有限差分法基本原理课件

T ( 0 , t ) 100
T
(1, t ) 100 有限差分法基本原理
时间导数用一阶向前差商近似代替：
T
n
Tn1 i
Tin
t i
t
空间导数用二阶中心差商近似代替：
x2T2 in Ti n12Txi2n Ti n1
T in 1 T in x t2(T i n 1 2 T in T i n 1 )
n i1
x i
2x
则对流方程在 (xi , t点n )对应的差分方程为
n1 n
i
i
n
i1
n i1
0
t
2x
有限差分法基本原理
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
in1 in 2tx(in1in1)
0 i
(xi)
观察上述差分格式可看出：若知道第 层n的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 层1 的 ，故称这类格式
有限差分法基本原理
离散网格点
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
差分概念：
设有x的解析函数 y f(x) ，函数y 对x 的导
数为：
d yli m ylim f(x x )f(x )
dx x 0 x x 0
x
dy dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数 对自变量的导数，又称微商。上式中的y 、x 分别称 为函数及其自变量的差分，y 为函数对自变量的差商。
取 1 2 0 , x 0 .1 , t 0 .5，则最终的差分方
程：
Tin1有限差12分法(T基i本 n原1理Ti n1)
显式有限差分模板：
有限差分法基本原理
t
x T
0.0
0.1
0.0 100 0
0.2 0.3 0.4
00
0
0.5 100 50 0
0
0
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
0.8 0.9 1.0
2
x2
2
y2
f
2 2
Laplace方程： x2 y2 0
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0
t x
(x,0) (x)
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和t ，然后在坐标平面用平行于坐标 轴的两族直线划分网格：
为显示格式。
有限差分法基本原理
显式有限差分模板：
有限差分法基本原理
时间推进：
有限差分法基本原理
例 考虑长度为1的均匀
直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可
以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x轴取为沿
杆轴方向，x0,x1 对应杆的端点，则杆内温度分 布T ( x, t )
随时间变化 由TT下t( x,面0) 的0x2扩T2 散方程来描述：
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
二阶中心差分：
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
二阶中心差分：
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
00
100
0 50 100
1.0 100 50 25 0
0
00
0
25 50 100
1.5 100 62.5 25 12.5 0
00
12.5 25 62.5 100
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理
流体的控制方程
u u u v u w u p 0 t x y z x v u v v v w v p 0 t x y z y w u w v w w w p 0 t x y z z
有限差分法基本原理
流体的控制方程
Dup 2
Dt x x
x
x
yf(x x)f(x x) x 2 x 有限差分法基本原理
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
有限差分法基本原理
u x
2V
3
y
uy
xvz
wx uz
Dvp Dt y
x uy
xv
y2yv
32Vz
wy vz
Dwp Dt w x
wx uz
y
vz
wy z
2w2V
z 3
有限差分法基本原理
数值离散概述
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先 将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连 续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相 应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的 差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差 分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格 点上流动变量的数值解。
x
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）：
向前差分 y f(x x ) f(x )
向后差分 y f(x ) f(x x )
中心差分 y f( x x ) f( x x )
与其对应的差商的三种形式（一阶）：
向前差商 向后差商 中心差商
yf(xx)f(x)
x
x
yf(x)f(xx)
xi x0i x, tnn t
i0, 1, 2, ..., n0, 1, 2, ...,
2.针对某一点，用差商近似代替导数
对流方程在 ( xi , t点n )为
nHale Waihona Puke n0t i xi
有限差分法基本原理
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n
n1 i
in
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n
n
i1
有限差分法基本原理
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于
复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程：
对流方程：
0
t x
对流－扩散方程：
t
x
2x2
热传导方程：
2
t
x2
有限差分法基本原理
Poisson方程：
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。
由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理