现三维物体的投影和渲染。
四、射影点的计算方法计算点P在平面A上的射影点P'的方法有多种，下面介绍一种基于向量的计算方法：1. 将点P表示为向量p，平面A表示为法向量n和平面上的任意一点Q。
2. 计算点P到平面A的距离d，即点P到平面A的垂线的长度。
3. 根据向量计算公式，点P在平面A上的射影点P'可以表示为P' = P - d * n。
五、总结射影点是平面几何中一个重要的概念，它描述了一个点在另一个平面上的投影点。
射影点具有垂线性质、唯一性质、距离性质和反射性质等性质。
射影点在透视投影和计算机图形学等领域有广泛的应用。
计算点在平面上的射影点可以使用向量计算方法。
射影几何(正式版)
射影几何首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。
概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。
那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。
（1，2，3，4）首先是第一点，从透视学到射影几何在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。
例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。
正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。
这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。
他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。
意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。
一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。
另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
接下来就是第2点了——射影几何的早期发展在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。
但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。
身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。
帕斯卡：著名的、、和。
主要贡献是在上，发现了，并以其名字命名单位。
帕斯卡没有受过正规的。
他4岁时母亲病故，他父亲是一位受人尊敬的，在其精心地教育下，帕斯卡很小时就精通。
几何学中的射影几何
几何学中的射影几何几何学是数学的一个分支，致力于研究空间形状、结构和性质。
而射影几何则是几何学中的一个重要领域，它研究的是射影空间及其相关的几何概念和性质。
在本文中，我们将深入探讨射影几何的基本原理和应用。
一、射影几何的定义和基本原理射影几何是建立在射影空间上的几何学分支。
射影空间是传统的欧几里德空间的一个扩充，它引入了无穷远点和直线上的点，使得几何概念得到无穷远的自然推广。
在射影几何中，有三个基本原理需要我们了解：1. 射影空间公理：射影空间满足射影空间公理，包括点线对偶原理、直线交定理、射影变换等。
通过这些公理，我们可以在射影空间中进行几何推理和定理证明。
2. 无穷远点：射影空间引入了无穷远点的概念，它代表着直线上的点在无穷远处的位置。
在射影几何中，我们可以将两个无穷远点连接起来形成一条直线，这条直线称为“无穷远直线”。
3. 射影变换：射影变换是射影几何中常用的一种变换方法。
它可以将射影空间中的点和直线映射到另一个射影空间中，保持射影几何的内部结构和性质不变。
二、射影几何的应用领域射影几何不仅在纯粹的数学领域中有重要意义，而且在许多应用领域也具有广泛的应用。
以下是射影几何的一些典型应用：1. 计算机视觉：射影几何在计算机视觉领域发挥着重要作用。
通过射影变换，我们可以将二维图像映射到三维空间中，从而实现图像的三维重建和深度识别。
2. 无人驾驶：射影几何在无人驾驶技术中有广泛应用。
通过射影变换和几何推理，无人驾驶汽车可以实时感知周围环境、规划路径和避免障碍物。
3. 空间布局设计：射影几何可以帮助我们进行空间布局设计，比如建筑物的设计和室内装饰。
通过射影变换和空间投影，我们可以在平面上模拟和优化各种建筑设计方案。
4. 图像处理：射影几何在图像处理中有广泛的应用。
通过射影变换和几何校正，我们可以对图像进行矫正、旋转和变形，从而提高图像的质量和准确度。
5. 三维动画：射影几何在三维动画制作中扮演着重要角色。
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§1 齐次坐标,射影平面
1.齐次坐标，射影平面 2.直线的齐次坐标方程 返回
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1.齐次坐标,射影平面
在欧氏平面π上给定一仿射标架 O; e1 , e2 ,那么任意点
p 有仿射坐标 x, y . 我们把与 x , y由关系
x1 x2 x ,y x3 x3
15
方程(1.5)表示直线 (a1 , a2 , a3 )上的所有点,称为直线 的点方程。如果让 (a1 , a2 , a3 ) 变动，(1.5)表示过固定点
x1 , x2 , x3 的所有直线,故又称为点的线方程。经过定点
的所有直线称为线束。
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§2 对偶原理
既然直线也有齐次坐标,因此从齐次坐标的观点来 看, π上的点与直线的地位对等。为了方便,两点A,B确 定的直线用AB表示,两直线 l1 , l2 的交点用 l1l2表示。如 果点P在直线l上,就说点P与直线l关联;如果直线l经过点P, 就说直线l与P关联。 设 (点,线)是π上一些点和一些直线的关联关系 的一个命题,那么,把命题中的点都改写成直线,把直线 都改写成点,并且保持关联关系不变及其它一切表述不 变,则得到的命题 (线,点)称为原命题 (点,线)的对偶 命题。
D d1 , d2 , d3 .
设 AB 与 A B 相交于点P[ p1 , p2 , p3 ], AC 与 A C 相交于点 Q[q1 , q2 , q3 ], BC 与 B C 相交于点 R[r1 , r2 , r3 ]. 因为 AA, BB, CC 三线共点于 D ，所以存在三组不全 为0的实数 , ; , ; , 使得
(1.1)
联系的任何三个不全为零的实数 x1 , x2 , x3称为点P关于
仿射标架 O; e1 , e2 的齐次(仿射)坐标,记为 P[ x1 , x2 , x3 ].
6
若 [ x1 , x2 , x3 ] 是点P的齐次坐标,的齐次坐标,因而点P的齐次 坐标不唯一。 对于P∈π，显然有 x3 0 点P的仿射坐标(x,y)称为点 P的非齐次(仿射)坐标。 [ 对于齐次坐标 x1 , x2 ,0]不表示π上的任何点,我们把齐 次坐标为 [ x1 , x2 ,0] 的点称为无穷远点。在π上加进这 些无穷远点后称为扩大的欧氏平面,记为 。我们把 扩大的欧氏平面称为射影平面。平面π上的点称为 的通常点。
d1 , d2 , d 3 a1 , a2 , a3 ' a1 ', a2 ', a3 ' b1 , b2 , b3 ' b1 ', b2 ', b3 ' c1 , c2 , c3 ' c1 ', c2 ', c3 ' .
来表示。
x3 0 (1.4)
11
于是,射影平面上,任何方程
a1 x1 a2 x2 a3 x3 0,
(1.5)
其中， a12 a 22 a32 0 都是某条直线的方程。如果 a12 a 22 0 ，则称为射影直线。如果 a1 a 2 0， 则 (1.5)表示无穷远直线。方程(1.5)称为直线的普通方程。 在射影平面上,任何两条直线都相交,这是因为线性方程 组
22
因而有 a1 , a2 , a3 b1 , b2 , b3 ' a1 ', a2 ', a3 ' ' b1 ', b2 ', b3 '
1 p1 ,p 2 ,p 3 ,
a1 , a2 , a3 c1 , c2 , c3 ' a1 ', a2 ', a3 ' ' c1 ', c2 ', c3 '
a1 x1 a2 x2 a3 x3 0, (1.6) b1 x1 b2 x2 b3 x3 0. 总有非零解。特别地,两条平行直线交于无穷远点 。
12
对于射影直线而言,如果它的方程为(1.5),则无穷远 点 a2 , a1 ,0 在此射影直线上,且是此射影直线上的唯 ( 一的无穷远点。实际上 a2 ) : a1表示仿射坐标中的直线 a1 x a2 y a3 0 的方向,因而直观上,射影直线就是欧 氏平面上的直线添加上此直线的方向所得到的。 如果中心投影在两个射影平面 0和1 上进行,就能 使中心投影成为一个双射 : 0 1 ，其中投影中心 O 0 1 . 如果点P 0 , 使 OP与 1 交于点 P ,则 ( P ) P ;如果点 N 1使ON // 0 , 则N的原象为 0 中 与ON平行的直线l上添加的无穷远点;
9
几何模型
取定 R 3 中的一个球面,不妨取中心在原点,半径为1 2 的单位球面S ，在S 2上定义一种关系~：P~ P 当且仅 是一对对径点。关系~是等价关系，S 2 上关于~ 当P, P 的等价类的集合就组成射影平面的几何模型,记为S 2 / ~ . 由于每一对对径点确定空间中过原点的唯一一条 , , P 2 , S 2 / ~ 是一样的。因为 更为 直线,因而本质上 直观,因此我们用 作为射影平面的模型。其中解析模 型P 2更容易推广到高维的情形,即n维射影空间
均为非零数。由以上三等式得 1 p1 ,p2 ,p3 2 q1 , q2 , q3 3 r1 , r2 , r3 0,
对偶命题 (1) 上三线共点当且仅当 它们的齐次坐标组成的行 列式为0。 (2) 上若三线 l1 , l2 , l3 不共 点,则三点 l1l2 , l2 l3 , l3l1 不共 线。 (3) Desargues逆定理:在 上 ,如果两个三角形的 对应边的交点共线,则它 们的对应顶点的连线共点。
17
原命题 (1) 上三点共线当且仅 当它们的齐次坐标组成 的行列式为0. (2) 若三点 P1 , P2 , P3 不 共 线,则三线 P P2 , P2 P3 , 1 P3 P 不共点。 1 (3) Desargues定理:在 上,如果两个三角形的 对应顶点的连线共点,则 它们的对应边的交点共 线。
7
扩大的欧氏平面是射影平面的一种模型,下面再介 绍两种。 R3 0中定义 (1)解析模型。在去掉原点O的欧氏空间 一种关系~:点 P x1 , x2 , x3 ~点 P y1 , y2 , y3 当且仅当存在 ( x1 , x2 , x3 ) ( y1 , y2 , y3 ). 非零实数λ,使 OP OP 即
2
O N
0
M P'
P
1
图 6.1
3
但是,对于 OM // 1 的点 M 0 在 1 上没有象,因而中心 投影不是映射;同样对于ON // 0 的点N 1在 0上没原 象。为了使中心投影成为一个映射并且是双射,就需要 在 0与 1上添加一些新的点,使点M 0 都有象,点 N 1 都有原象。这样的添加了点的平面就形成了射影平面 的概念 。
P n R n 1中过原点的`直线 。
10
2.
直线的齐次坐标方程
因为欧氏平面π上的任何直线都由方程 a1 x a2 y a3 0, (1.2) 给出,并且任何这样的方程都是某一条直线的方程,所以 π上的任何直线在齐次坐标下都由方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 0, (a12 a 22 0) (1.3) 给出,并且任何一个这样的方程都对应着π上的一条直 线。 我们把无穷远点的几何轨迹称为无穷远直线,根据 无穷远点的齐次坐标的特点，无穷远直线可由方程
20
P B B D A
A
C
Q
图6.3
C
R
21
(2)设任何一组对应顶点不重合,在上取定一标架,各
点的齐次坐标分别为 Aa1 , a2 , a3 , B b1 , b2 , b3 ,
C c1 , c2 , c3 , A' a1 ', a2 ', a '3 , B 'b1 ', b2 ', b3 ', C 'c1 ', c2 ', c3 '.
第六章 平面射影几何简介
1.引言 2.齐次坐标,射影平面 3.对偶原理 4.交比 5.射影变换与二次曲线的射影 ,分类 6.极点和配极 返回
1
引言
从上一章中知道平面的仿射变换的重要特性是把 共线的三点变成共线的三点。我们还会遇到更一般的 从 一平面到另一平面保持点的共线关系的映射。例如,给 1与 1 了两个相交平面与 1 以及两平面外的一点O,将点 1 P 0 OP 1到 P 变成 的交点 的法则,此法则称为 的以O为中心的中心投影 (如图6.1)。在中心投影下,点 的共线关系是保持不变的。
13
O N
0
M P'
l
P
l
1
图 6.2
14
如果点 M 0使OM // 1 , 则M的象为 1 中与OM 平行的直线 l 上添加的无穷远点;直线 M 0 OM // 1 上添加的无穷远点的象为直线 N 1 | ON // 0 上的无 穷远点，如图6.2。 由于射影平面上的直线方程(1.5)是三元一次齐次 方程,所以 a1 x1 a2 x2 a3 x3 0 与 b1 x1 b2 x2 b3 x3 0 表示同一直线当且仅当存在非零实数λ，使 (a1 , a2 , a3 ) b1 , b2 , b3 . 于是我们可以用直线方程的 系数 (a1 , a2 , a3 ) 来表示直线,把 (a1 , a2 , a3 )称为直线的齐 次坐标。