不动点理论()

3.4 不动点理论

3.4.1 不动点定理

定义 3.4.1 设(X, )是度量空间，A:X X 是一个映射。若存在数, 0 1，使对

任意x,y X ，有

(Ax,Ay) (x,y) (3.4.1) 则称A 是X 上的一个压缩映射(Contraction Mapping ).

若X 是线性空间，则称A 是X 上的一个压缩算子(Contraction Operator ).

【注】为简明起见，这里用Ax 记A(x). 由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离

的(0 1) 倍。

定理 3.4.1 压缩映射是连续映射。

证证明压缩映射A 是连续映射，即证明：对任意收敛点列x n x0 (n ) ，必有

Ax n Ax0 (n ) .

因为点列x n x0 (n ) ，即：(x n ,x0) 0 (n ),

又因为A 是压缩映射，即存在数, 0 1，使得

(Ax n,Ax0) (x n,x0),

所以

(Ax n, Ax0) 0 (n ),

即：

Ax n Ax0 (n ).

证毕！

定义 3.4.2 设X 是一集，A: X X 是一个映射。若x* X ，使得Ax* x*, (3.4.2)则称x*为映射A的一个不动点(Fixed Point ).

设A:X X 是一个映射，即：A:x Ax (x X ) ，定k个义：

A2 :x AAx ，A3: x AAA,x , k A: x A ，A x k 1, 2, 3,.

定理 3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(X, ) 是完备的度量空间，A:X X 是一个压缩映射，则X中必有A的唯一不动点。文档来自于网络搜索

证先证明映射A 在X 中存在不动点。

在X 中任取一点x0，从x0 开始，令

x 1 Ax 0, x 2 Ax 1 A x 0, , , x n Ax n 1 A x 0, n 1,2, ，

这样得到 X 中的一个列点 {x n }. 往证{ x n }是基本点列。

因为 A 是压缩映射，所以存在数 , 0 1 ，使得

(x n 1,x n )

(Ax n ,Ax n 1)

(x n ,x n 1) (n 1).

(3.4.3)

反复应用上式，由归纳法得

(x n 1,x n )

n

(x 1,x 0) (n 1). (3.4.4)

于是，对任意正整数 p ，由 (3.4.3)及三点不等式得

(x

n p ,x n

)

(x

n p ,x

n p 1

)

(x

n p 1

,

( n p 1 n p 2

n

) (x 1,x 0)

n n p n

(x 1,x 0) (x 1,x 0) 0 (n ) , (3.4.5)

11

即{x n } 是基本点列。

因为 X 是完备空间，所以 {x n } 在 X 中存在唯一的极限 x *，使得

* x n

x *

(n ) . 又因为压缩映射 A 是连续的，所以有

Ax n

Ax * (n ).

而

*

Ax n x n 1 x (n ) ，

且收敛点列 { Ax n }的极限是唯一的，故 Ax * x *，即 x *就是映射 A 在X 中的不动点。

再证明不动点是唯一的。

若x 也是映射 A 在X 中的不动点，即 Ax x ，则必有

(x *,x)

(Ax *,Ax ) (x *,x)，

而 0

1，因此要使上式成立，必须 (x * ,x ) 0 ，即 x * x . 证毕！

注 1】 定理 3.4.4 又称为 压缩映射原理 ( contraction mapping theorem

mapping principle ) 或 文档来自于网络搜索

Banach 不动点定理 ( Banach fixed point theorem

).

注 2】 空间 X 的完备性条件， 只是为了保证映射 A 的不动点存在； 至于不动点的唯一性

是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的。 文档来自于网络搜索 【注 3】 定理 3.4.2 解决了三个问题：

(a) 证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性 ;

(b) 提供了求不动点的方法 ——迭代法，即：在完备度量空间中，从任取的 “初值 ”x 0

x

n p 2

) (x n 1,x n )

or contraction

出

发，逐次作点列

x n A x 0 ， n 1,2,3, , 它必收敛到方程 Ax x 的解。这种方法称

为 逐次逼近法 。

(c) 在 (3.4.5)中令 p ，得

n

(x *,x n )

(x 1,x 0), n 1,2, . (3.4.6) 1

上式不仅给出了 “近似解 ”x n 与所求精确解 x * 的逼近程度(这个估计式在近似计算中很有 用)，而且还指出了方程 Ax x 的解 x *可能的范围(又称为事先估计 )；例如当 n 0 ，由(3.4.6) 知： 文档来自于网络搜索

*

1

(x *,x 0)

(x 1,x 0) .

1

【注 4】 定理 3.4.2 中的空间 X 的完备性条件不能去掉。

例如：考察 R 1 的子空间 X (0, )到它自身的映射

Ax x (x X, 0 1),

映射 A 显然是压缩映射，但是 A 在 X (0, )中没有不动点 。

若不然，设 x * X 是 A 在 X (0, )中的不动点，则 **

Ax * x * ,

即

x * x * , (

1)x * 0, x * 0.

即 x * X (0, ) ，矛盾！

【注 5】 定理 3.4.2 中的条件 0 1 不能减轻为 0 1.

因为这样，即使 X 是完备的度量空间，而且对任意 x, y X ，当 x y 时，有

(Ax,Ay) 1 (x,y) , 映射 A 在 X 中也可能没有不动点。

例如： R 1的闭子空间 X [1, ) 到它自身的映射

1

Ax x (x X) ,

x