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例 5-8 在自然数集 N 上，0 是乘法运算的零元，加法运算无零元；在 n 阶实矩阵集合 M n (R) 上，n 阶零矩阵是乘法运算的零元，矩阵加法运算无零元；在集合 A 的幂集 P( A) 上， A 是 U 运算的零元，而是 I 运算的零元。
定理 5-2 设 是 S 上的二元运算，l ，r 分别为 运算的左零元和右零元，则有 l r ，且 为 S 关于 运算的唯一零元。
元。
例 5-7 在自然数集 N 上，0 是加法运算的单位元，1 是乘法运算的单位元；在n 阶实矩阵集
合 M n (R) 上，n 阶零矩阵是矩阵加法运算的单位元，而 n 阶单位矩阵是乘法运算的单位元；
在集合 A 的幂集 P( A) 上，是 U 运算的单位元，而 A 是 I 运算的单位元。
定理 5-1 设 是 S 上二元运算， el 、 er 分别为 运算的左单位元和右单位元，则有 el er e ，且 e 为 S 上关于 运算的唯一单位元。
合律成立；单位元是 0；由于 1 5=0，2 4=0，3 3=0，所以 1 和 5 互为逆元，2 和 4 互
定 义 5-8 设 是 S 上 二 元 运算 ，如 果 存在 el ( 或 er ) S 使 得 对任 何 x S 都 有 el x x (或 x er x )，则称 el (或 er )是 S 关于 运算的一个左单位元(或右单位元)。若 e S 关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为 S 关于 运算的单位元，或称为幺
定义 5-9 设 是 S 上的二元运算，如果存在 l (或r ) S 使得对任何 x S 都有
l x l (或 x r r )，则称l (或r )是 S 关于 运算的一个左零元(或右零元)。若 S 关于 运算既是左零元又是右零元，则称 为 S 关于 运算的零元。
例 5-9 在自然数集合上只有 0 有加法逆元，就是 0 本身；在整数集合、实数集合上， 加法的单位元为 0，任何整数都有加法逆元，即该数的相反数；在非零实数集合上，乘法的 单位元为 1，集合中每个数的乘法逆元为自身的倒数。
定理 5-4 设 是 S 上可结合的二元运算，e 为 运算的单位元，对于 x S ，如果存在 左逆元 yl 和右逆元 yr ，则有 yl yr y ，且 y 为 x 的唯一逆元，记作 x1 。
5.1.1 二元运算的概念
定义 5-1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称为 S 上的二元运算，简称为二元运算或代
数运算。
集合 S 上的二元运算必须满足如下的条件：(a)可运算性，即 S 中的任何两个元素都可 以进行这种运算。(b)单值性，即 S 中的任何两个元素的运算结果是唯一的。(c)封闭性，即 S 中的任何两个元素的运算结果都属于 S 。
5.2.1 群的定义
定义 5-14 设 G, 是代数系统， 为 G 上的二元运算，如果 运算是可结合的， 则称 G, 为半群。如果 G, 为半群，并且二元运算 存在单位元 e G ，则称 G, 为幺半群。如果 G, 为半群，并且二元运算 存在单位元 e G ，G 中的任 何元素 x 都有逆元 x1 G ，则称 G, 为群，可简记为 G 。
定理 5-3 设 是 S 上的二元运算， e 和 分别为 运算的单位元和零元，如果 S 至少 有两个元素，则 e 。
定义 5-10 设 是 S 上的二元运算，e 为 运算的单位元，对于 x S ，如果存在 yl (或 yr ) S 使得 yl x e (或 x yr e )，则称 yl (或 yr )是 x 的一个左逆元(或右逆元)。若 y S 关于 运算既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y 为 x 的逆元。如果 x 的逆元存在， 则称 x 是可逆的。
例 5-1 自然数数集合 N 上的加法运算是 N 上的二元运算；自然数集合上的减法运算 不是 N 上的二元运算，因为减法对自然数集合而言不满足封闭性；实数集合 R 上的除法运 算不是 R 上的二元运算，因为 0 不能作为除数。
简化起见，通常用“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等符号(称为算符)来表示二元运算。
相同的运算性质。区别在于子代数的定义域小于原代数的定义域。
代数系统是一个通称，如果代数系统中的运算符合某些性质，就产生了一些特殊的代数 系统，如群、环、域、格等。
例如，对于代数系统 V S , ，如果运算 满足结合律，则V 就是半群；如果运算 满
足结合律、存在单位元，且 S 中任意元素都是可逆的，则 V 就是群；对于代数系统
式，其中“-”和“”都是算符。
5.1.2 二元运算的性质
• 定义5.3 设*是S上的二元运算，如果对S中 的任意元素x,y，有x*y=y*x，则Leabharlann Baidu*在S上是 可交换的。
• 例：实数集上的加法和乘法是可交换的， 但减法是不可交换的。
定义 5-4 设 是 S 上二元运算，如果 x, y ,z S ，均有 ( x y) z x ( y z) ，则称 运算 在 S 上是可结合的，或称运算 在 S 上适合结合律。
称为代数常数或特异元素。
例 5-11 (1) N , ， Z , ， Z ,, ， R,, 都是代数系统，其中“ ”和“ ” 分别表示加法和乘法；(2) M n ( R), , 是代数系统，其中“ ”和“ ”分别表示 n 阶实矩阵
的加法和乘法。(3) < P( A),, ,~>也是代数系统，其中含有两个二元运算以及一个一元运
定义 5-7 设• 和 是 S 上的两个可交换的二元运算，如果 x, y S 都有 x (x • y) x x • (x y) x
称 • 和 满足吸收律。 例 5-6 一个集合的幂集上的U 和 I 运算是满足吸收律，即 AU(A I B) A AI (A UB)=A
下面讨论有关二元运算的一些特异元素。
算。
定义 5-13 设V S, f1 , f2 ,K , fm 是代数系统，B S ，如果 B 对运算 f1, f2 ,K , f m 都是封闭的，且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 B, f1 , f2 ,K , f m 是 V 的子代数系统，
简称子代数。 从子代数的定义不难看出，子代数和原代数是同类型的代数系统，对应的二元运算具有
例 5-4 幂集上的U 和 I 运算适合幂等律，对称差运算和相对补-运算不适合幂等律，
是这几种运算的幂等元；加法和乘法不适合幂等律，但 0 是加法的幂等元，0 和 1 是乘法
的幂等元。
以上的性质都是针对一个二元运算来定义的，下面介绍的两个性质则是针对两个二元运 算来定义的。
定义 5-6 设• 和 是 S 上的两个二元运算，如果 x, y ,z S 有 (1) x ( y • z) ( x y) • (x z) (2) ( y • z) x ( y x) • (z x) 则称运算 对运算 • 是可分配的，或称运算 对运算 • 适合分配律。其中(1)称作运算 对运 算 • 的左分配律，(2)称作运算 对运算 • 的右分配律。 例 5-5 实数集上的乘法对加法是可分配的，但加法对乘法是不可分配的；幂集上的 U 和 I 运算是相互可分配的。
例如，求一个数的相反数、求一个集合的补集、求一个复数的共轭复数等等都是一元运 算。
同样可以使用算符来表示一元运算。若 f : S S 是 S 上的一元运算，则 f (x) y 可
以用算符“ ”记为： x y 。例如， x 的相反数 x 、集合 A 的绝对补集~ A 都是上述表示形
例 5-3 加法和乘法在自然数集合 N 、整数集合 Z 、有理数集合 Q 、实数集合 R 和复数集合
C 上都是可结合的； n 阶实矩阵集合 M n (R) 上的矩阵的加法和乘法也是可结合的。
定义 5-5 设 是 S 上二元运算，如果 x S ， x x x ，则称运算 在 S 上适合幂等 律。如果存在 x S ，使 x x x ，则称 x 为运算 的幂等元。
例 5-12 Z , 是群，其中 Z 是整数集合，“ ”是通常数的加法。显然运算“ ”是
满足结合律的，单位元是 0，每个整数的逆元是其相反数。
例 5-13 Q, ， R, ， C, 都是群，其中 Q 是有理数集合， R 是实
数集合， C 是复数集合，“ ”是通常数的加法。 例 5-14 Z6 , 是群，其中 Z6 ={0,1,2,3,4, 5}， 为模 6 加法。显然运算 的结
假设 f : S S S ， f ( x, y ) z 是 S 上的二元运算。如果利用算符“ ”来表示该 二元运算，则运算 f ( x, y ) z 可记为 x y z 。
类似于二元运算，可以定义集合 S 上的一元运算。 定义 5-2 设 S 为集合，函数 f : S S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算。
零元和所有可逆元素的逆元。
*运算满足交换律、结合律和幂等律，
但不满足消去律，因为4*10=4*40=40。
该运算的单位元为1，无零元，只有1有
逆元，是它本身。
5.1.3 代数系统的定义
定 义 5-12 设 S 是非 空集合 ， f1, f2 ,K , f m 是定义在 S 上的一 元或 二元运 算，由 S 和 f1, f2 ,K , f m 组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作 S, f1 , f2 ,K , f m ，称 S 为 该代数系统的定义域。当 S 为有限集时，则 S, f1 , f2 ,K , f m 称为有限代数系统；当 S 为 无限集时，则 S, f1 , f2 ,K , f m 称为无限代数系统。代数系统中二元运算的单位元和零元
第五章 群
众所周知，群、环、域等代数系统是抽象代数或 近世代数的基本组成部分，许多密码算法都是以 一些特定的代数系统为基础建立的。例如高级加 密标准（AES）和椭圆曲线加密算法。群是抽象 代数中最基本的一种代数系统，因此群论是读者 学习有限域理论必须首先掌握的内容。本章首先 给出了与代数系统相关的准备知识；然后介绍了 群的定义及相关的性质；在此基础上，讨论了群 论，特别是置换群和循环群的有关理论和方法在 密码学中的应用。
V S , , ，其中 和 是二元运算，并且满足交换律、结合律、幂等律和吸收律，
那么V 就是格。
5.2 群的定义和性质
• 群是仅具有一个二元运算的代数系统中最 重要的一种，关于群的理论的系统研究早 在19世纪初期就已开始，因此群论是代数 学中一个比较古老而内容丰富的分支。如 今，群论不但是自然科学中许多领域的理 论基础，而且在应用科学中也有着广泛的 运用。
定义 5-11 设 是 S 上的二元运算，如果对于任意的 x, y ,z S 满足以下条件： (1)若 x y x z 且 x ，则 y z 。 (2)若 y x z x 且 x ，则 y z 。 则称运算 满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作右消去律。 例 5-10 已 知 正 整 数 集 合 Z 和 定 义 在 该 集 合 上 的 二 元 运 算 ： x, y Z ， x y lcm (x, y) ，即求 x 和 y 的最小公倍数。试讨论该运算的性质，并求出它的单位元，
定理 5-2 设 是 S 上的二元运算，l ，r 分别为 运算的左零元和右零元，则有 l r ，且 为 S 关于 运算的唯一零元。
元。
例 5-7 在自然数集 N 上，0 是加法运算的单位元，1 是乘法运算的单位元；在n 阶实矩阵集
合 M n (R) 上，n 阶零矩阵是矩阵加法运算的单位元，而 n 阶单位矩阵是乘法运算的单位元；
在集合 A 的幂集 P( A) 上，是 U 运算的单位元，而 A 是 I 运算的单位元。
定理 5-1 设 是 S 上二元运算， el 、 er 分别为 运算的左单位元和右单位元，则有 el er e ，且 e 为 S 上关于 运算的唯一单位元。
合律成立；单位元是 0；由于 1 5=0，2 4=0，3 3=0，所以 1 和 5 互为逆元，2 和 4 互
定 义 5-8 设 是 S 上 二 元 运算 ，如 果 存在 el ( 或 er ) S 使 得 对任 何 x S 都 有 el x x (或 x er x )，则称 el (或 er )是 S 关于 运算的一个左单位元(或右单位元)。若 e S 关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为 S 关于 运算的单位元，或称为幺
定义 5-9 设 是 S 上的二元运算，如果存在 l (或r ) S 使得对任何 x S 都有
l x l (或 x r r )，则称l (或r )是 S 关于 运算的一个左零元(或右零元)。若 S 关于 运算既是左零元又是右零元，则称 为 S 关于 运算的零元。
例 5-9 在自然数集合上只有 0 有加法逆元，就是 0 本身；在整数集合、实数集合上， 加法的单位元为 0，任何整数都有加法逆元，即该数的相反数；在非零实数集合上，乘法的 单位元为 1，集合中每个数的乘法逆元为自身的倒数。
定理 5-4 设 是 S 上可结合的二元运算，e 为 运算的单位元，对于 x S ，如果存在 左逆元 yl 和右逆元 yr ，则有 yl yr y ，且 y 为 x 的唯一逆元，记作 x1 。
5.1.1 二元运算的概念
定义 5-1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称为 S 上的二元运算，简称为二元运算或代
数运算。
集合 S 上的二元运算必须满足如下的条件：(a)可运算性，即 S 中的任何两个元素都可 以进行这种运算。(b)单值性，即 S 中的任何两个元素的运算结果是唯一的。(c)封闭性，即 S 中的任何两个元素的运算结果都属于 S 。
5.2.1 群的定义
定义 5-14 设 G, 是代数系统， 为 G 上的二元运算，如果 运算是可结合的， 则称 G, 为半群。如果 G, 为半群，并且二元运算 存在单位元 e G ，则称 G, 为幺半群。如果 G, 为半群，并且二元运算 存在单位元 e G ，G 中的任 何元素 x 都有逆元 x1 G ，则称 G, 为群，可简记为 G 。
定理 5-3 设 是 S 上的二元运算， e 和 分别为 运算的单位元和零元，如果 S 至少 有两个元素，则 e 。
定义 5-10 设 是 S 上的二元运算，e 为 运算的单位元，对于 x S ，如果存在 yl (或 yr ) S 使得 yl x e (或 x yr e )，则称 yl (或 yr )是 x 的一个左逆元(或右逆元)。若 y S 关于 运算既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y 为 x 的逆元。如果 x 的逆元存在， 则称 x 是可逆的。
例 5-1 自然数数集合 N 上的加法运算是 N 上的二元运算；自然数集合上的减法运算 不是 N 上的二元运算，因为减法对自然数集合而言不满足封闭性；实数集合 R 上的除法运 算不是 R 上的二元运算，因为 0 不能作为除数。
简化起见，通常用“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等符号(称为算符)来表示二元运算。
相同的运算性质。区别在于子代数的定义域小于原代数的定义域。
代数系统是一个通称，如果代数系统中的运算符合某些性质，就产生了一些特殊的代数 系统，如群、环、域、格等。
例如，对于代数系统 V S , ，如果运算 满足结合律，则V 就是半群；如果运算 满
足结合律、存在单位元，且 S 中任意元素都是可逆的，则 V 就是群；对于代数系统
式，其中“-”和“”都是算符。
5.1.2 二元运算的性质
• 定义5.3 设*是S上的二元运算，如果对S中 的任意元素x,y，有x*y=y*x，则Leabharlann Baidu*在S上是 可交换的。
• 例：实数集上的加法和乘法是可交换的， 但减法是不可交换的。
定义 5-4 设 是 S 上二元运算，如果 x, y ,z S ，均有 ( x y) z x ( y z) ，则称 运算 在 S 上是可结合的，或称运算 在 S 上适合结合律。
称为代数常数或特异元素。
例 5-11 (1) N , ， Z , ， Z ,, ， R,, 都是代数系统，其中“ ”和“ ” 分别表示加法和乘法；(2) M n ( R), , 是代数系统，其中“ ”和“ ”分别表示 n 阶实矩阵
的加法和乘法。(3) < P( A),, ,~>也是代数系统，其中含有两个二元运算以及一个一元运
定义 5-7 设• 和 是 S 上的两个可交换的二元运算，如果 x, y S 都有 x (x • y) x x • (x y) x
称 • 和 满足吸收律。 例 5-6 一个集合的幂集上的U 和 I 运算是满足吸收律，即 AU(A I B) A AI (A UB)=A
下面讨论有关二元运算的一些特异元素。
算。
定义 5-13 设V S, f1 , f2 ,K , fm 是代数系统，B S ，如果 B 对运算 f1, f2 ,K , f m 都是封闭的，且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 B, f1 , f2 ,K , f m 是 V 的子代数系统，
简称子代数。 从子代数的定义不难看出，子代数和原代数是同类型的代数系统，对应的二元运算具有
例 5-4 幂集上的U 和 I 运算适合幂等律，对称差运算和相对补-运算不适合幂等律，
是这几种运算的幂等元；加法和乘法不适合幂等律，但 0 是加法的幂等元，0 和 1 是乘法
的幂等元。
以上的性质都是针对一个二元运算来定义的，下面介绍的两个性质则是针对两个二元运 算来定义的。
定义 5-6 设• 和 是 S 上的两个二元运算，如果 x, y ,z S 有 (1) x ( y • z) ( x y) • (x z) (2) ( y • z) x ( y x) • (z x) 则称运算 对运算 • 是可分配的，或称运算 对运算 • 适合分配律。其中(1)称作运算 对运 算 • 的左分配律，(2)称作运算 对运算 • 的右分配律。 例 5-5 实数集上的乘法对加法是可分配的，但加法对乘法是不可分配的；幂集上的 U 和 I 运算是相互可分配的。
例如，求一个数的相反数、求一个集合的补集、求一个复数的共轭复数等等都是一元运 算。
同样可以使用算符来表示一元运算。若 f : S S 是 S 上的一元运算，则 f (x) y 可
以用算符“ ”记为： x y 。例如， x 的相反数 x 、集合 A 的绝对补集~ A 都是上述表示形
例 5-3 加法和乘法在自然数集合 N 、整数集合 Z 、有理数集合 Q 、实数集合 R 和复数集合
C 上都是可结合的； n 阶实矩阵集合 M n (R) 上的矩阵的加法和乘法也是可结合的。
定义 5-5 设 是 S 上二元运算，如果 x S ， x x x ，则称运算 在 S 上适合幂等 律。如果存在 x S ，使 x x x ，则称 x 为运算 的幂等元。
例 5-12 Z , 是群，其中 Z 是整数集合，“ ”是通常数的加法。显然运算“ ”是
满足结合律的，单位元是 0，每个整数的逆元是其相反数。
例 5-13 Q, ， R, ， C, 都是群，其中 Q 是有理数集合， R 是实
数集合， C 是复数集合，“ ”是通常数的加法。 例 5-14 Z6 , 是群，其中 Z6 ={0,1,2,3,4, 5}， 为模 6 加法。显然运算 的结
假设 f : S S S ， f ( x, y ) z 是 S 上的二元运算。如果利用算符“ ”来表示该 二元运算，则运算 f ( x, y ) z 可记为 x y z 。
类似于二元运算，可以定义集合 S 上的一元运算。 定义 5-2 设 S 为集合，函数 f : S S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算。
零元和所有可逆元素的逆元。
*运算满足交换律、结合律和幂等律，
但不满足消去律，因为4*10=4*40=40。
该运算的单位元为1，无零元，只有1有
逆元，是它本身。
5.1.3 代数系统的定义
定 义 5-12 设 S 是非 空集合 ， f1, f2 ,K , f m 是定义在 S 上的一 元或 二元运 算，由 S 和 f1, f2 ,K , f m 组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作 S, f1 , f2 ,K , f m ，称 S 为 该代数系统的定义域。当 S 为有限集时，则 S, f1 , f2 ,K , f m 称为有限代数系统；当 S 为 无限集时，则 S, f1 , f2 ,K , f m 称为无限代数系统。代数系统中二元运算的单位元和零元
第五章 群
众所周知，群、环、域等代数系统是抽象代数或 近世代数的基本组成部分，许多密码算法都是以 一些特定的代数系统为基础建立的。例如高级加 密标准（AES）和椭圆曲线加密算法。群是抽象 代数中最基本的一种代数系统，因此群论是读者 学习有限域理论必须首先掌握的内容。本章首先 给出了与代数系统相关的准备知识；然后介绍了 群的定义及相关的性质；在此基础上，讨论了群 论，特别是置换群和循环群的有关理论和方法在 密码学中的应用。
V S , , ，其中 和 是二元运算，并且满足交换律、结合律、幂等律和吸收律，
那么V 就是格。
5.2 群的定义和性质
• 群是仅具有一个二元运算的代数系统中最 重要的一种，关于群的理论的系统研究早 在19世纪初期就已开始，因此群论是代数 学中一个比较古老而内容丰富的分支。如 今，群论不但是自然科学中许多领域的理 论基础，而且在应用科学中也有着广泛的 运用。
定义 5-11 设 是 S 上的二元运算，如果对于任意的 x, y ,z S 满足以下条件： (1)若 x y x z 且 x ，则 y z 。 (2)若 y x z x 且 x ，则 y z 。 则称运算 满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作右消去律。 例 5-10 已 知 正 整 数 集 合 Z 和 定 义 在 该 集 合 上 的 二 元 运 算 ： x, y Z ， x y lcm (x, y) ，即求 x 和 y 的最小公倍数。试讨论该运算的性质，并求出它的单位元，