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《因式分解》复习课件
《因式分解》复习 课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
运用完全平方公式进行因式分解一市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
（6） 16x4-8x2＋1 解： 原式 (4x2 )2 2 (4x2 ) 112 (4x2 1)2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
因式分解复习课件
2 2
2
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
2
上面的过程正好与整式的乘法相反，它 是把一个多项式化为几个整式乘积形式， 这就是因式分解。
28
把下列多项式分解因式
(1). x 16
2 2
(1)(x+4)(x-4)
2 2
(2) x 9 y
2 2
(2) (x+3y)(x − 3y) (3) (2x+3y)(2x−3y) 2 (4)(a +b+a-b)(a+b-a+b)
2 a 6a 9 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
(1) 2x-6x2y; (2) (3) (4) 9m3n-12m2n4; 7x5-21x4+343x3; 26a4b3c2-6a3b3c-18a2b2c2.
15
提公因式法: 如果一个多项式的各项 含有公因式，那么就可以把这个公因式提
出来，从而将多项式化成两个因式乘积的
形式.
如am-bm-cm=m(a-b-c) 这种分解因式的方法是提公因式法.
34
3、分组分解法的关键是适当分组， 一般情况下，四项采用二二分组法 或一三分组法，五项采用二三分组 法，六项采用三三分组法。分组后 还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑 中间项。
35
四、例题分析 1、把下列各式分解因式 （1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
2
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
2
上面的过程正好与整式的乘法相反，它 是把一个多项式化为几个整式乘积形式， 这就是因式分解。
28
把下列多项式分解因式
(1). x 16
2 2
(1)(x+4)(x-4)
2 2
(2) x 9 y
2 2
(2) (x+3y)(x − 3y) (3) (2x+3y)(2x−3y) 2 (4)(a +b+a-b)(a+b-a+b)
2 a 6a 9 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
(1) 2x-6x2y; (2) (3) (4) 9m3n-12m2n4; 7x5-21x4+343x3; 26a4b3c2-6a3b3c-18a2b2c2.
15
提公因式法: 如果一个多项式的各项 含有公因式，那么就可以把这个公因式提
出来，从而将多项式化成两个因式乘积的
形式.
如am-bm-cm=m(a-b-c) 这种分解因式的方法是提公因式法.
34
3、分组分解法的关键是适当分组， 一般情况下，四项采用二二分组法 或一三分组法，五项采用二三分组 法，六项采用三三分组法。分组后 还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑 中间项。
35
四、例题分析 1、把下列各式分解因式 （1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
一元二次方程的解法--因式分解法PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
C、x1 2, x2 4 D、 x1 2, x2 4
2、假如方程 x 2 3x c 0 有一种根为1，
那么c= ，该方程旳另一根为
。
3、用合适旳措施解下列方程
（1）25y 2 16 0 （2）(x 2)2 3x 6
（3）(6y 5)(6y 5) 24 0（4）x2 2 5x 10 0
2、把小圆形场地旳半径增长5得到大圆形 场地，场地面积增长了一倍，求小 圆形场地旳半径。
画龙点睛:
归纳：用因式分解法解一元二次方程，将方程
化为形如：A· B=0旳形式，则A=0或B=0.（A、 B为整式）
（1）ma mb 0 m(a b) 0
则： m 0 或 a b 0
（2）m(a b) n(a b) 0 (a b)(m n) 0
变式1：解方程：x(x 2) x 2 0
解：因式分解，得：(x 2)(x 1) 0 于是得：(x 2) 0 或 (x 1) 0 ∴ x1 2 ； x2 1
相应练习：3x(x 1) 2(x 1)
变式2：解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：移项、合并同类项，得：4x 2 1 0
＆22.2.3一元二次方程旳解法 因式分解法
温故知新:
1、我们学习了解一元二次方程旳哪些措 施？ 直接开平措施、配措施、公式法
2、因式分解旳措施： （1）提公因式法：
ma mb mc _________
（2）公式法：
a 2 2ab b2 ___________ a 2 2ab b2 ___________
3、用合适旳措施解下列方程
（1）( y 2)( y 3) 0 （2） x 2 2x 0
（3） 7x 2 21
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
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6
公因式
提
解
的
方
平方差公式：
法 公式法
完全平方公式：
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7
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
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8
2.把下列各式分解因式：
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9
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意
哪些问题？
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10
三、因式分解的应用
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
A
解：a（2 b c） b（2 b c) 0
c
b
(b c)(a2 b2 ) 0
B
a
C 所以b c 0或者a2 b2 0 因为a2 b2不可能为0
所以b c 0
所以b c
所以三角形是等腰三角形
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14
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4.已知a、b为有理数,且 a2+b2+2a+2b+2=0,试求a、b的值.
5.n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除.
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17
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18
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11
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12
2．求值
当 x y 3, xy 2，求 x2 y xy2 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
原式 3 2 6
巩固练习： 教科书17页复习题第6,11题
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13
3．几何应用 已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
七年级因式分解常用方法公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
三、十字相乘法①
前面出现了一种公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解 我们能够用它进行因式分解（合用于二次三项式）
例1：因式分解x2+4x+3 能够看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)
这个公式简朴旳说， 就是把常数项拆成两个数旳乘积， 而这两个数旳和刚好等于一次项系数
8a3b2－12ab3c 旳公因式是什么？
公因式 4
a
b2
最大公约数 相同字母 最低指数
观察 一看系数 二看字母 三看指数 方向
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子旳公因式,能够直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
按照提公因式 法因式分解。
①3a 2b 6abc
⑤36x2 y3 45x3 y2
② 5x3 y 10xy 2 20xy ⑥74a3b2c4 111a4b3c4
③ 1 m3n mn 5 mn2
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
1
52
3
25
25 + 165==1117
整式的乘法与因式分解-复习县级优质课省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
将能用上述措施进行分解旳项提成一组，使之分组后能 “提”或能“套”，当然要注意其要分解究竟才干结束. (4)四“查”：能够用整式乘法检验因式分解旳成果是否 正确.
（2）(1－
1 22
)(1－312
)(1－412
)…(1－
1 10 2
)
（3）20232-4008×2023+20232
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
2、若a、b、c为△ABC旳三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC 旳形状。
a a a 小
同底数幂旳乘法 m · n = m+n
(ab)n anbn , (其中n为正整数), (abc)n anbncn (其中n为正整数)
练习：计算下列各式。
(2xyz)4 , ( 1 a2b)3, (2xy2 )3, (a3b2 )3 2
口答练习
(1) x3·x2= x5 (3) x ·(x2 )3= x7
(2) (a6 )2+(a4)3= 2a12
(5)19992 , (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
(2)6(a b)5 [1 (a b)2] 3
(3)(5x2 y3 4x3 y2 6x) (6x)
(4) 1 x3m y2n x2m1y2 3 x2m1y3) (0.5x2m1y2 )
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
法则：两数和（或差）旳平方，等于它们旳 平方和，加上（或减去）它们旳积旳2倍。
（三）乘法公式
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2-b2
（2）(1－
1 22
)(1－312
)(1－412
)…(1－
1 10 2
)
（3）20232-4008×2023+20232
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
2、若a、b、c为△ABC旳三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC 旳形状。
a a a 小
同底数幂旳乘法 m · n = m+n
(ab)n anbn , (其中n为正整数), (abc)n anbncn (其中n为正整数)
练习：计算下列各式。
(2xyz)4 , ( 1 a2b)3, (2xy2 )3, (a3b2 )3 2
口答练习
(1) x3·x2= x5 (3) x ·(x2 )3= x7
(2) (a6 )2+(a4)3= 2a12
(5)19992 , (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
(2)6(a b)5 [1 (a b)2] 3
(3)(5x2 y3 4x3 y2 6x) (6x)
(4) 1 x3m y2n x2m1y2 3 x2m1y3) (0.5x2m1y2 )
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
法则：两数和（或差）旳平方，等于它们旳 平方和，加上（或减去）它们旳积旳2倍。
（三）乘法公式
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2-b2
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
全平方公式吗？
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
因式分解的复习PPT课件(华师大版)：
因式分解的复习
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的情势叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解与整式乘法的关系是什么﹖
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
练习１ 下列各式中，是因式分解的，请在括号内打“√”，否则打“×”。
（１）m(x-y)=mx-my
( × )
( ×)
( √ )
(பைடு நூலகம்× )
( × )
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法 （2）套用公式法
（3）分组分解法 （4）十字相乘法
1、提公因式法的关键是确定公因式。
即系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的 最低次幂。
2、套用公式法时要注意判断是否符合 公式要求，并熟记公式特征。
3、分组分解法的关键是适当分组，一般情况下，四项采用二二分组法或一三分组法，五项采用二三分组法。分组后还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析
1、把下列各式分解因式
（1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
(2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3
解：
原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)]
=5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的情势叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解与整式乘法的关系是什么﹖
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
练习１ 下列各式中，是因式分解的，请在括号内打“√”，否则打“×”。
（１）m(x-y)=mx-my
( × )
( ×)
( √ )
(பைடு நூலகம்× )
( × )
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法 （2）套用公式法
（3）分组分解法 （4）十字相乘法
1、提公因式法的关键是确定公因式。
即系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的 最低次幂。
2、套用公式法时要注意判断是否符合 公式要求，并熟记公式特征。
3、分组分解法的关键是适当分组，一般情况下，四项采用二二分组法或一三分组法，五项采用二三分组法。分组后还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析
1、把下列各式分解因式
（1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
(2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3
解：
原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)]
=5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2
人教版八年级上册数学14.3.因式分解-复习课(15张ppt)课件
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c） 例题：把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1) ③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y) ②p（y-x）-q（x-y） 解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
解：原式=(2x+y-1)2
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2 (8) (x+1)(x+5）+4 解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2
⑺ x2y2+xy-12
解：原式=(xy-4)(xy+3)
因式分解： ① x 2 x 4 x 4
② x2-2x-4y2+1
解：原式=x2-2x+1-4y2 2-(2y)2 =(x-1) =(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-1+2y)(x-1-2y) =(x-y)(x+y+3)
5*、拆项添项法
拆项添项法对数学能力有着更高的要 求，需要观察到多项式中应拆哪一项使 得接下来可以继续因式分解，要对结果 有一定的预见性，尝试较多，做题较繁 琐。 最好能根据现有多项式内的项猜测 可能需要使用的公式，有时要根据形式 猜测可能的系数。
例题：把下列各式分解因式 ①x2－4y2 ② 9x2-6x+1 解：原式= x2-(2y)2 解：原式=(3x)2-2· (3x) · 1+1 =（x+2y)(x-2y） =（3x-1)2
即： ma + mb + mc = m（a+b+c） 例题：把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1) ③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y) ②p（y-x）-q（x-y） 解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
解：原式=(2x+y-1)2
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2 (8) (x+1)(x+5）+4 解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2
⑺ x2y2+xy-12
解：原式=(xy-4)(xy+3)
因式分解： ① x 2 x 4 x 4
② x2-2x-4y2+1
解：原式=x2-2x+1-4y2 2-(2y)2 =(x-1) =(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-1+2y)(x-1-2y) =(x-y)(x+y+3)
5*、拆项添项法
拆项添项法对数学能力有着更高的要 求，需要观察到多项式中应拆哪一项使 得接下来可以继续因式分解，要对结果 有一定的预见性，尝试较多，做题较繁 琐。 最好能根据现有多项式内的项猜测 可能需要使用的公式，有时要根据形式 猜测可能的系数。
例题：把下列各式分解因式 ①x2－4y2 ② 9x2-6x+1 解：原式= x2-(2y)2 解：原式=(3x)2-2· (3x) · 1+1 =（x+2y)(x-2y） =（3x-1)2
人教版数学九年级(上)因式分解法(17张)-公开课
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3 因式分解法(共17张PPT)-公开课课 件（推 荐）
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11 4
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3 因式分解法(共17张PPT)-公开课课 件（推 荐）
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
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5. 用适当方法解下列方程：
如果ab=0，则a=0或b=0.
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11 4
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3 因式分解法(共17张PPT)-公开课课 件（推 荐）
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
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5. 用适当方法解下列方程：
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因式分解的一般步骤：
一般步骤
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式； 二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三 项，则考虑用完全平方公式；
三变：若以上两步都不行，则先做整式乘法；
四查：最后看各因式能否再分解，应分解到每一个因式都 不能再分解为止。
当堂作业：
教材复习题 P49 8 .14题
方法二 提负号 要变号
原式=28x—12x2—24x3
=4x(7-3x-6x2)
变式训练 （1） m(a-3)+2(3-a)
（2）4p(1-q)3+2(q-1)2
方法点拨： 变后不变前 变偶不变奇
知识点4 公式法分解因式 (1)平方差公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)完全平方公式逆用：
知识点3 提公因式法分解因式
例题讲解
例1. 8a3b2－12ab3c 2 2 2 =4ab ∙2a - 4ab ∙ 3bc 2 2 =4ab (2a -3bc )
提公因式法步骤 •找出公因式 •提取公因式得到 另一个因式 •写成积的形式
例题讲解
例2. -24x3 –12x2 +28x
解：原式= (24x3 +12x2-28x) = 4 x (6x2+3x-7)
某项提出莫漏“1”, 括号里面分到“底”。
强化练习5
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2) 9y3 -4y (3) (x-y)2- 4(x-y-1) (4)(a-2b)2+8ab
探索与创新题
（1）若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
解：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴kxy=±2· 3x· 6y=±36xy ∴k=±36
2 X -1
整式乘法
(X+1)(X-1)
因式分解与整式乘法是互逆过程
强化练习1
1.下列从左到右的变形是分解因式的有（ )
A.6x2y=3xy· 2x
B.a2－b2+1=(a+b)(a-b)+1 C.(x+3)(x-3)= x2－9
D.4x2-4x+1=(2x-1)2
知识点2 公因式的概念和找公因式的方法
a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
注意：a,b可以为单项式也可以为多项式
强化练习4
(1) (2a+b)2- (a+2b)2 (2)9(a+b)2-6(a+b)+1
综合运用
例3 分解因式. (1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)
解:(1)x3-2x2+x =x(x x 2-2x+1) =x(x-1)2 (2)x2(x-y)+y2(y-x) =x2(x-y)-y2(x-y) =(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x+y)(x-y)各项有“公”先提“公” 首项有负常提负， =(x+y)(x-y)2
（2）若x2-6x+k2是完全平方式，则k=___
k=3或k=-3
当堂检测：
1.下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（） A.x(a-b)=ax-bx B.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2 C.y2-1=(y+1)(y-1) D.ax+bx+c=x(a+b)+c 2.下列各项不能用完全平方公式进行因式分解的是（） 1 A．m+1+ 4 m2 B.-x2+2xy-y2 2 1 2 2 2 C.-a +14ab+49b D.9 n -3 n+1 3.分解因式： (1)-9m2n-3mn2+27m3n4； （2）(a2+b2)2-4a2b2 ; （3）x4-1; (4)1-x2+2xy-y2
多项式中各项都含有的相同因式,称 之为公因式.
一看系数，找最大公约数 二看字母，找相同字母 三看指数，找最低次幂
强化练习2
1.找出下列各多项式中的公因式：
（1） 8x+64 （2）12m2n3 -3n2m3
（ 3） （4） 2a(y-z) – 3b(z-y)
2 2 p(a +b ) -q
2 2 (a +b )
华师大版八年级上册
因式分解专项复习
偃师市邙岭一中
教学目标:
1.因式分解的概念及因式分解与整式乘法 的关系． 2.公因式概念和找公因式的方法． 3.会用提公因式法和公式法分解因式
知识点1
因式分解的定义及与整式乘法的关系
把一个多项式化成几个整式积的形 式这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）. 因式分解