九年级数学根与系数的关系华东师大版

根与系数的关系

一、知识要点

对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 总有x1+x2=-，x1·x2=，其中x1、x2是方程的两根。

它的逆定理也是成立的，即如果两个数x1和x2，满足x1+x2=-，x1·x2=，那么x1, x2是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理.

二、例题分析

1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值

例1、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值

分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.

解法一：把x=2代入原方程，得

22-6×2+m2-2m+5=0

即m2-2m-3=0

解得m1=3m2=-1

当m1=3m2=-1时，原方程都化为

x2-6x+8=0

∴x1=2x2=4

∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.

解法二：设方程的另一个根为x.

则∴或

2、判别一元二次方程两根的符号.

例1、不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号

分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+ x2的正负情况.

解：∵△=32-4×2×(-7)=65>0

∴方程有两个不相等的实数根设方程的两个根为x1, x2，

∵x1·x2==-<0

∴原方程有两个异号的实数根。

说明：1·x2﹤0，可判定根为一正一负，

若x1·x2>0，仍需考虑x1+ x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.

例2、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数。

分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零。

解：设方程的二根为x1, x2，且x1>0, x2>0，

则有

由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0解得：m≥-∵m≠0,∴m>0或m<0，

∴上面不等式组化为：

⑴或⑵

由⑴得m>1⑵不等式组的解集为空集.∴m>1∴当m>1时，方程的两个根都是正数。

说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件。

例3、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0

（1）两根互为相反数

（2）两根互为倒数

（3）有一根为零，另一根不为零。

分析：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这

个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2,即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.

解：设方程的两根为x1, x2，

则x1+x2=-=-

x1x2=

（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，

即x1+x2=-=0，∴k=0，

当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16>0

∴当k=0时，方程两根互为相反数。

（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即

x1x2==1，解得k=4

当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144<0

∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根。

（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，

即x1x2==0，解得k=

又当k=时，x1+x2=-≠0，

当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=>0，

∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零。

说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零。

3、根的关系，确定方程系中字母的取值X围或取值.

例1、关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值X围。

解：设方程两根分别为x1, x2，

x1+x2=3,x1·x2=k+1

∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)<5

∴k>1①又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0

∴k≤②由①②得：1

说明：例1是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值X围.

例2、知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。

分析：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程,就可求得m的值.

解：∵方程有两个实数根，

∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0

解这个不等式，得m≤0

设方程两根为x1, x2，

∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4

∵x12+x22-x1x2=21

∴(x1+x2)2-3x1x2=21

∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21

整理得：m2-16m-17=0

解得：m1=17m2=-1

又∵m≤0∴m=-1

说明：1、求出m1=17, m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17。

三、小结：一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位，是中考的重点，学习时要引起足够重视.