高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案

高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案（2套）
单元测试题一
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（ ） A ．1
B ．1-
C ．1±
D ．不能确定
3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩
为奇数
为偶数，则23a a 等于（ ）
A ．70
B ．28
C ．20
D ．8
4．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（ ）
A ．等差数列
B ．等比数列
C ．各项倒数成等差数列
D ．以上都不对
5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则6
11
a a 等于（ ） A ．6
B ．
23
C ．
16
D ．
32
6．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),01),(-∞∞+
C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[)3,+∞
7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（ ） A ．65
B ．65-
C ．25
D ．25-
8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（ ） A ．21S
B ．20S
C ．11S
D ．10S
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，131
6
n n S x -⋅=-，则x 的值为（ ） A ．13
B ．13
-
C ．
12
D ．12
-
10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（ ）
A ．15
B ．30
C ．45
D ．60
11．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （ ） A ．14 m
B ．15 m
C ．16 m
D ．17 m
12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（ ） A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大．
16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=，
则101102200()lg x x x ++
+=________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．
18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．
19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且n
n b S n c
=+，求非零常数c ．
20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113
n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，
求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．
21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；
求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．
22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
答 案
一、选择题 1．【答案】B
【解析】设公差为d ，由题意得111
41037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．
2．【答案】B
【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>， ∴40a <，120a <．∴80a <，
又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ． 3．【答案】C
【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ． 4．【答案】C
【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =． 又∵
()log log log 2log log log log 112
n n c b n n a a c ac b n n n
==
+=+=，
∴
log log g 1l 12
o c b a n n n
=
+．故选C ． 5．【答案】B
【解析】∵492116a a a a ==⋅，
又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴4593
2
a a q ==， 又
615112
3
a q a ==．故选B ． 6．【答案】C
【解析】设等比数列的公比为q ，则2
2
313124S q q q ⎛
⎫++++ ⎪⎝
⎭==．
∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．故选C ．
7．【答案】D
【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠． 又∵(
)3311131a q S q
-=
=-，23
1a
a q =，解得1
3
q =
． ∴3
3
33133n n n n a a q
--⎛⎫= ⎪⎝⎭
==－，∴3log 3n n b a n ==-．
∴12b =，107b =-．∴()
()1101010105252
2
S b b +⨯-==
=-．故选D ．
8．【答案】B
【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=， 所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <， 所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】111
6
a S x ==-， 221113266a S S x x x -
-+===-，33211
3666
9a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，解得12x =．故选C ．
10．【答案】A
【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，11
6562
259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，
∴1427127a d =-⎧
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ．
解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
成等差数列，
设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴2
27
D =
， ∴
15952
661159927
S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ． 11．【答案】B
【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列， 则()1260412
60480 3.141507.2152
l d d d cm m +=ππ+ππ⨯
=+⨯6=≈+＝，故选B ． 12．【答案】B
【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项， 由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-， ∵1n n n b a a =-＋．
∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()
7654321176278332
b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=
+=．故选B ．
二、填空题 13．【答案】
21
8
【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴316
82
q =
=--，∴2q =-． 又451a a q =，∴121168
a -=
=-， ∴()
()666111212181128
S a q q
⎡⎤----⎣⎦=
==-+．
14．【答案】15
【解析】设等差数列公差为d ，则31132
332
33S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又16165
6615242
d d S a a ⨯=+
=+=，即1258a d +=．② 联立①②两式得11a =-，2d =， 故91818215a a d =-+⨯==+． 15．【答案】8
【解析】∵()
()()116168911717916802
171702
a a S a a a a S a ⎧+=
=+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >，
∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102
【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列， 所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅，
故101102200l (g )102x x x ++=+．
三、解答题
17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +
++=，求正整数k 的值．
【答案】（1）32n a n =-；（2）4． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=． （2）数列{}n b 的首项为1，公比为2
1
4a q a ==． ∵121441
143
k k k b b b -==
-+-++
， ∴41853
k -=，∴4256k =，∴4k =，
∴正整数k 的值为4．
18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．
【答案】（1）2n a n =+；（2）2101． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得111
43615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．
所以1)2(1n a a n d n -=++=． （2）由（1）可得2n n b n =+． ∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++ 231022221210((3))=++++++++
+
(
)()102121011012
2
-⨯+=+-
()
111122552532101===-++．
19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且n
n b S n c
=
+，求非零常数c ． 【答案】（1）43n a n =-；（2）1
2
-．
【解析】（1）{}n a 为等差数列， ∵342522a a a a +=+=， 又34117a a ⋅=，
∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根． 又公差0d >，
∴34a a <，∴39a =，413a =． ∴11
29313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩，
∴43n a n =-．
（2）由（1）知，()211422
n n n S n n n -⋅+⨯=-=，
∴22n n S n c n c
n n
b ==
-++， ∴111b c =
+，262b c =+，315
3b c
=+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴1
2
c =-(0c =舍去)．
20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11
3
n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，
求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a +++
+的值．
【答案】（1）21,
114,233n n n n a -=⎧⎪
=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
．
【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11
()32,n n a S n n +≥∈=N －，
∴两式相减，得11
3
n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥．
11111
333
a S ==，211433a a =≠．
∴数列{}n a 是从第2项起公比为
4
3
的等比数列， ∴21,
114,233n n n n a -=⎧⎪
=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩．
（2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13
，公比为16
9的等比数列，
∴24621161393161167919
n
n
n a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．
21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；
求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．
【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)n n S n -=+，*n ∈N ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．
由题意0q >，由已知，有24232310
q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，
消去d ，得42280q q --=． 又因为0q >，解得2q =，2d =． 所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，
{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．
（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－， 设{}n c 的前n 项和为n S ， 则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++， 123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++
⨯+，
两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++
---=．
所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．
22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底． 【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ， 由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252
n n n S n n n -+
⨯+==，
令2252254750n n +≥， 即291900n n -≥+， 解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥．
故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2． （2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ．
由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=， 令0.85n n a b >，
即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =．
故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
单元测试题二
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在数列{}n a 中，12=a ，1=221n n a a ＋＋，则101a 的值为（ ） A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
2．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
3．等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81
B ．120
C ．168
D ．192
4．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ） A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
5．数列{}n a 中，37 ()n a n n +=∈N －，数列{}n b 满足11
3
b =，1(72)2n n b b n n +≥=∈N －且，若log n k n a b +为常数，则满足条件的k 值（ ） A ．唯一存在，且为1
3
B ．唯一存在，且为3
C ．存在且不唯一
D ．不一定存在
6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（ ）
A ．8
B ．8-
C ．8±
D ．以上都不对
7．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2
B ．1或2-
C ．1-或2
D ．1-或2-
8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于（ ） A ．3:4
B ．2:3
C ．1:2
D ．1:3
9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ，9a 成等比数列，则139
2410
a a a a a a ++++等于（ ）
A ．
1514
B ．
1213
C ．
1316
D ．
1516
10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
11．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X =-- C ．2Y XZ =
D ．()()Y Y X X Z X =--
12．已知数列1，12，21，13，22，31，14
，23，32，41，…，则5
6是数列中的（ ） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13
1
1的等比中项是________．
14．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， 则公差为______．
15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．
16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，991001
01
a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④
使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．
18．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．
19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列，且13a =，39a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：2132
111
1
1n n
a a a a a a ++++
<---．
20．（12分）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a =+＋． （1）设1
2
n n n a b -=
．证明：数列{}n b 是等差数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和．
21．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11,2,1(,)2
3n n a S n +==．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和1n T n
n =
+．
22．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ，它的前n 项和n S 满足1
()()6
12n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．
答 案
一、选择题 1．【答案】D
【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋，
∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1
=2
d ，
∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013
522
a +==．故选D ．
2．【答案】A
【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B
【解析】由352a a q =得3q =．
∴2
13a a q
==，4441
1133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B
【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++ 120()3247854a a +=+=-=，
∴12018a a +=．∴12020
201802
S a a +==．故选B ． 5．【答案】B
【解析】依题意，1
332
13
111127333n n n n b b ---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
， ∴32
log 37log 11()3373l g 3
2o n n k n k k
a b n n n -⎛⎫
+== ⎪
⎭
+⎝-+-- 11
33log 372log 3
k k n ⎛
⎫--=+ ⎪
⎝⎭， ∵log n k n a b +是常数，∴1
33log 03
k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ． 6．【答案】A
【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=，∴2464a =， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C
【解析】依题意有4652a a a =-，即24442a a q a q =-，而40a ≠， ∴220q q --=，1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ． 8．【答案】A
【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由1055
1055111122
1S q q q S q -==+=⇒=--， 故
3
15531555
5111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫
-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭
．故选A ． 9．【答案】C
【解析】因为1239a a a =⋅，所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =． 所以
13912410131013
31316
a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．
10．【答案】B
【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．
又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()2
21140204002
n n n d n n na n S -=+
=-+=--+．
∴当20n =时，n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D
【解析】由题意知n S X =，2n S Y =，3n S Z =． 又∵{}n a 是等比数列，
∴n S ，2n n S S －，32n n S S －为等比数列， 即X ，Y X -，Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--， 即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，
即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C
【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个， 即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭，123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,
,11n n n ⎛⎫
⎪-⎝
⎭
，
则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则5
6
为第10组中的第5个， 其项数为1239)550(++++=+．故选C ．
二、填空题 13．【答案】1±
【解析】
1
1的等比中项为a ，
由等比中项的性质可知，
)
21
11a ==，∴1a =±．
14．【答案】4-
【解析】由6723502360
a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，
∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15
【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ，3a ，…，n a ， 则数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402
n na n d -=＋，
即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④
【解析】①中，()()99100991001110
11
a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩
⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．
②中，2
99101100
1009910101
1a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨
<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，10099100
1010090901T T a a T T =⎧⇒⎨
<<<⎩
，∴③错误． ④中，()()()()
99
19812
1981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，
()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．
三、解答题
17．【答案】（1）212n a n =-；（2）()
413n n S =－． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =，
∴11
2650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-，2d =．
∴101()2212n a n n =-⨯=-=-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q ．
∵212324b a a a =++=-，18b =-，∴824q -=-，3q =． ∴数列{}n b 的前n 项和公式为()
1
11413n n n
S q b q
-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-． 【解析】设{}n a 的公差为d ，则
()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨
+++=⎪⎩，即22111
81216
4a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得182a d =-⎧⎨=⎩
，或182a d =⎧⎨=-⎩．
因此8()19()n S n n n n n +-=-=-，或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】（1）21n n a =+；（2）见解析．
【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ． 由13a =，39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+，则1d =． 所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+． （2）证明因为
11111
222n n n
n n a a ++==
--， ∴
1232132
1111
11
1111
11222111222
2212
n n n n n a a a a a a +-⨯+++
=+++
+=
=-<----． 20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+． 【解析】（1）证明由已知122n
n n a a =+＋，得11
11122222n
n n n
n n n n
n a b a b a +-++==
=
+=+．
∴11n n b b -=＋，又111b a ==．
∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解由（1）知，n b n =，1
2
n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．
∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++
－，
两边乘以2得：()11221222122n n n S n n =+
+⋅+-⋅+⋅⋅－，
两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝
，
∴1()21n n S n -⋅=+．
21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪
=⨯⎪⎝⎨⎭
⎪⎩；（2）见解析．
【解析】（1）解由已知()1112,212
n n
n n a S a S
n +-⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=． ∴数列{}n a 是以2a 为首项，以3
2
为公比的等比数列． 又121111
222a S a ===，
∴()2
2322n n a a n -⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
=⨯．∴21,
1132,22n n a n n -⎛⎫
≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭
⎪⎩． （2）证明()11
log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤
⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
＋．
∴
()11111
11
n n b b n n n n +==-
++． ∴122334
1111111
1111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫++++
=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
-+ 1111n
n n
=-
=
++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；（2）22186n T n n -=-． 【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1
()()612n n n S a a =++，①
∴当1n =时，有11111
12()()6
S a a a ==++，
解得11a =或2．
当2n ≥时，有1111
())6
2(1n n n S a a ---=++．②
①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=． 而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=． 当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=， 此时2249=a a a 成立；
当12=a 时，23=(3=11)n a n n +--，此时2249=a a a 不成立，舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ． （2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++
=-+-+
+-＋ 21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋
242666n a a a --
=--
242(6)n a a a ++=-+
2462
61862
n n
n n +-=-⨯-=-。