第8章 相量法

Ri
+
us
L
-
us = 2U cos(ωt +ϕu )
电路方程： 相量形式：
解得： I
RRiI++ LjωdiLId t==U = Us =
R + jωL
2U sin(ωt s = U ∠ϕu
Us R2 + (ωL)2
+ ϕu ) ∠(ϕu
−
arctg
ωL) R
故：
i=
R2
Us + (ωL)2
应按最大值考虑；(3)测量中，交流测量仪表读数一般为有效值；(4) 正确区分瞬时值、最大
值、有效值的表示符号： i, Im , I 及 u,Um ,U 。 二、正弦量的相量表示
1、复数基础知识
①复数的表示方法：
代数形式表示： A = a1 + ja2 ( j 是虚单位， j = −1 ) 三角形式表示： A = A cosϕ + j A sin ϕ ( A —模，ϕ —幅角)
表明电阻始终吸收功率。
2、电容 C 元件 VCR 的相量形式及其相量模型 ① VCR 相量形式： i = C du dt → I = jωCU (关联)， i = −C du dt → I = − jωCU (非关联)。
注意：(1)电容上电压与电流同频不同相，电流总超前电压 90º，幅值为电压的 ωC 倍；(2) 记 XC = −(ωC)−1 = −(2π fC)−1 ，称 X C 为电容的容抗(单位 Ω )， X C 反映了电容元件对正弦电 流的阻碍作用：C 一定时， f 越高，X C 越小，电流越易通过。③记 BC = ωC = 2π fC ，称 BC 为电容的容纳(单位 S )。
②正弦量的瞬时表达式： i(t) = Im sin(ωt + ϕ i) = Im sin(2π T ⋅t + ϕ i) = Im sin(2π ft + ϕ i)
③正弦量的波形： 2、正弦量的三要素
①振幅/幅值：正弦量变化的最大值，如 Im 。
②角频率 ω ( rad / s )、周期 T ( s )和频率 f ( Hz )：它们反映正弦量的变化快慢，三者关系 为：ω = 2π T = 2π f ， f = T −1 。 ③初始相位ϕi ( o 或 rad )：ϕi 规定了正弦量的计时起点。对一个正弦量，其计时起点不同，
=
| |
F1 F2
| |
∠
θ1
−
θ2
(模相除，角相减)。
乘除法的几何意义：扩缩+旋转
例： 220 ∠35D
+
(17
+ j9) (4 + 20 + j5
j6)
(=
182.5
+
j132.5
=
225.5∠36D
)
。
③旋转因子
旋转因子是指复数 e jθ = cos θ + j sin θ = 1∠θ 。
几个特殊旋转因子：
期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。
3、电感 L 元件VAR 的相量形式 ① VCR 相量形式： u = L di dt → U = jωLI (关联)， u = −L di dt → U = − jωLI (非关联)。
注意：(1)电感上电压与电流同频不同相，电压总超前电流 90º，其幅值为电流幅值的 ωL 倍。
其初始相位也就不同。 注意：(1)正弦量的三要素是不同正弦量之间进行比较、区分的依据；(2)正弦量三要素与其 瞬时表达式之间具有对应关系：给定瞬时表达式，可得其三要素；给定三要素，可以写出瞬 时表达式。 3、正弦量的相位及相位差
①正弦量的相位(或相位角) (ωt + ϕi ) ： (ωt + ϕi ) 确定了正弦量的瞬时状态。 ②两个同频正弦量之间的相位差ϕ ：ϕ 即相位之差 设两同频正弦量： u1(t) = U1m sin(ωt + ϕ1) ， u2 (t) = U2m sin(ωt + ϕ2 ) ，则 u1(t) 与 u2 (t) 之 间的相位差ϕ = (ωt + ϕ1) − (ωt + ϕ2 ) = ϕ1 −ϕ2 (初相之差，与时间无关，主值范围 ϕ ≤ π ) 规定：u1(t) 比 u2 (t) 超前(ϕ > 0 )、滞后(ϕ < 0 )、同相(ϕ = 0 )、正交(ϕ = π 2 )、反相(ϕ = π )。
(2)记 X L = ω L = 2π fL ，称 X L 为电感的感抗(单位 Ω )，它反映了电感元件对正弦电流的阻 碍作用： L 一定时， f 越高， X L 越小，电流越难通过。(3)记 BL = −(ωL)−1 = −(2π fL)−1 ， 称 BL 为电感的感纳(单位 S )。 ②相量模型及其 VCR 关系相量图：
表示了正弦
量的有效值和初相，复数的另一部分 e jωt 表示了正弦量的角频率。 相量概念：把与正弦量对应复数的复常数部分 Ie jϕi 称为该正弦量的相量，并将相量记为：
I = Ie jϕ i = I e jϕ i = I∠ϕ i
注意：(1) 相量是复数；(2) 相量与正弦量之间是对应关系，而不是 相等关系；(3) 相量表示了正弦量的两个要素(有效值和初相)，对于
第 8 章 相量法
教学目的与要求： 本章从正弦量入手，介绍相量的概念和电路元件 VCR 与电路定律的相量运算形式。通过本 章学习，要求了解正弦量的三要素，深刻理解相量概念和正弦量的相量表示方法，熟练掌握 各种电路元件 VCR 和电路定律的相量形式，并能灵活运用，以为进行正弦稳态分析打下基 础。 教学重点与难点： 1、正弦量及其三要素； 2、相量概念及正弦量的相量表示； 3、各种电路元件 VCR 和电路定律的相量形式。 教学时数：共计 4 学时(其中理论课 4 学时，实验课 学时，习题课 学时，讨论课 学时) 教学内容与方法： 结合典型例题，运用启发式、课堂练习、课后思考与作业等多种教学方法与手段，详细讲解 正弦量及其相量表示，电路元件和电路定律相量形式等重要教学内容。
sin(ωt
+ ϕu
− arctg
ωL) R
结论：用相量法来分析正弦电路，优点主要有：(1)把时域问题变为复数问题；(2)把微积分 方程的运算变为复数方程运算；(3)可把直流电路的分析方法直接用于交流电路。但要注意 的是，相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 教学小结： 了解正弦量的表示、波形及三要素；深刻理解相量概念及相量与正弦量间关系；掌握将正弦 量运算转换成相量运算的方法。 作业布置：题 8-2 教学后记：
2( jωI)e jωt ⎤⎦
显然 di dt 的相量为： jωI = ωI∠(ϕi + π 2) 。
③正弦量的积分仍为同频正弦量，并且其相量等于原正弦量的相量除以 jω 。即：
∫ i(t)dt 的相量为 I
jω
=
I ω
∠(ϕi
−π
2) ；
④运用相量及相量的运算法则可以求取正弦电路微分方程的特解(稳态响应)。
2)
已知
•
I
=
50∠15D
A,
f
= 50Hz
，试写出电流的瞬时值表达式。
3、正弦量运算与相量运算之间的关系
通过相量，正弦量的运算可以转化为相应相量的运算来实现。
①同频正弦量的代数和仍为同频正弦量，并且和的相量等于各相量代数和。
i = ∑ ik = ∑ 2Ik cos(ωt + ϕik ) → I = ∑ Ik = ∑ Ik e jϕik = ∑ Ik ∠ϕik
F1 ± F2 = (a1 ± a2 ) + j(b1 ± b2 )
Im
b1 + b2 b2
F2
F1 + F2
ImF1 + F2 F2 F1
b1 0 a1
F1 a2 a1
+
a2
Re
0 F1 − F2 −F2
Re
乘除运算：采用指数或极坐标形式最为简便，也可采用代数形式进行。
若 F1 =| F1 | e jθ1 =| F1 | ∠θ1 ， F2 =| F2 | e jθ2 =| F2 | ∠θ2 ，则：
②相量模型及其 VCR 关系相量图：
I
+
U
-
1 jω C
I
U = XC I = (ωC)−1 I
ϕi = ϕu + π 2
U
③瞬时功率：
若电容电压 u(t) = 2U cos(ωt + ϕu ) ，则电容电流 iC (t) = − 2ωCU sin(ωt + ϕu ) ，电容瞬 时功率 pC = uiC = UIC sin 2(ωt + ϕu )] 。可见，电容瞬时功率以 2ω 交变，有正有负，一周
8.3、8.4 电路元件伏安特性及电路定律的相量形式 一、 R, L, C 元件伏安特性的相量形式 1、电阻 R 元件 VCR 的相量形式及其相量模型 ① VCR 相量形式： u = Ri → U = RI (关联方向)， u = −Ri → U = −RI (非关联方向)
注意：电阻上电压与电流总是同频同相，在相量图上，电压相量与电流相量共线或平行。
(两种形式间的转换关系： A = a12 + a22 , tgϕ = a2 a1 或 a1 = A cosϕ, a2 = A sinϕ ) 指数形式表示： A = A e jϕ (欧拉公式 e jϕ = cosϕ + j sinϕ )
极坐标形式表示： A = A ∠ϕ (三角或指数形式的简写)
几何表示：复平面内向量表示。 ②复数的运算 加减运算：采用代数式进行最简便，亦可在复平面内采用图解法进行(平行四边形法则和三 角形法则)。
②相量模型：在正弦交流电路中，采用相量形式来表示的电路模型即为其相量模型。电阻元
件的相量模型及其 VCR 关系相量图如下。
I
+
U
R
-
U = RI U I ϕu = ϕi
③瞬时功率：
若电阻电流 i(t) = 2I cos(ωt + ϕi ) ，则电阻端电压 uR (t) = 2RI cos(ωt + ϕi ) ，电阻的瞬 时功率 pR = uRi = RI 2[1+ cos 2(ωt + ϕi )]。可见电阻瞬时功率以 2ω 交变，但始终大于零，
引言 正弦信号是一种基本信号，其它非正弦周期信号可以分解成正弦分量。正弦电路在电力系统 和电子技术领域占有十分重要的地位，对正弦电路进行分析研究具有重要的理论价值和实际 意义。
8.1、8.2 正弦量及其相量表示
一、正弦量及其三要素 1、正弦量及其瞬时表达式与波形 ①正弦量：随时间按正弦规律变化的物理量统称正弦量。
注意：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。 4、正弦量的有效值/方均根值 ①周期量的有效值是一个在效应上与周期量在一个周期内平均效应相等的直流量。一般根据 热效应来定义，即：
直流 I R W = RI 2T
交流 i R W = ∫0T Ri2 (t)dt
def
RI 2T = ∫0T Ri2 (t)dt ⇒ I =
F1 ⋅ F2 = F1 e jθ1 ⋅ F2 e jθ2 = F1 F2 e j(θ1+θ2 ) = F1 F2 ∠θ1 + θ2 (模相乘，角相加)
F1 F2
=
| F1 | | F2 |
∠ θ1 ∠θ2
=
| F1 | e jθ1 | F2 | e jθ 2
=
| F1 | e j ( θ1−θ2 ) | F2 |
角频率 ω ，因在同一正弦交流电路中一般各电路变量具有相同的角
频率，因此往往不予表示；(4) 同复数一样，相量可以在复平面上用 向量来表示。
+j
I
ϕi
+1
相量图
相量图：复平面上表示相量或多个相量间关系的图。
例：1) 已知 i = 141.4 cos(314t + 30o )A, u = 311.1cos(314t − 60o )V ，试用相量表示 i, u；
例：已知 i1 = 5 cos(ωt + 36.90 ) ， i2 = 10 cos(ωt − 53.10 ) ，试求 i = i1 + i2 。 ②正弦量的微分仍为同频正弦量，并且其相量等于原正弦量的相量乘以 jω 。
di dt
=Байду номын сангаас
d dt
⎡⎣
2I
cos(ωt
+
ϕi
)⎤⎦
=
d dt
⎡⎣Re(
2Ie jωt )⎤⎦ = Re ⎡⎣
e
j
π 2
=
+
j
，
e
j−
π 2
=
− j ， ej±π
= −1
2、正弦量的相量
i(t) = 2I cos(ωt + ϕ i) = Re ⎡⎣ 2Ie j(ω t+ϕ i) ⎤⎦ = Re ⎡⎣ 2Ie jϕ i e jω t 可见，对任一正弦量，总有一个复数与之对应，并且该复数的复常数部分 Ie
j⎤⎦ϕi
1 T
∫ 0T
i2
(t)dt
②对于正弦量，其有效值 I 与最大值 Im 之间有固定的 2 倍关系，即： Im = 2I 或 I = 0.707Im 。
注意：(1)正弦量有效值可代替其幅值，成为一个要素；(2)工程上，设备铭牌额定值、电网
电压等级一般指有效值，而绝缘水平、耐压值指的是幅值(最大值)，在考虑设备耐压水平时