第11章 相关性与Copula函数

m2 s 2

V1 m1
标准差为
s1
s 2 1

2
m1 和 m2 分别为 V1 和 V2 的（无条件）期望值，s1和s2分别为 V1 和 V2 的（无条件）标准差， 为 V1 和 V2 的相关系数
多元正态分布

很容易处理 方差-协方差矩阵定义了方差和变量间的相关系数 要满足内部一致性条件，方差-协方差矩阵就必须是半正定的
N 1 Q(T ) F Prob(Ti T F ) N 1


对应一个期限为T，置信水平为X的投资组合，违约率的最坏情 况为
N 1[Q(T )] N 1 ( X ) WCDR(T, X) N 1
独立性

两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另 一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立

精确地讲，变量V1 和 V2 在统计上被定义为相互独立，如果对 于所有的x，下列等式成立
f (V2 V1 x) f (V2 )

f (﹒)代表变量的概率密度函数
独立性并不等同于零相关 假定变量 V1 的值有三种均等的可能：–1，0，或 +1 如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1 如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0 可以清楚地看到 V1 和 V2 有某种关联性，但它们的相关系数为0
多元Copula函数 类似地，决定我们已知N个变量V1，V2，…，Vn 的边际分布 我们将 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服从标准正态分布（这里的映射 是分位数之间的一一对应）



假定 Ui 服从多元正态分布
因子Copula模型 在因子Copula模型中，变量 Ui 之间的相关结构通常被假定由 一个或多个因子来决定

我们将变量V1 和 V2 映射到U1 和 U2 上，这里的U1 和 U2 均服 从标准正态分布

这种映射为分位数与分位数之间的一一映射 假定U1 和 U2 的联合分布为二元正态分布

V之间的相关结构是通过U之间的相关结构定义的
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-0.2
0
0.2
0.4
V1
V2

假定，某交易组合的规模为L，违约回收率为R，在时间T，在 X置信区间的条件下，贷款组合的风险价值度为
VaR(T , X ) L (1 R) WCDR(T , X )
0.6
0.8
1
1.2
一对一映射
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
U1
U2
相关性假设
例
V1
V2
V1 到 U1 的映射
V1
0.2 0.4 0.6 0.8
分布的分位数
20 55 80 95
U1
-0.84 0.13 0.84 1.64
V2 到 U2 的映射
V2 0.2 0.4 0.6 0.8
分布的分位数 8 32 68 92


生成随机样本：模特卡洛模拟

在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（））来生成服从 正态分布随机数

对于产生多元联合正态分布的随机抽样要采用Cholesky分解的 方法
因子模型

对N个变量之间的相关性进行估计，我们需要估计N(N-1)/2个参 数

采用因子模型进行估计，我们就可以减少估计参数的数量





相关系数为
covn varx,n vary ,n
协方差

第n天的协方差为
E( xn yn ) E xn E yn

经常被简化为
E( xn yn )
监测相关系数（续）

EWMA：
covn covn1 (1 ) xn1 yn1

GARCH（1，1）：
单因子模型

假设 Ui 服从标准正态分布，可设
U i ai F 1 a Zi
2 i

其中，共同因子 F 和特异因子 Zi 均服从标准正态分布 Ui 和 Uj 的相关系数为 ai aj

高斯Copula函数 假设我们希望在不服从正态分布的两个变量V1 和 V2 之间定义 一种相关结构

U a F i ProbBaidu NhomakorabeaU i U F ) N 2 1 a i
N 1 Q (T ) a F i i Prob(Ti T F ) N 2 1 ai

贷款组合模型（续） 假设所有公司之间的Copula相关系数均等同，此量被记为ρ

贷款组合模型

定义Ti 为公司i的违约时间，将变量Ti 的分位数与Ui 的分位数之 间进行一一对应的映射，假定Ui 满足式
U i ai F 1 ai2 Zi

F 及Zi 为相互独立的正态分布

定义Qi 为Ti 的累积概率分布
当N(U)=Qi(T)时，Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)
第 11 章
相关性与Copula函数
协方差和相关系数

变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
E (VV 1 2 ) E (V1 ) E (V2 ) SD(V1 ) SD(V2 )

变量V1 和 V2 的协方差被定义为
cov(V1,V2 ) E(VV 1 2 ) E(V 1 ) E(V2 )
其他Copula函数 还有许多其它Copula函数可以用于描述相关结构 一种可能是二元学生t-分布


二元正态分布的5000个随机样本
5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 5
二元学生t-分布的5000个随机样本
5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 5
U2 −1.41 −0.47 0.47 1.41
例：计算联合概率分布 V1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 < −0.84 和 U2 < −1.41 的概率


当Copula相关系数等于0.5时 M（−0.84, −1.41, 0.5）= 0.043


M是二元正态分布的累积分布函数




几种不同的关联形式
E V2
E V2
E V2
V1
V1
V1
a)
b)
c)
监测相关系数 定义 xi=(Xi−Xi-1)/Xi-1 和 yi=(Yi−Yi-1)/Yi-1 varx,n ：以第n-1天估计的X的日方差 vary,n ：以第n-1天估计的Y的日方差 covn ： 以第n-1天估计的协方差
covn xn1 yn1 covn1
协方差的一致性条件 方差-协方差矩阵Ω满足内部一致性条件的不等式为：对于所有 的向量w，满足

w w 0
T
二元正态分布

假定两个变量V1 和 V2 服从二元正态分布，假定变量变量V1 的 某个观察值为v1，V2 在V1 = v1条件下为正态分布，期望值为