4.2 单位圆与周期性
高二数学教案：单位圆与周期性
高二数学教课设计：单位圆与周期性泗县三中教课设计、教案：单位圆与周期性年级高一学科数学课题单位圆与周期性讲课时间撰写人刘报时间学习要点单位圆与正弦线、余弦线、正切线学习难点正弦线、余弦线、正切线的应用学习目标1. 理解正弦线、余弦线、正切线的观点;2. 掌握作已知角的正弦线、余弦线和正切线;3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及求解简单的三角不等式 .教课过程一自主学习1.当角的终边上一点的坐标知足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。
设角的终边与单位圆交点 P(x， y), 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ，则有向线段 MP 为正弦线，OM 为余弦线 . 过点 A(1,0) 作单位圆的切线，与终边或延伸线交于 T，则有向线段叫角的正切线.我们把这三条与单位圆相关的有向线段，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.2. ①正弦值关于第、象限为正( )，关于第、象限为负( );②余弦值关于第、象限为正( )，关于第、象限为负( );③正切值关于第、象限为正(同号)，关于第、象限为负( 异号 ).3.周期函数与周期二师生互动例1已知，比较的大小.变式：，结果又怎样?例 2 利用单位圆求合适以下条件的0到 360的角.(1)sin ; (2) tan .变式：利用单位圆写出切合以下条件的角的范围 .(1) ; (2) .三稳固练习1.以下大小关系正确的选项是( ). A. B.C. D. 以上都不正确2.利用余弦线，比较的大小关系为 ( ).A. B.C. D. 没法比较3. 利用正弦线，求得知足条件，且在0到360的角为( ).A.或C.或C.或C.或4. 不等式的解集为.5.依据以下已知，鉴别所在象限：(1)sin0 且 tan0 ; (2) tan cos0.6.求函数的值域.四课后反省五课后稳固练习要练说，得练听。
听是说的前提，听得正确，才有条件正确模拟，才能不停地掌握高一级水平的语言。
《单位圆与周期性》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《单位圆与周期性》教学设计教材首先通过对终边相同角的正、余弦函数值的分析得出公式，使学生初步了解函数的周期性，进而给出周期函数的定义。
特别探究正弦函数、余弦函数的周期、最小正周期，以便于后续的学习和应用。
【知识与能力目标】1、掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系2、理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
【过程与方法目标】通过对周期函数的定义和三角函数周期的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】1、使学生认识到事物之间是有联系的，终边相同角的三角函数值相等；2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。
【教学重点】掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系【教学难点】理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入部分复习回顾正、余弦函数的定义、定义域、值域、在各个象限的符号。
二、探究新知： 阅读教材P 16～P 17练习以上部分，完成下列问题。
1、终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系。
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )。
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )。
2、一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期。
3、特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k π(k ∈Z ，k ≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期。
三、例题解析求下列各角的三角函数值。
(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π；(2)cos 1 500°； (3)sin 174π；(4)cos 253π。
单位圆与周期性
高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.2单位圆与周期性 1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解正弦函数、余弦函数的几何意义；（2）会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 2、过程与方法通过研究正弦函数、余弦函数的几何意义，利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 3、情感态度与价值观通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：周期性及一般函数周期性的定义. 学习难点：会求简单函数的周期性. 基础达标：1、终边相同的角的正、余弦值间的关系（1）sin(2) ,()x k k Z π+=∈； （2）cos(2) ,()x k k Z π+=∈． 2、周期函数的定义（1）一般地，对于函数()f x ，如果存在 ，对定义域内的 值，都有 ，则称()f x 为周期函数， 称为这个函数的周期．（2）特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称 是正弦函数、余弦函数的周期．其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 ．合作交流：1、求值：（1）sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750cos 495-︒︒+-︒︒+︒（2）2317cos()34ππ-+2、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，求(3)(4)f f -的值．思考探究：1、由于sin()sin 424πππ+=，所以2π是()sin f x x =的一个周期，对吗？2、所有的周期函数都有最小正周期吗？达标检测：1、下列说法不正确的是（ ） A.只有个别的x 值或只差个别的x 满足()()f x T f x +=或不满足都不能说T 是()y f x =的周期B.所有周期函数都存在最小正周期C.周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT()k N +∈一定也是周期D.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界2、25sin 6π=（ ）A.12-B.32C.12 D.32-3．下列说法中正确的是( ) A ．当2x π=时，sin()sin 6x x π+≠，所以6π不是()sin f x x =的周期 B ．当512x π=时，sin()sin 6x x π+=，所以6π是()sin f x x =的一个周期 C ．－2π不是y ＝sin x 的周期 D ．π是y ＝cos x 的一个周期4、角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 3± D. 5 5、下列函数是周期函数的是（ ） ①()f x x =；②()2x f x =；③()1f x =；④1,()0为有理数，为无理数x f x x ⎧=⎨⎩.A.①②B.③C.③④D.①②③④6、角α的终边上有一点()(,),0且P a a a R a ∈≠，则cos α的值是（ ）A.22 B.22- C.22± D.1 7、sin390 ︒=，cos390 ︒=，390°终边与单位圆交点P 的坐标为________．8、若偶函数()y f x =是以4为周期的函数，且在区间[]6,4--上是减函数，则在上[]0,2的单调性是学习小结：学后反思：。
4.2单位圆与周期性
探究点二 周期求法
议、展
例 2 求下列三角函数的周期：(1)y＝3cos x，x∈R (2)y＝sin
2x，x∈R (3)y＝2sin12x－6π ，x∈R. 解 (1)∵3cos(x＋2π)＝3cos x，
∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋2π，
函数 y＝3cos x，x∈R 的值才能重复出现，
所以，函数 y＝3cos x，x∈R 的周期是 2π.
(2)∵sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)＝sin 2x，
议、展
∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋π，函数 y＝sin 2x，x∈R
的值才能重复出现，
所以，函数 y＝sin 2x，x∈R 的周期是 π.
(3)∵2sin12x＋4π－π6＝2sin12x－π6＋2π＝2sin12x－π6， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋4π，函数 y＝2sin12x－π6， x∈R 的值才能重复出现，
跟踪演练 1 求下列各式的值．
检
(1)sin－145π＋cos235π＋cos(－130π)；
(2)sin 810°＋cos 765°－sin 1 125°＋cos 180°＋sin(－2
010°)．
解 (1)原式＝sin－4π＋π4＋cos8π＋π3＋cos－4π＋23π
究
特别提醒： 1.T是非零常数.
2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域
无界是成为周期函数的必要条件.
3.任取x∈D，就是取遍D 中的每一个x，可见周期
性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓
住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T也是
2018学年高中数学北师大版必修4课件：1.4.1+4.2 单位圆与周期性 精品
[小组合作型] 正弦、余弦函数的定义
已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ.
【自主解答】
当a>0时，r＝
a2＋a2 ＝
2 a，得sin
θ＝
a＝ 2a
2 2
，cos
θ＝
a＝ 2a
2 2.
当a<0时，r＝
[再练一题] 1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.
【导学号：66470006】
【解】 设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0，
则r＝ a2＋2a2＝ 5|a|.
当a>0时，sin θ＝
2a ＝ 5|a|
2 ＝2 5
5
5，
cos θ＝
a＝ 5|a|
1＝ 5
5 5.
当a<0时，sin θ＝
[探究共研型] 利用正弦、余弦函数的周期性求值
探究1 30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？ 【提示】 相等． 探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？ 【提示】 都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角 函数定义知函数值相等．
探究3 公式sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cos x，k∈Z，揭示了什 么规律，有什么作用？
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号， 然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ<kπ＋π2(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论．
[再练一题]
2．(1)判断ssiinn
北师大版必修4 1.4.1-4.2 单位圆与周期性 学案
4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋[注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z；cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) 解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y 轴的正半轴上． (2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期． (4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B. 3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)4．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴负方向相同，则sin α＝________．解析：由正弦线的概念知sin α＝－12.答案：－121．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即 实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应 余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；比值xr 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称 终边位置正弦函数余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴1y轴负半轴－104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k －1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．【解】法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得⎩⎨⎧x0＝55，y0＝255，即P⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y0＝255，cos α＝x0＝55.法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0) （O 为坐标原点），所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点O 不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝xr求值．1.(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25 B.25 C ．－25或25D ．1(2)已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，则cos α＝________． 解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45， 所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，故选A. (2)因为r ＝4＋y 2，所以sin α＝yr ＝yy 2＋4＝－55.所以y <0，所以y ＝－1，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－25＝－255.答案：(1)A (2)－255单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． 【解】 (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示． (2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin8π3＝32.(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．2.(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12， 所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ⎝⎛⎭⎫－136π＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－136π＝32. 判断三角函数值的符号及角所在象限(1)判断sin 340°cos 265°的符号；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． 【解】 (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°<0，cos 265°<0. 所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3.判断下列各式的符号．(1)α是第四象限角，sin α·cos α； (2)sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫－23π4>0. 所以sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－234π<0. 周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )， 当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 016]内零点的个数．【解】 (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0. (2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立． 故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0， 所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z . 由0≤4k ≤2 016(k ∈Z )得0≤k ≤504(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，2 016]内的零点共有505个．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4.(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数， 所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期． 所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4，从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝ －[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是{－2，0，2}．[答案] {－2，0，2}求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x 、cos x 的符号进行讨论，即对x 所在象限进行分类讨论．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解析：选D.r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：24．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________． 解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1, [A 基础达标]1．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－32B.32C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 2π3＝－12. 2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C.3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：选B.因为α为第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z解析：选B.由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确． 6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________． 解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝sin α－cos α. 答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案：<8．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：359．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. 因为点M 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. 所以cos α＝22或cos α＝－22. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )． 所以函数f (x )是周期函数． (2)由(1)知，函数f (x )的周期为4， 所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)． 因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B 能力提升]11．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34，所以－4a a 2＋16＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.13．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围． 解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上． 又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上． 所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．14．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， 所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。
单位圆与周期性讲解
－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)
本
课 时
＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150°
栏
目 开 关
＝1＋ 22－ 22＋(－1)＋12＝12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.4.2
1.sin(－1 380°)的值为
本
课 边与 x 轴重合时，正弦线变成一个点，此时角 α 的正弦值
时
栏 为 0；当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点.
目
开 3.正弦函数和余弦函数周期性的实质是终边相同的角的同一
关
三角函数值相等，根据任意角的正弦函数、余弦函数的定义 不难理解这一规律.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.2
关 (1)函数 y＝ sin x的定义域为________________.
答案 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
(2)函数 y＝lg cos x 的定义域为________________. 答案 {x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z}
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
探究点二 三角函数线的作法 问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？
栏 目
sin2α＋cos2α＝1；
开
关 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM.
在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
北师大版高二数学必修目录
北师大版高二数学必修4目录第一章三角函数1.周期现象习题1—12.角的概念与推广习题1—23.弧度制习题1—34.正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与诱导公式习题1—45.正弦函数的性质与图像5.1从单位圆看正弦函数的性质5.2正弦函数的图像5.3正弦函数的性质习题1—56.余弦函数的图像和性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数性质习题1—67.正切函数7.1正切函数定义7.2正切函数的图像与性质7.3正切函数的诱导公式习题1—78.函数y=A sin(ωx+ψ)的图像习题1—89.三角函数的简单应用习题1—9阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究y=A sin(ωx+ψ)（A＞0，ω＞0）的图像本章小结建议复习题一第二章平面向量1.从位移、速度、力到向量1.1位移、速度和力1.2向量的概念习题2—12.从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法习题2—23.从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理习题2—34.平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示习题2—45.从力做的功到向量的数量积习题2—56.平面向量数量积的坐标表示习题2—67.向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例习题2—7阅读材料向量与中学数学本章小结建议复习题二第三章三角恒等变形1.同角三角函数的基本关系习题3—12.两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数2.3两角和与差的正切函数习题3—23.二倍角的三角函数习题3—3阅读材料三角函数叠加问题课题学习摩天轮中的数学问题本章小结建议复习题三探究活动升旗中的数学问题附录1 部分数学专业词汇中英文对照表附录2 信息检索网址导引。
河南省确山县第二高级中学高一数学北师大版必修4《1.4.2单位圆与周期性》教案
确山二高 年级 学科共案时 间： 星 期：主 备 人：王 仟 使用人：【教学主题】单位圆与周期性【教学目标】：1．掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数．2．会利用正、余弦函数的周期性把求任意角的正、余弦值转化为0°～360°求值．【知识梳理】1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R .2．正、余弦函数的周期性sin(α＋k ·2π)＝ ，k ∈Z ；cos(α＋k ·2π)＝ ，k ∈Z .由此我们可以得到如下结论：(1)正弦函数、余弦余数都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期．(2)终边相同的角的同一三角函数的值3．周期函数的有关概念(1)周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在 实数T ，任取定义域内的任意一个x 值，都有 ＝f (x )，那么函数f (x )就称为周期函数，T 称为这个函数的 ．(2)最小正周期2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．【典型例题】要点一：单位圆及其应用例1：根据下列三角函数值，作出角α的终边，然后求角α的取值集合．(1)sin α＝12； (2)cos α＝12. 解：(1)已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z}．(2)因为角α的余弦值为12，所以在x 轴上取点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，过该点作x 轴的垂线，交单位圆于P 1、P 2两点，OP 1，OP 2是所求角α的终边，α的取值集合为{α|α＝2k π±π3，k ∈Z }规律方法：(1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很有用处．(2)利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如sin x ≥m 或sin x ≤m 的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．跟踪演练1在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 要点二：利用周期求值例2：求下列角的三角函数值．(1)cos(－1 050°)；(2)cos 193π；(3)sin(－314π)． 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴－1 050°的角与30°的角终边相同，∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝32；(2)∵193π＝3×2π＋π3，∴角193π与角π3的终边相同， ∴c os 193π＝cos π3＝12； (3)∵－314π＝－4×2π＋π4， ∴角－314π与角π4的终边相同， ∴sin(－314π)＝sin π4＝22. 规律方法：利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．跟踪演练2：求下列各式的值．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＋cos 253π＋cos(－103π)； (2)sin 810°＋cos 765°－sin 1 125°＋cos 180°＋sin(－2 010°)．解：(1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋23π＝sin π4＋cos π3＋cos 23π ＝22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝22. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150°＝1＋22－22＋(－1)＋12＝12. 要点三：周期求法 例3：求下列三角函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R (2)y ＝sin 2x ，x ∈R (3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6 ，x ∈R . 解：(1)∵3cos(x ＋2π)＝3cos x ，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋2π，函数y ＝3cos x ，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π.(2)∵sin(2x ＋2π)＝sin 2(x ＋π)＝sin 2x ，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋π，函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的值才能重复出现， 所以，函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的周期是π.(3)∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －π6，x ∈R 的周期是4π. 跟踪演练3求下列函数的周期：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(3)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2π2＝π； (2)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝4π；(3)T ＝2π×12＝π. 规律方法：对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解．。
014-2015学年高中数学 1.4.2-1.4.3单位圆与周期性单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件 北师大版必修4
正弦函数(y=sin x) 在区间 [2k , 2k ]
2 2
余弦函数(y=cos x)
在区间［2kπ -π ,2kπ ］
上是增加的, 单调性 在区间 [2k , 2k 3 ]
2 2
上是增加的,
在区间［2kπ ,2kπ +π ］
上是减少的(k∈Z)
上是减少的(k∈Z)
3.单位圆与正、余弦函数的性质 (1)原理:
y=sin x y=cos x
(2)正、余弦函数的性质: 正弦函数(y=sin x) 定义域 值域 R ［ -1，1］ __________
x 2k , k Z 2 当_______________
余弦函数(y=cos x)
最小值
x=(2k+1)π ,k∈Z 当________________ -1 时，ymin= ___
3 6
【解题探究】1.题(1)中y=cos x在哪些区间上是递增的? 2.题(2)中开偶次方根时，对被开方数有什么要求？ 3.题(3)中y=cos x在 [ , 5 ] 上是增加的还是减少的?
3 6
【探究提示】1.y=cos x在［2kπ-π,2kπ］(k∈Z)上是递增 的. 2.开偶次方根时要求被开方数为非负数. 3.y=cos x在 [ ,0] 上是增加的，在 [0, ] 上是减少的.
知识点2
正弦、余弦函数的基本性质
1.对从单位圆看正弦、余弦函数性质的两点说明
(1)正、余弦函数的性质是利用正弦、余弦函数的定义结合单
位圆直观观察得来的.
(2)这些性质适用于整个函数，而不仅仅是在［0,2π ］上的性
质.
2.对正弦函数、余弦函数单调性与最值的说明 (1)对于正弦函数与余弦函数来说，它们的定义域均是全体实
4.2单位圆与周期性
结论：一般地，函数的周期y Asin(x )及y Acos(x )( A,,为常数，A 0, 0)的周期T 2
【练习巩固】
练习题3：求下列函数的周期：
(1)y 2 cos 3x
(2) y sin x 3
推广：（类比教学法）
2、（变式题）写出下列函数的周期：
（1）y 1 sin3x （2）y 3cos(2x )
2
3
3、（简单应用题）
(1)函数f (x)周期2，且f (1) 1,则f (1) f (5) f (9) ____;
(2)函数y 5sin( k x )的周期为3，求实数k的值。
当上述结论中 0改为 0则周期
2
辨别题）判断下列说法是否正确：
（1）所有函数都存在最小正周期；
（2）对于函数f (x)，如果存在一个非零的常数T，使得
定义域内的无数个x值，都满足f (x T ) f (x),那么函
数就叫做周期函数。
（1）x 时,sin(x 2 ) sin x，则 2 一定不是正弦函
3
3
3
数y= sin x的周期；
（2）x 7 时,sin(x 2 )= sin x，则 2 一定是正弦函数
6
3
3
y= sin x的周期；
问题3：正弦函数的周期唯一吗？
动画演示3
问题3-1：观察几何画板演示，当点从圆周上任意一点 出发逆时针运动两周后，正弦函数值有变化吗？运动 更多呢？这种现象说明了怎样的事实？
一、概念提出
一般地，对于函数 f(x) ，如果存在一个非零的 常数T,使得定义域内的每一个值 x ，都满足f(x+T) = f(x) ,那么函数就叫做周期函数（periodic function）,非 零常数T 叫做这个函数的周期（period）
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4
f (p + p ) ? f (p ) ，不符合周期函数的定义，实际上，
32
3
函数 y=sinx 的周期为2p .
例 求下列三角函数值：
（1）
cos 9
4
（2）
sin( 11 )
6
解：（1）cos 9
cos(
2 )
cos
2
4
4
42
（2） sin( 11 ) sin( 2 ) sin 1
中 2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一
个，称为最小正周期.
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ， 对定义域内的任意一个x值，都有
f(x+T)=f(x),
我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周 期. 说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的 最小正周期.
特别提醒： 1.T是非零常数.
个x.
例 3：函数 y = sin x是周期函数，且 f (p + p ) = f (p ) ，为什么 p 不是它的周期?
42 4
2
解析：据周期函数的定义，对于定义域内的
任意的 x 值都应该满足 f(x+T)=f(x),我们才称
T 为此函数的周期.虽然 f (p + p)= f (p) ，但是
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0
1 2
2 2
31
2
3 2
1 2
0
-
1 2
-
3 2
-1 -
3 2
-1 2
0
1
3 2
2 2
1 2
0
-
1 2
-
3 2
-1 -
3 2
-
1 2
0
1 2
31
2
观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的
变化有什么特点吗？
探究点1 周期函数
观察右图，在单位圆中，由任意角 的正弦函数、余弦函数定义不难得到下 列事实：终边相同的角的正弦函数值相
6
6
62
练习 求下列三角函数值
sin 19 3
3
2
cos( 31 ) 2
4
2
2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域
无界是成为周期函数的必要条件.
3.任取x∈D，就是取遍D 中的每一个x，可见周期
性是函数在定义域上的+T)=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T也是
y=f(x)的周期.
思考
1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数f(x)
是不是周期函数，若是，有无最小正周期. 答:是，无最小正周期.
2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如
果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R
的一个周期？为什么？
答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一
4.2 单位圆与周期性
前面我们学习了周期 现象，角的一边可以绕角 的顶点旋转，得到了终边 相同的角，如图所示，今 天我们学习正弦函数、余 弦函数的周期性及性质.
y
P
α
x
M O (1,0)
在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各 个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数 值、余弦函数值填入下表
等，即 sin(x 2k) sin x, k Z ；
终边相同的角的余弦函数值相等， 即 cos(x 2k) cos x,k Z .
把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作 周期函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2k(k Z, k 0) 为正弦函数、余弦函数的周期.
例如， 4, 2, 2, 4 等都是它们的周期.其